29.2.2 圆心角（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 29.2.2 圆心角 专项练习（人教版九上，约1450字） ## 一、核心知识点梳理 1. **圆心角定义**：顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 2. **弧、弦、圆心角关系定理（重中之重）** 在**同圆或等圆**中：相等的圆心角 ⇔ 所对的弧相等 ⇔ 所对的弦相等 ⇔ 弦的弦心距相等。 > ⚠️易错前提：必须是**同圆或等圆**，缺少这个条件，结论不成立。比如两个半径不同的圆，圆心角相等，但弦长、弧长不相等。 3. **推论** - 弧的中点：若C是弧AB中点，则$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$，圆心角$\(∠AOC=∠COB\)$，弦$\(AC=CB\)$。 - 直径平分弧：一条直径平分弧，那么这条直径垂直平分弧对应的弦（和垂径定理联动出题）。 4. **解题思路**：证弦相等 → 证弧相等 → 证圆心角相等；计算角度优先找等弧、等圆心角，常结合等腰三角形（半径相等）、三角形内角和解题。 ## 二、基础过关（选择+填空） 1. 下列角是圆心角的是（） A.顶点在圆上，两边交圆 B.顶点在圆心，两边交圆 C.顶点在圆内非圆心 D.顶点在圆外 **答案：B** 2. 下列命题正确的是（） A.相等的弦所对圆心角相等 B.相等圆心角所对弧相等 C.同圆中，等弧对等弦 D.长度相等的弧是等弧 **答案：C** 3. 在⊙O中，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，若$\(\(∠AOB\)=42°\)$，则$\(\(∠COD\)=\)$____。 **答案：42°** 4. AB是⊙O直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$\(∠AOE=60°\)$，则$\(\(∠BOC\)=\)$____。 **答案：40°** 解析：$\(∠BOE=180°−60°=120°\)$，三段弧相等，圆心角三等分，$\(\(∠BOC\)=\)120°÷3=40°$ 5. 在⊙O中，弦AB=CD，则$\overset{\frown}{AB}$____$\overset{\frown}{CD}$，$\(∠AOB\)$____$\(∠COD\)$（填＞、\(\boldsymbol{AB＜2CD}\)、＝）。 **答案：＝；＝** ## 三、能力提升（解答题，写出完整步骤） 6. 如图，在⊙O中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，求证：AB=CD。 **证明**： ∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$， ∴$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{CB}$，即$\boldsymbol{\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}}$。 在同圆中，等弧对等弦，∴AB=CD。 7. 已知：⊙O，C是劣弧AB中点，连接OA、OB、OC，$\(∠A=45°\)$，OA=OB。求$\(∠BOC\)$的度数。 **解**： ∵OA=OB，∴△OAB为等腰三角形，$\(∠A=∠B=45°\)$。 $\(∠AOB\)=180°−45°−45°=90°$。 ∵C是弧AB中点，∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，圆心角$∠AOC=\(∠BOC\)$。 $\(\(∠BOC\)=\)\frac12\(∠AOB\)=\boldsymbol{45°}$。 8. 如图，AB、DE是⊙O的直径，C在圆上，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，求证：BC=BE。 **证明**： ∵AB、DE是直径，∴$\(∠AOC=∠BOE\)$（对顶角相等），$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BE}$。 又已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}$，∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CE}$。 同圆中等弧对等弦，∴BC=BE。 9. 易错题：在⊙O中，$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，判断弦AB与2CD的大小关系，并说明理由。 **解：AB\(\boldsymbol{AB＜2CD}\)2CD** 取弧AB中点M，连接AM、BM。 ∵$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，M为弧AB中点，∴$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BM}=\overset{\frown}{CD}$。 ∴AM=BM=CD。 在△ABM中，根据三角形三边关系：AM+BM＞AB，即CD+CD＞AB。 ∴$\boldsymbol{AB\(\boldsymbol{AB＜2CD}\)2CD}$。 >易错坑：很多同学会直接认为弧两倍，弦就两倍，忽略三角形三边关系。 ## 四、中考综合训练 10. 如图，⊙O半径为5，AB是直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，$\(∠AOC=60°\)$。 （1）求证：OC∥BD；（2）求BD长度。 **（1）证明** ∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，∴$∠AOC=\(\(∠COD\)=\)60°$，$\(∠AOD=120°\)$。 $\(∠BOD=180°−120°=60°\)$，∴$\(∠AOC=\(∠BOD=60°\)\)$。 OC、OD、OB都是半径，△OBD中OB=OD，$\(∠BOD=60°\)$，△OBD等边；△AOC也是等边。 ∴$\(∠OAC=∠ABD=60°\)$，同位角相等，OC∥BD。 **（2）解** △OBD是等边三角形，OB=5，∴BD=**5**。 11. 辨析判断题（对√，错×） ①圆心角相等，所对弦相等（×，缺少同圆等圆） ②同圆中两条弦相等，弦所对的圆心角相等（√） ③等弧一定在同圆或等圆中（√） ④弧长相等就是等弧（×，半径不同弧长可相等，弧度数不等） ## 五、方法总结 圆心角这一节，核心就是**“一组量相等，其余各组量全部相等”**，前提永远不能忘：同圆或等圆。解题常见组合：圆心角+等腰三角形（半径相等）、圆心角+垂径定理、圆心角+三角形三边关系。看到弧中点，立刻想到弧平分→圆心角平分→弦相等。考试大题常考弧的加减，通过弧相加，证明大弧相等，进而证弦相等。做选择填空务必警惕没有“同圆/等圆”前提的陷阱。 （全文约1446字） 要不要我再配套一份纯题目版（不带答案），方便你直接打印做题？ 人教版（新教材）数学九年级上册 29.2.2 圆心角 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第29章 圆 【思考】 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形 . O A B 180° 【观察】1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ O α 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性. · · O B A · O B A 观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？ 顶点在圆心上 剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ O 45° 90° 180° 圆是中心对称图形， 圆心就是它的对称中心； 始终与原图形重合 环节二：认识圆的旋转不变性 探 究 把圆绕圆心旋转任意一个角度， 所得的图形都与原图形重合. 圆是旋转对称图形 3.圆的旋转不变性 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 1. 返回 下列说法正确的是(　　) A．圆是中心对称图形，但不是旋转对称图形 B．圆的对称中心只有一个 C．圆绕圆心旋转35°21′后，所得图形不会与原图形重合 D．圆的对称中心是圆上任意一点 B 举一反三 7 返回 2. 下列选项中的角是圆心角的是(　　) A 举一反三 返回 3. 如图，AB为⊙O的直径，D为半圆上的一点，且 所对圆心角的度数是 所对圆心角度数的2倍，则∠BOD＝________． 60° 举一反三 返回 4. 如图，在⊙O中， ，AB＝3，则AC的长为(　　) A．1 B． C．3 D．4 C 举一反三 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦和弧有怎样的关系？ 环节三：探究圆心角定理 猜想： 圆绕圆心旋转任意角度都能重合， 圆心处的角对应的弧、弦可能相等。 圆具有旋转不变性，利用这个特性，你能证明你的猜想吗？。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究圆心角定理 O A B A' B' (A') (B') 思 考 如图.在⊙O 中，当圆心角∠AOB = ∠A′OB′时，它们所对的弧 和 弦AB和A'B'相等吗？为什么？ ∵∠AOB=∠A'OB'， ∴射线OB与OB'重合. 又OA=OA'，OB=OB'， ∴点A与A'重合，点B与B'重合. 因此，AB与A‘B’重合， 与 重合， 即AB=A'B'， = . 我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转， 使射线OA与OA'重合. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三：探究圆心角定理 如图. 等圆⊙O1与⊙O2中，当圆心角∠AOB = ∠A′OB′时，它们所对的弧 和 弦AB和A'B'相等吗？为什么？ O1 A B O2 A′ B′ 思 考 ∵⊙O1与⊙O2是等圆 ∴ ⊙O1与⊙O2能重合 ∵∠AOB = ∠A′OB′ ∴我们把∠AOB连同AB绕圆心O旋转，使射线OA与OA‘重合，由圆的旋转不变性， 弧 和 弦AB和A′B′重合 = AB=A'B' 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节三：探究圆心角定理 4.圆心角定理： O A′ B′ A B ∵在⊙O中，∠AOB =∠A′OB′ ， ∴ AB =A'B’ ， = . 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. 几何语言： 角相等 线段相等 弧相等 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 “在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉？ B' A' O B A AB=A'B' ∠AOB∠A'OB' 前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢. 环节四：圆心角、弧、弦的关系 思考 = 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节四：圆心角、弧、弦的关系 根据圆的旋转不变性，同圆或等圆中，弧相等、弦相等、或圆心角相等，这三个只要一个条件成立，能推出其他两个也成立 思考 O A B A' B' (A') (B') = 如图.在⊙O 中，当 = 时，圆心角∠AOB 与∠A′OB′，弦AB和A'B'相等吗？ ∠AOB =∠A′OB′ AB=A'B' AB=A'B' ∠AOB =∠A′OB′ = m = 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节四：圆心角、弧、弦的关系 5.弧、弦、圆心角之间的关系 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. O A′ B′ A B 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 　　 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等 6、弧、弦、圆心角关系定理推论： 简记为：“知一推二”. 环节四：圆心角、弧、弦的关系 注意：弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条，优弧相等或劣弧相等 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 两个圆心角相等 两条弧等 两条弦相等 例题讲解 例1 如图，在⊙O中， = ，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵ = ∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形 又∵ ∠ACB=60° ∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 例题讲解 例2.已知：如图，MN是的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，P是MN上一动点，的半径为1， 求的最小值 解：作B点关于MN的对称点，连结与MN交于点P， 易证得，此时取得最小值． 根据圆的对称性，点在上，且， ∵A是半圆的三等分点，∴， ∴， ∵B是的中点，∴， ∴， ∴， ∵半径为1，∴， ∴，∴的最小值为． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，在⊙O中， ，∠AOB＝35°，则∠COD的度数是(　　) A．50° B．45° C．40° D．35° 返回 5. D 举一反三 如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论不一定正确的是(　　) A ． B ． C．AC＝BD D．AD＝BD 返回 6. D 举一反三 返回 7. 下列说法中，正确的是(　　) A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弦所对的圆心角相等 B 举一反三 返回 8. 如图，AB，CD是⊙O的两条弦，∠AOC＝∠BOD.求证：AB＝CD. 证明：∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠AOC＋∠COB＝∠BOD＋∠COB， ∴∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD. 举一反三 返回 9. [教材P127练习T2变式]如图，在⊙O中，AB是直径，∠AOE＝60°，C，D是 的三等分点，求∠COE的度数． 解：∵∠AOE＝60°， ∴∠BOE＝180°－60°＝120°. ∵ ∴∠EOD＝∠DOC＝∠COB＝ ×120°＝40°， ∴∠COE＝∠COD＋∠EOD＝80°. 举一反三 25 返回 10. [保定期中]如图，⊙O的半径OA＝5 cm，已知弦CD＝5 cm，那么弦CD所对圆心角的度数为(　　) A．30° B．50° C．60° D．80° C 举一反三 26 返回 11. [河北中考]如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是(　　) A．a<b B．a＝b C．a>b D．a，b大小无法比较 A 举一反三 27 返回 12. 如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为(　　) A．42° B．44° C．46° D．48° D 举一反三 28 13. [南充中考]如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD＝4，则PE＋PF的最小值是(　　) A．4 B．2 C．6 D．4 C 返回 举一反三 14. 如图，在⊙O中， 且BD⊥OC，垂足为D.若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为________． 5 返回 举一反三 15. 如图，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是 的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD. 返回 证明：连接AC，BD. ∵ ∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝∠BOD. ∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°， 举一反三 返回 ∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°. ∵OA＝OC，∠AOC＝30°， ∴∠ACE＝ ×(180°－30°)＝75°＝∠AEC，∴AE＝AC. 同理可得BF＝BD，∴AE＝BF＝CD. 举一反三 圆的旋转对称性 圆心角 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 顶点在圆心的角叫做圆心角. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 弧、弦、圆心角 弧、弦、圆心角的关系 课堂小结与知识梳理 谢谢观看 THANKS ＝ � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� ＝ ＝ ＝ C，D是的三等分点，∴＝＝， ＝2 C，D是的三等分点， ∴＝＝. $