广东深圳市龙岗区百合外国语学校2026-2027学年第一学期 九年级数学10月学情自测试卷

数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. （a、b为常数） 2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 3. 下列各组线段中是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 5. 劳动教育已被纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，点E、F分别为、上的动点，，点E从点A向点D运动过程中，的长度（ ） A. 逐渐增加 B. 先减小再增加 C. 恒等于 D. 恒等于4 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为__________． 10. 一元二次方程的解为，则的值为_______． 11. 如图，在中，，，D是边的中点，连接，若的周长是18，则的长为______． 12. 如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心画弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为______． 13. 如图，点O是正方形的中心，，在中，，过点D，分别交于点G，M，连接，．若，则的值为______． 三、解答题（共61分） 14. 解下列方程． （1）； （2）． 15. 在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； （3）在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 16. 如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，．将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求凸透镜焦距的长． 17. 如图，在矩形的边上取一点E，连接，使得，在边上取一点F，使得，连接．过点D作于G． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． （3）在（2）的条件下，利用圆规和无刻度直尺在线段上作出点P，使得，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． 18. 中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化．某茶商购进一批茶叶，进价为100元/盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒．针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题： （1）当销售价为110元/盒时，每天的销售量为___________盒，每天盈利___________元； （2）在尽可能让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利432元？ 19. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 20. 【问题提出】 （1）如图①，正方形中，点为边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．若，，则的长为________； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．试探究线段与具有怎样的数量关系和位置关系？ 【问题解决】 （3）如图③，在菱形中，，，点是边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，交于点，绕点顺时针旋转得到，连接，，，当时，求四边形的面积． 数学 一、选择题（每小题3分，共24分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（每小题3分，共15分） 【9题答案】 【答案】2 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 三、解答题（共61分） 【14题答案】 【答案】（1）， （2）， 【15题答案】 【答案】（1）如图， （2）如图， （3） 【16题答案】 【答案】厘米 【17题答案】 【答案】（1）证明：矩形， ，， ， ，即， ，即， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） （3）如图，点P即为所求 【18题答案】 【答案】（1）， （2）8元 【19题答案】 【答案】（1）①②或3 （2）该方程的“关爱码”为或 （3）2 【20题答案】 【答案】（1）；（2），；（3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $