3.1《圆的有关性质》第3课时 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第三章 圆 第1课 圆的有关性质 新版北师大数学九年级下册 第3课时 圆的中心对称性以及圆心角、弦、弧的关系 学习目标 1.通过旋转圆形纸片的操作活动，经历圆的中心对称性的探究过程，明确圆的旋转不变性特征 2.通过等圆中相等圆心角的旋转重合操作，推导同圆或等圆中圆心角、弧、弦的等量关系，经历定理的生成过程 3.通过逆向思考与推理论证，总结“知一推三”的等量关系体系，拓展弦心距的对应等量关系 4.通过转盘、齿轮等实际问题的解决，运用圆心角、弧、弦的关系进行推理计算，体会转化与几何证明的结合 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 如何利用圆的另一种对称性，猜想并验证圆心角、弧、弦的等量关系解决圆内相等关系 摩天轮绕中心匀速转动，相邻两个座舱对应的圆心角都相等 思考： 1.摩天轮转动任意角度后，整体形状和原来重合吗？ 2.相邻座舱对应的弧长相等吗？连接相邻座舱的弦长相等吗？ 要解答这些问题，我们从圆的旋转特性开始探究 问题构建 问题1:什么是中心对称图形？我们之前学过哪些中心对称图形？ 绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形，比如平行四边形、线段等. 追问1:图形旋转的基本性质是什么？旋转前后图形有什么关系？ 旋转前后图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等 追问2:上节课我们从轴对称角度研究了圆的性质，你还记得哪些结论？以右图为例进行回顾. 轴对称性、垂径定理及其逆定理 问题构建 问题2:一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？ 能.圆绕圆心旋转任意角度都能与原图形重合，这个性质叫做圆的旋转不变性 追问:圆是中心对称图形吗？如果是，对称中心是什么？ 圆是中心对称图形，对称中心为圆心 小结：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性（旋转任意角度都与自身重合） 问题构建 将两圆重叠并固定圆心，把其中一个圆旋转一个角度，使得重合 问题3:旋转后，会重合吗？为什么？ 会重合.因为重合. 问题构建 追问1:点A与点A'、点B与点B' 会重合吗？对应的弦AB和A'B'、弧 AB和弧A'B'会重合吗？ 都重合.因为半径相等,端点重合后,弦和弧都对应重合 追问2:在同圆或等圆中，当两个圆心角相等时，你能得到哪些等量结论? 协作破冰 文字语言： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 符号语言： ∵ ∴ =,AB=BC 定理的前提条件是“在同圆或等圆中”，缺少这个前提，结论不一定成立. 协作破冰 在同圆或等圆中： 问题4:如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？ 都相等.弧相等则旋转后完全重合，对应圆心角、弦都相等 追问：如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？ 都相等.弦相等可证对应的圆心角三角形全等，进而圆心角相等，对应弧也相等 问题构建 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 这里的弧相等，指的是同为优弧或同为劣弧的对应弧相等 圆心角相等 弧相等 弦相等 问题构建 从圆心到弦的距离叫做弦心距 问题5：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距相等吗？ 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距四组量 “知一推三”，一组相等则其余三组都对应相等 协作破冰 ③ = 圆心角相等 弧相等 弦心距 弦相等 教师示范 例题:如图，AB，DE是的直径，C是上的一点，且=.BE与CE的大小有什么关系？为什么？ 解：BE = CE理由如下： ∵（对顶角相等） ∴ = 又∵= ∴= ∴ BE=CE（等弧对等弦） 教师示范 变式1： ，等弧对应圆心角相等 变式2：若BE=CE，求证：= 由弦相等推出弧相等，结合对顶角对应弧相等 方法提炼：圆中证弦相等，常转化为证对应弧相等或对应圆心角相等，体现转化的数学思想 巩固拓展 判断下列说法是否正确，并说明理由 1.相等的圆心角所对的弧相等. 2.相等的弧所对的弦相等. 3.相等的弦所对的弧相等. 4.在同圆中，若两条弧相等，则它们所对的圆心角相等. 1.错误.缺少“同圆或等圆中”的前提 2.正确.等弧默认在同圆等圆中，对应弦相等 3.错误.一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），需说明是对应弧 4.正确.符合同圆中的等量关系 巩固拓展 我们已经知道在⊙O中，如果2∠AOB=∠COD，则2=，那么CD=2AB也成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，那它们之间的关系又是什么？ 解：CD=2AB不成立.理由如下： 取的中点E,连接OE，CE，DE. 那么∠AOB=∠COE=∠DOE, 所以弦AB=CE=DE, 在△CDE中，CE+DE>CD,即CD＜2AB. A B C D E O 当堂检测 1.圆的对称中心是______，圆绕圆心旋转______角度都能与自身重合 2.在同圆中，若=，则下列结论错误的是（ ） B. AB = CD C. 弦AB的弦心距等于弦CD的弦心距 D. 以上都不对 3.在中，弦AB的长等于半径，则弦AB所对的圆心角的度数为______。 1.圆心；任意 2.D 3.60° 当堂检测 填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦． （1）如果AB=CD，那么_________，____________． （2）如果=，那么_________，_____________． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________． · C A B D E F O AB=CD AB=CD AB=CD ( ( ∠AOB= ∠COD ∠AOB= ∠COD AB=CD ( ( 反思总结 1.圆的旋转不变性体现在哪里？它和圆的轴对称性有什么区别与联系？ 2.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间有怎样的对应关系？使用这些结论的前提是什么？ 3.回顾本节课和上节课的学习，我们分别从轴对称和旋转两个角度研究圆的性质，研究思路有什么共同点？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第54页 第1,2,3题 二、素养类作业 世界杯足球赛中，禁区外框前为什么设计一个半圆形区域？ 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $