精品解析：广东深圳市龙岗区百合外国语学校2026-2027学年第一学期 九年级数学10月学情自测试卷

数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. （a、b为常数） 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 3. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 5. 劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ） A. 逐渐增加 B. 先减小再增加 C. 恒等于 D. 恒等于4 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为__________． 10. 一元二次方程的解为，则的值为_______． 11. 如图，在中，，，D是边的中点，连接，若的周长是18，则的长为______． 12. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为______． 13. 如图，点O是正方形的中心，，在中，，过点D，分别交于点G，M，连接，．若，则的值为______． 三、解答题（共61分） 14. 解下列方程． （1）； （2）． 15. 在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； （3）在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 16. 如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，．将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求凸透镜焦距的长． 17. 如图，在矩形的边上取一点E，连接，使得，在边上取一点F，使得，连接．过点D作于G． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． （3）在（2）的条件下，利用圆规和无刻度直尺在线段上作出点P，使得，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 18. 中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批茶叶，进价为100元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为___________盒，每天盈利___________元； （2）在尽可能让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利432元？ 19. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 20. 【问题提出】 （1）如图①，正方形中，点为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，，则的长为________； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．试探究线段与具有怎样的数量关系和位置关系？ 【问题解决】 （3）如图③，在菱形中，，，点是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，交于点，绕点顺时针旋转得到，连接，，，当时，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. （a、b为常数） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，形如（其中a、b、c为常数且）的方程叫作一元二次方程，由此逐项判断即可． 【详解】解：A．关于x的方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．是一元二次方程，符合题意． D．（a、b为常数），当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质好平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：由菱形性质可知，其对角相等，四边相等，对边平行且相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角； 由平行四边形的性质可知，其对角相等，对边平行且相等，对角线互相平分； 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质，熟记菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 3. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例的运用，掌握线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据线段成比例，进行即可比较即可求解． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，线段成比例，符合题意； D、，不符合题意；   故选：C ． 4. 如图，中，，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：， , 又，，， ， ， ∴， 故选：B． 5. 劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．根据作物的产量两年内从300千克增加到363千克，列出方程即可． 【详解】解：第一年的产量为， 第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为， 则列出的方程是． 故选：D． 6. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ） A. 逐渐增加 B. 先减小再增加 C. 恒等于 D. 恒等于4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，连接，由菱形的性质推出，，判定、是等边三角形，得到，，由，推出，由判定，得到，于是得到，关键是由菱形的性质推出． 【详解】解：连接BD， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：2． 10. 一元二次方程的解为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在中，，，D是边的中点，连接，若的周长是18，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】考查了直角三角形斜边上的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等量代换进行解答即可． 【详解】解：∵，是边的中点， ∴， ∵，的周长是， ∴，则， ∴． 故答案为： 12. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、尺规作图、垂直平分线的性质，掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．由菱形的性质可得，得到的度数，由作图可知点E在的垂直平分线上，得到，最后利用角的和差即可求出的度数． 【详解】解：菱形， ， ， ， 由作图可知，点E在的垂直平分线上， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，点O是正方形的中心，，在中，，过点D，分别交于点G，M，连接，．若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过点作于点H，运用勾股定理求得，再证明利用相似三角形的性质求出、，再证明，通过性质得出 ，推出，然后由勾股定理求出、，最后运用直角三角形的性质以及三角形中位线的性质求得即可解答． 【详解】解：如图，连接，过点作于点H， ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴，解得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线的性质等知识点，正确添加常用辅助线面构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（共61分） 14. 解下列方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得，． 15. 在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； （3）在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 【答案】（1）如图， （2）如图， （3） 【解析】 【分析】（1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似变换的知识，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）结合图形，由位似变换的性质，即可求得的坐标． 【小问1详解】 解：图略， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以原点为位似中心，相似比为，在同一侧的位似点坐标规律：点，对应点坐标为． 16. 如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，．将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求凸透镜焦距的长． 【答案】厘米 【解析】 【分析】利用平行可得，从而可得，进而，再根据平行得，利用相似三角形的性质，得，代入计算即可． 【详解】解：由题可知，厘米，厘米，厘米， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 厘米，， ， ，则， ， 则凸透镜焦距的长为厘米． 17. 如图，在矩形的边上取一点E，连接，使得，在边上取一点F，使得，连接．过点D作于G． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． （3）在（2）的条件下，利用圆规和无刻度直尺在线段上作出点P，使得，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 【答案】（1）证明：矩形， ，， ， ，即， ，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） （3）如图，点P即为所求 【解析】 【分析】（1）先证，再证四边形是平行四边形，即可求证； （2）根据勾股定理，可求，从而，再根据面积相等，即可求解； （3）作的垂直平分线交于点M，在上截取，使得，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 矩形， ，，， 在中，， ， ， ， ， 则的长为； 【小问3详解】 解：如图，作的垂直平分线交于点M，在上截取，使得，则点P即为所求； 矩形， ， ，的垂直平分线交于点M， ， ， ， ， 则． 18. 中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批茶叶，进价为100元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为___________盒，每天盈利___________元； （2）在尽可能让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利432元？ 【答案】（1）， （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握总价、单价、数量的关系，利润、售价、进价的关系，是解题关键． （1）根据“如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”即可求解； （2）设每盒茶叶降价x元，依题意得，结合尽可能让利于顾客，即可求解． 【小问1详解】 解：当销售单价为110元时，每天的销售量为： （盒）， 每天盈利：（元）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：设每盒茶叶降价x元， 依题意得：， 整理得， 或 解得：，． ∵尽可能让利于顾客， ∴取． ∴在尽可能让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价8元时，商家平均每天能盈利432元． 19. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】（1）①②或3 （2）该方程的“关爱码”为或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； 【小问3详解】 解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 20. 【问题提出】 （1）如图①，正方形中，点为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，，则的长为________； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．试探究线段与具有怎样的数量关系和位置关系？ 【问题解决】 （3）如图③，在菱形中，，，点是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，交于点，绕点顺时针旋转得到，连接，，，当时，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），；（3） 【解析】 【分析】本题考查了四边形的综合，矩形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转对称性质及勾股定理等知识，正确作出辅助线是本题的解题关键． （1）先根据勾股定理求得的长度，进而证明，求得的长度，进而求解； （2）延长交于，由折叠得，点与点关于对称，得出，再证明，得出； （3）连接并延长交于点，交于，过作于，交的延长线于，证明出，得到，，再证明，利用相似比求出，再求出，利用对角线互相垂直的四边形面积公式即可解答此问； 【详解】（1）解：正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2），， 理由如下：如图所示，延长交于， 由折叠可得：点与点关于对称； ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ，即 (3)如图3，连接并延长交于点，交于，过作于，交的延长线于， 由旋转得，，，， ， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， , ，即， ， ， ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $