精品解析：广东江门市新会葵城中学2026-2027学年九年级上学期数学阶段性复习（一）

2026-2027学年第一学期九年级数学科阶段性复习（一） 班别________ 学号________ 姓名________ 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程化为一般形式后，的值分别是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 二次函数的图象经过点和，则该二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 6. 抛物线y＝－2（x－1）2-3的图象的顶点坐标是（ ） A. （1，3） B. （1，3） C. （1，3） D. （1，3） 7. 2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（ ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．小斌同学得到下列结论：①；②图象过；③；④；⑤若，是抛物线上的两点，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知二次函数的常数项为零，则的值为________． 12. 若将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后图象的函数表达式为________． 13. 某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 14. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 15. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为________秒． 三、解答题（共70分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求证：； （2）若该二次函数的最小值为，求二次函数的表达式． 19. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ （3）每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 20. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 21. 如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； （3）在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学科阶段性复习（一） 班别________ 学号________ 姓名________ 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程化为一般形式后，的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 2. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴． 3. 二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 4. 抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】明确抛物线与轴交点的纵坐标为，通过令函数，求解对应的值，进而得到交点坐标． 【详解】解：令，得， ∵， ∴或，解得，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，． 5. 二次函数的图象经过点和，则该二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点和， ∴两点为抛物线上纵坐标相等的点，关于对称轴对称， ∴对称轴为直线． 6. 抛物线y＝－2（x－1）2-3的图象的顶点坐标是（ ） A. （1，3） B. （1，3） C. （1，3） D. （1，3） 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线的顶点式的特点即可确定抛物线y＝－2（x－1）2-3的图象的顶点坐标是（1，-3）,故答案选C． 考点：抛物线的顶点式． 7. 2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 8. 如表是小钰同学求代数式（，为常数）的值的情况．根据表中的数据可知，关于的一元二次方程的实数根是（ ） … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断是否是一元二次方程的解．通过观察表格数据，找到使代数式的值为2的值，这些值即为方程 的实数根，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，方程可化为， 由表格可知，当 或 时，， ∴方程的实数根为，， 故选：B 9. 在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先由一次函数y=ax+1图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+a的图象相比较，看是否一致． 【详解】A．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，a＞0，二次项系数为负数，与二次函数y=x2+a矛盾，错误； C．由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，a＜0，由直线可知，a＜0，正确； D．由直线可知，直线经过（0，1），错误． 故选：C． 【点睛】正确理解一次函数和二次函数的性质是解答本题的关键. 10. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，且图象经过点．小斌同学得到下列结论：①；②图象过；③；④；⑤若，是抛物线上的两点，则．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断，，符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标；利用二次函数的增减性比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线开口向下， 抛物线对称轴为直线， ∴，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过，故②正确； ∴当时，，故③错误； ∵当时，，由图象可知时， ∴，故④正确； ∵，，且，抛物线开口向下， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的结论是①②④． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知二次函数的常数项为零，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据常数项为零得到关于的方程，再结合二次函数定义要求二次项系数不为零，舍去不符合条件的解，得到最终结果． 【详解】解：∵二次函数 的常数项为零， ∴，解得 或 ， ∵该函数是二次函数，二次项系数不能为零， ∴， ∴， ∴． 12. 若将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后图象的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律求解即可． 【详解】解：原函数表达式为，向左平移1个单位，得，再向上平移2个单位，得． 13. 某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百分数， ∴明年产量为件， ∴第三年年产量为件， ∵第三年的产量达到800件， ∴． 14. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 15. 如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为________秒． 【答案】## 【解析】 【分析】先用待定系数法求出二次函数的表达式为，当时，解方程求出即可． 【详解】解：根据题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的表达式为， ∵抛物线过，代入，， 解得， ∴这个二次函数的表达式为：， 当时，， 解得：（不合题意舍去），， ∴铅球落地点到出手点的时间为秒． 三、解答题（共70分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ， ， 解得：，； 【小问2详解】 解： ， ， 解得：，； 【小问3详解】 解： ， ， 解得：，； 【小问4详解】 解： ， ， ， 解得：，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的值为，方程的另一个实数根为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求证：； （2）若该二次函数的最小值为，求二次函数的表达式． 【答案】（1）证明：将点代入， 得， 即， ． （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入，即可解答； （2）把原函数解析式变形为顶点式，再结合该二次函数的最小值为，可求出a的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：，则原解析式为， ∴函数图象的顶点坐标为， ∵该二次函数的最小值为， ∴且， 解得：（舍去）或1． ∴二次函数的表达式为． 19. 某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． （1）若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？ （3）每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？ 【答案】（1）双 （2）元 （3）每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解． 【小问1详解】 解： （双） 答：商场平均每天可售出双鞋子． 【小问2详解】 设每双降价元． 解得： 让顾客尽可能得实惠， 答：每双鞋子降价元． 【小问3详解】 设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 当元时，最大元． 答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元． 20. 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）把点和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点到的距离，然后分点在轴的上方与下方两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：将点，代入得， ，解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， 抛物线的顶点坐标为； 【小问3详解】 解：， ， 设点到轴的距离为，则， 解得， 当点在轴上方时，， 解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时，， 解得，， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标是或或． 21. 如图，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点，且．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，设直线上方的抛物线上的动点的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）连接，直接写出线段与线段的数量关系和位置关系； （3）在直线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点的坐标为 （2），且 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）直线与抛物线交于A、E两点，可得点A和点E坐标，再求出点B、C的坐标分别为：、，利用待定系数法即可求解； （2）分别求出和的长，根据待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：直线与抛物线交于、两点， ∴令，则，解得； 令,则， ∴点，点． ，， 点B的坐标为， 故抛物线的表达式为， 将点的坐标代入，得， 解得， 抛物线的表达式为， 顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：，且，理由： ，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 故直线的解析式为． 、点， ， 故； 直线的解析式为，直线的解析式为， 故将直线向上平移个单位得到直线， ， 故，且． 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或． 设点，点，，而点， 联立， 得，， ∴，， ∵P点在直线的上方， ∴． ①当时， 如图，过点作轴的平行线，过点、点作轴的平行线，交过点且平行于轴的直线于点、， ，， ， ，， ， ，， 即，， 解得． 当时，， 解得，（舍去）， 点． ②当时，如图，过Q点作y轴的垂线，过P、H分别作的垂线，交于M、N两点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴，， ∴，， 解得，， 又∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴． ③当时， 当点在抛物线对称轴的右侧时，如图， 点在的下方，与题意不符，舍去； 当点在抛物线对称轴的左侧时，如图，过H点作直线轴，分别过P、Q点作直线的垂线，垂足分别为M、N ， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， 解得， 又∵， ∴， 解得（舍去），， 故点． 综上可得，点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，难度较大，涉及到一次函数、三角形全等，要注意分类求解，避免遗漏．熟练掌握这些性质、判定、二次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $