29.2.3 圆周角 第一课时 圆周角定理（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

# 29.2.3 圆周角（第一课时 圆周角定理）专项练习（人教版九上，约1450字） ## 一、核心知识点梳理 1. **圆周角定义**：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 > 区分：圆心角顶点在圆心；圆周角顶点必须落在圆周上，两边和圆相交。顶点在圆内、圆外都不是圆周角。 2. **圆周角定理**：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 公式：$\boldsymbol{∠圆周角=\dfrac12∠圆心角}$。 3. **定理推导的三种位置分类（理解即可）** ①圆心在圆周角的一条边上；②圆心在圆周角内部；③圆心在圆周角外部。无论哪种情况，定理结论不变。 4. **推论1**：同弧或等弧所对的圆周角相等。 > 易错点：必须是**同弧、等弧**；如果是同弦，弦对应的圆周角有两个，可能互补，不一定相等。 5. **解题思路** 看到圆上的角，优先找**同一条弧**，转化角度；圆周角和圆心角共存时，用“一半关系”换算角度；常结合等腰三角形（半径相等）、三角形外角、内角和综合计算。 ## 二、基础过关（选择+填空） 1. 下列图形中的角，属于圆周角的是（） A.顶点在圆心，两边交圆 B.顶点在圆上，两边交圆 C.顶点在圆内，两边交圆 D.顶点在圆外，两边交圆 **答案：B** 2. 在⊙O中，弧AB所对的圆心角$\(\(∠AOB\)=70°\)$，则弧AB所对的圆周角为（） A.1\(\boldsymbol{40°}\) B.70° C.35° D.20° **答案：C** 解析：圆周角等于同弧圆心角的一半，$\(70°÷2=35°\)$。 3. 同一段弧所对的圆周角是48°，则这条弧对应的圆心角=____°。 **答案：96°** 4. 在⊙O中，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\(∠AOC=100°\)$，则弧BC所对圆周角=____°。 **答案：50°** 5. 如图，A、B、C三点在⊙O上，$\(∠BAC=30°\)$，$\(∠BOC=\)$____°。 **答案：60°** ## 三、能力提升（解答题，写完整步骤） 6. 已知：点A、B、C在⊙O上，OA=OB，圆周角$\(\(∠ACB\)=25°\)$，求圆心角$\(∠AOB\)$的度数。 **解**： ∵$\(∠ACB\)$是弧AB所对圆周角，$\(∠AOB\)$是弧AB所对圆心角， 根据圆周角定理： $\(∠AOB\)=2\(∠ACB\)=2×25°=\boldsymbol{50°}$。 7. 如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$。求证：$\(∠ACB\)=\(∠CBD\)$。 **证明**： ∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（已知）， 同弧或等弧所对的圆周角相等， 弧AB对应的圆周角是$\(∠ACB\)$，弧CD对应的圆周角是$\(∠CBD\)$， ∴$\boldsymbol{\(∠ACB\)=\(∠CBD\)}$。 8. 如图，AB是⊙O的弦，圆心O在△ABC内部，点C在圆上，$\(∠AOB\)=110°$，求$\(∠ACB\)$。 **解**： $\(∠ACB\)$为弧AB所对圆周角，$\(∠AOB\)$是弧AB所对圆心角。 由圆周角定理： $\(∠ACB\)=\dfrac12\(∠AOB\)=\dfrac12×110°=\boldsymbol{55°}$。 9. 易错题：⊙O中，弦AB对应的圆心角是80°，求弦AB所对的圆周角度数。 **解**： 弦AB把圆分成两段弧：劣弧AB=80°，优弧AB=360°−80°=280°。 - 劣弧AB对应的圆周角：$\dfrac12×80°=\(\boldsymbol{40°}\)$ - 优弧AB对应的圆周角：$\dfrac12×280°=1\(\boldsymbol{40°}\)$ ∴弦AB对应的圆周角为$\boldsymbol{\(\boldsymbol{40°}\)}$或$\boldsymbol{1\(\boldsymbol{40°}\)}$。 > ⚠️高频陷阱：一条弦对应两段弧，两个圆周角，两角互补。很多同学只算出一个答案。 ## 四、中考综合训练 10. 如图，A、B、C在⊙O上，OA∥BC，$\(∠AOB\)=50°$，求$\(∠OAC\)$的度数。 **解**： ∵$\(∠AOB\)=50°$，弧AB对应的圆周角$\(∠ACB\)=\dfrac12\(∠AOB\)=25°$。 ∵OA∥BC，内错角相等，∴$\(∠OAC\)=\(∠ACB\)=\boldsymbol{25°}$。 11. 如图，⊙O半径OA=OB，点C在圆上，$\(∠OAB=60°\)$，求$\(∠ACB\)$。 **解**： ∵OA=OB，$\(∠OAB=60°\)$，∴△OAB是等边三角形。 $\(∠AOB\)=60°$。 由圆周角定理，$\(∠ACB\)=\dfrac12\(∠AOB\)=\boldsymbol{30°}$。 12. 判断正误（对√，错×） ①圆周角的度数等于圆心角度数的一半（×，缺少前提：**同一条弧所对**） ②同弧所对的圆周角相等（√） ③相等的圆周角所对的弧相等（×，缺少同圆或等圆前提） ④弦所对圆周角一定相等（×，弦对应两段弧，两角互补） ## 五、方法总结 圆周角定理是圆这一章的核心考点，核心一句话：**同一条弧，圆周角=圆心角的一半**。做题第一步，找准角对着哪一段弧。 解题常考模型： 1. 已知圆心角求圆周角，直接除以2；已知圆周角求圆心角，乘以2。 2. 同弧→圆周角相等，用来转移角度，证明角相等。 3. 弦对应的圆周角，一定要考虑两种情况，两个角度互补，这是选择题、填空题最容易丢分的地方。 4. 经常和圆心角、垂径定理、平行线、等腰三角形混合出题。大题一般用来证明角相等，或者角度计算。 学习时一定要区分：圆心角看顶点在圆心，圆周角看顶点落在圆周上，牢牢记住“同弧”这个前提条件，避开判断题陷阱。 （全文约1448字） 需要我单独出一份**无答案纯题目版**，方便直接打印练习吗？下一课是圆周角第二课时（直径所对圆周角90°，圆内接四边形），要不要一起准备？ 人教版（新教材）数学九年级上册 29.2.3 圆周角 第一课时 圆周角定理 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第29章 圆 问题1: 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角, ∠BOC. 问题2: 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点? A ∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B，C两点. 导入新课 ►►球员在圆上不同点对着球门射门，射门角∠ABC，∠ADC，∠AEC有什么特征？与圆心角比较最大的区别是什么？ ►►猜想： ∠ABC==∠ADC=∠AEC 即同一段球门弧对应的射门角度相等。 O A E B C D 开始今天的学习 ——圆周角定理及其推论 猜想对吗？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：认识圆周角 O A B C 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定义 （2）观察图形，在⊙O中， ∠AOB是圆的什么角？ ∠ACB与∠AOB所对的弧一样吗？ 讨论 （1）观察图形，在⊙O中， ∠ACB有什么特征？ 角的顶点C在圆上，角的两边CA、CB都与圆相交于A、B两点 圆周角 ∠AOB是圆心角 ∠ACB是圆周角 对的弧一样 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：认识圆周角 圆心角 圆周角 区别 联系 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个 角的两边都与圆相交 2. 圆周角与圆心角的对比 圆心角顶点在圆心，圆周角顶点在圆上；两者两边均与圆相交。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：认识圆周角 活动1 已知∠BAC是⊙O的一个圆周角，画出图形，观察圆心与圆周角的位置你有什么发现？ A B C O A B C O A B C 圆心在圆周角边上 圆心在圆周角内部 圆心在圆周角外部 O 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节一：认识圆周角 活动2 画出弧BC对的圆心角，并用量角器量一量弧AB对的圆心角和圆周角的度数，比一比，有什么发现？ O A B C O A B C O A B C 猜想：圆周角是对应圆心角的一半。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 1. 返回 下列选项中，∠BAC是圆周角的是(　　) B 举一反三 8 返回 2. 如图，点A，B，C，D都在圆上，弦BD交AC于点P，连接AB，AD，BC，则 所对的圆周角是_______________． ∠ACB和∠ADB 举一反三 返回 3. [湖南中考]如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为(　　) A．60° B．75° C．90° D．135° C 举一反三 环节二：探究圆周角定理 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC O A B C O A B C O A B C 三种情况需要分别证明。 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC 环节二：探究圆周角定理 O A B C OA = OC ∠A= ∠C ∠BOC= ∠Ａ+ ∠C = 2∠Ａ ∠A=∠ BOC 符号“”读作“推出”，“AB”表示由条件A推出结论B. 分析： 第一种情况，圆心在角的一边上 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC 环节二：探究圆周角定理 O A B C 第一种情况，圆心在角的一边上 证明：如图，圆心O在边AB上. ∵ OA = OC（半径相等）， ∴ ∠A= ∠C（等边对等角）. 又 ∵ ∠BOC是△OAC的外角， ∴ ∠BOC= ∠Ａ+ ∠C = 2∠Ａ， ∴ ∠BAC =∠ BOC 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 环节二：探究圆周角定理 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC O A B D O A C D O A B C D 第二种情况 圆心O在∠BAC的内部 分析： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC 环节二：探究圆周角定理 第二种情况 圆心O在∠BAC的内部 证明 ：连接ＡO并延长交⊙O于D. 由情况1可知:∠BAD=∠BOD，∠DAC=∠DOC. ∴ ∠BAC = ∠BAD + ∠DAC = ∠BOD +∠DOC = （∠BOD＋∠DOC） = ∠BOC. A B C O D 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC 环节二：探究圆周角定理 O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D 情况三 圆心O在∠BAC的外部 分析： 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明：一弧所对的圆周角是所对圆心角的一半。 已知：∠BAC是⊙O中弧AB对的圆周角，∠BOC是⊙O中弧AB对的圆心角， 求证： ∠BAC= ∠BOC 环节二：探究圆周角定理 O A B C D 证明：如图，连接AO并延长交⊙O于D， 由情况1可知： ∠CAD=∠DOC， ∠BAD = ∠BOD， ∴ ∠BAC = ∠CAD－∠BAD =－ ∠BOD = （∠DOC－∠BOD） = ∠BOC. 情况三 圆心O在∠BAC的外部 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 返回 4. [长沙中考]如图，AC，BC为⊙O的弦，连接OA，OB，OC.若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为(　　) A．40° B．45° C．50° D．55° C 举一反三 [石家庄期中]如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点E在 上，若∠ABC＝50°，求∠BEC的度数． 返回 5. 解：∵AB＝AC，∠ABC＝50°， ∴∠ACB＝∠ABC＝50°， ∴∠A＝180°－50°－50°＝80°， ∴∠BEC＝∠A＝80°. 举一反三 如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(　　) A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D 返回 6. D 举一反三 返回 7. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝40°，则∠B的度数为(　　) A．80° B．60° C．50° D．40° C 举一反三 返回 8. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12 cm，BC＝5 cm，则圆形镜面的直径为(　　) A．12 cm B．13 cm C．14 cm D．15 cm B 举一反三 返回 9. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且CA＝CB，连接CD，BD，求∠D的度数． 解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵CA＝CB，∴∠CAB＝45°， ∴∠D＝∠CAB＝45°. 举一反三 23 返回 10. 如图，AD是半圆O的直径，点B，C在半圆上，且 ，点P在 上．若∠PCB＝130°，则∠PBA等于(　　) A．105° B．100° C．90° D．70° B 举一反三 24 返回 11. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在以AB为直径的半圆上，连接CD交AB于点E，若∠AEC＝70°，则 所对的圆心角的度数是(　　) A．25° B．35° C．50° D．70° C 举一反三 25 返回 12. [石家庄长安区期中]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径．已知∠ACD＝∠DBC，CD＝ ，AB＝3，那么BC的长为(　　) A．3 B．2.5 C．5 D．4 D 举一反三 26 13. 【情境题 生活应用】如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上安装这样的监视器________台． 4 返回 举一反三 14. [连云港中考]如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________°. 90 返回 举一反三 15. [安徽中考]如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是直径AB上一点，∠ACD的平分线交AB于点E，交⊙O于另一点F，FA＝FE. (1)求证：CD⊥AB； 返回 举一反三 证明：∵FA＝FE，∴∠FAE＝∠AEF. ∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角，∴∠FAE＝∠BCE. ∵∠AEF＝∠CEB，∴∠CEB＝∠BCE. ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴∠CDE＝90°，∴CD⊥AB. 返回 举一反三 返回 (2)设FM⊥AB，垂足为M，若OM＝OE＝1，求AC的长． 解：由(1)知∠BEC＝∠BCE，∴BE＝BC. ∵AF＝EF，FM⊥AB，∴MA＝ME＝OM＋OE＝2，∴AE＝4， ∴圆的半径OA＝OB＝AE－OE＝3， ∴AB＝6，BC＝BE＝OB－OE＝2. 在△ABC中，∵AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°， 举一反三 环节二 探究圆周角定理 定理 情况 图示 几何语言 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆心在圆周角的一条边上 圆心在圆周角的内部 圆心在圆周角的外部 3.圆周角定理 结论 ∵ = ∴ ∠ACB=∠AOB 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 谢谢观看 THANKS ＝＝ ∴AC＝＝4 . $