29.2.3 课时1 圆周角及其推论 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

29.2.3 圆周角 课时1 圆周角及其推论 22051 1理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理. 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解 决简单的几何问题. 3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. 学习目标 22051 【问题1】什么叫做圆心角？ 顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠ · O B A 【问题2】右图这个角是圆心角吗？如果不是那它是什么？ · O B C A 对于与圆有关的角，除了圆心角，还有一种特殊位 置的情形：角的顶点在圆上，并且两边都与圆相交.下面就来研究这种角. 圆心角 新课导入 22051 · O B C A 圆心角的定义： 如图，在⊙O中，∠A的顶点在圆上，点 B，C是∠A的两边与圆的交点．像这样，顶点在圆上并 且两边都与圆相交的角叫作圆周角 归纳 22051 · C O B B A · C O A B · C O B A 【练习】下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由. 顶点A不在圆上 边AC没有和圆相交 √ 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可） 巩固练习 22051 【探究】如图，连接，，得到圆心角∠可以发现，圆周角 ∠与圆心角∠对着同一条弧，分别测量图中所对的圆周角∠和圆心角∠的度数，它们之间有什么关系？ · O B C A 所有同弧所对的圆心角与圆周角关系都是这样吗？ 新知讲解 22051 如图，为了证明上面发现的结论，在⊙0上任取一个圆周角 ∠BAC，可以发现，圆心O与圆周角∠BAC的位置关系有三种： （1）圆心在圆周角的一条边上； （2）圆心在圆周角的内部； （3）圆心在圆周角的外部. 新知讲解 22051 先来分析情况(1).如图，圆心O在∠BAC的一条边上. OA=OC⇒∠A=∠C ∠BOC=∠ A+∠C 符号“⇒”读作 “推出”，“A⇒B”表示由条件A推出结论B. 新知讲解 22051 再来分析情况(2)圆心在圆周角的内部. OA=OB⇒∠BAD=∠B ∠BOD=∠+∠B ⇒∠BAD= ⇒∠CAD= 连接 AO 并延长交⊙O 于点 D 新知讲解 22051 再来分析情况(3)圆心在圆周角的外部. ∠DAC= ∠DOC 连接 AO 并延长交⊙O 于点 D ∠DAB= ∠DOB ∠BOC= ∠DOC-∠DOB ∠BAC= ∠DAC-∠DAB 新知讲解 22051 这样，就得到圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. OA=OC⇒∠A=∠C ∠BOC=∠ A+∠C 归纳 22051 (1)∠BOC= º，理由是____________ _________________________________; (2)∠BDC= º，理由是____________ _________________________________. 同弧所对的圆周角相等 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 【练习】如图，点A、B、C、D在⊙O上，点A与点D在点B、C所在直线的同侧，∠BAC=35º. 70 35 巩固练习 22051 进一步，可以得到下面的推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 你能否证明这两个推论？ 新知讲解 22051 证明：同弧或等弧所对的圆周角相等 D A B O C E F 如图，若∠与∠相等吗？ 解：相等.理由如下： ∵，∴∠=∠ ∵∠= ∠∠= ∠ ∴∠=∠ 反过来，若∠A=∠B，那么成立吗？ 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 新知讲解 22051 证明：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 解：∵AB是直径，点O是圆心， ∴∠AOB=180°. ∵∠ACB是直径AB所对的圆周角， ∴∠ACB=∠AOB=90°. 如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想一想，∠ACB会是怎样的角？ · O A C B 新知讲解 22051 【例3】如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为6. ACB 的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. · O A C B D 分析：解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、 圆周角、直径和弦之间的关系．由是直径，可知圆周角；由圆周角，可知它们相应的圆心角相等，进而得到弦. 典例精析 22051 · O A C B D 解：如图，连接. ∵是⊙O的直径， ∴∠=∠=90°. ∵在Rt△中，=10，=6， ∴=. ∵平分∠， ∴∠=∠. ∵在⊙中，∠=2∠，∠=2∠， ∴∠=∠. ∴. 又∵在Rt△中：²+²=²， ∴===5 . 典例精析 22051 【练习】如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为_____. 方法点拨：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后灵活运用圆周角定理. 30° 巩固练习 22051 圆周角 概念 顶点在圆上并 且两边都与圆相交的角叫作圆周角 圆周角及其推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 课堂小结 22051 1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( ) C 当堂检测 基础 22051 2.已知经过原点的⊙ P 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，点C 是弧AB 上一点，则∠ ACB 的度数是( ) A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定 B 当堂检测 基础 22051 证明：∵ ∠ACB =∠AOB，∠BAC = ∠BOC， ∠AOB = 2∠BOC， ∴ ∠ACB = 2∠BAC. A B C O 3. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC. 当堂检测 提升 22051 4.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E. (1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?(2)求证： A B C D E ∵AB是圆的直径，点D在圆上， ∴∠ADB=90°. ∴AD⊥BC. ∵AB=AC，∴BD=CD. （2）证明：在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD. . （1）解:BD=CD．理由如下：连接AD. 当堂检测 提升 22051 $