第三章 整式及其加减 单元整合作业 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

四川省成都市七年级数学上学期单元整合作业 北师大版（2024年版）七年级上册　第三章　整式及其加减 应用场景：单元整合作业，用于《整式及其加减》全章复习巩固，预计 60 分钟。 出题人 马瑞繁 适用地区 四川成都 教材版本 北京师范大学出版社　七年级上册（ 2024 年版） 考查范围 第三章　整式及其加减（含用字母表示数、单项式与多项式、同类项与合并同类项、去括号与添括号、整式的加减、化简求值） 作业类型 单元整合作业（ 21 题，满分 100 分；另附附加题 5 题，共 20 分） 建议用时 约 60 分钟 一、作业目标 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求：会用字母表示数量关系，理解单项式、多项式的概念，掌握合并同类项与去括号的方法，能进行简单的整式加减运算，并会用代数式刻画数量关系、解决实际问题。 （二）分层目标 基础目标（全体学生）能说出单项式的系数与次数、多项式的项与次数，会判断同类项，会合并同类项，会去括号，能完成一到两步的整式加减。 提高目标（大部分学生）能处理系数含分数与负号的式子，掌握"先去小括号再去中括号"的顺序，能按某字母降幂重排多项式，会先化简再代入求值。 拓展目标（学有余力的学生）能发现内在联系并整体代入求值，能由数式规律抽象出一般式并用整式恒等变形证明，能在方案比较问题中用含字母的式子统一表达并作出判断。 （三）素养落点 以符号意识与运算能力为主线，兼及抽象能力与模型观念。本章的转折在于"从数走向式"——用字母把关系写出来，再用整式运算把关系化简。第 8、18、21 题负责建模，第 17、20 题负责整体思想，第 19 题负责从特殊到一般的抽象。 二、作业内容 成都某中学的秋季运动会要采购器材、制作班牌、安排赛程，很多数量都要先用字母表示出来，再通过整式的加减化简成最简洁的样子。下面从最基本的概念与运算开始，逐步走到建模与探究。 第一部分　基础巩固（第 1—8 题，每题 3 分，共 24 分，约 18 分钟） 1. （原创）单项式的系数与次数。单项式 -3a²b/5 的系数与次数分别是（　　） A. -3/5，3　　B. 3/5，3　　C. -3/5，4　　D. -3，3 答： 2. （原创）识别单项式。下列各式中，是单项式的是（　　） A. x + 1　　B. 2/π　　C. 1/x　　D. (a + b)/2 答： 3. （原创）多项式的次数与常数项。多项式 2x³ - x²y + 3xy² - 5 的次数与常数项分别是（　　） A. 3，-5　　B. 3，5　　C. 4，-5　　D. 5，-5 答： 4. （原创）判断同类项。下列各组式子中，是同类项的是（　　） A. 2a²b 与 2ab²　　B. -3x²y 与 5yx²　　C. 3xy 与 3x　　D. a³ 与 3³ 答： 5. （原创）合并同类项。化简 3x² - 5x² + 2x² 的结果是（　　） A. -4x²　　B. 0　　C. 4x²　　D. 6x² 答： 6. （原创）去括号。化简 -(2a - 3b + 1) 的结果是（　　） A. -2a - 3b + 1　　B. -2a + 3b - 1　　C. -2a + 3b + 1　　D. -2a - 3b - 1 答： 7. （原创）括号前的符号。化简 a - (b - c) 的结果是（　　） A. a - b - c　　B. a - b + c　　C. a + b - c　　D. a + b + c 答： 8. （原创）用字母表示数量关系。某商品原价为 a 元，先提价 20%，再降价 20%，则现价是（　　） A. a 元　　B. 0.96a 元　　C. 1.04a 元　　D. 0.98a 元 答： 第二部分　综合提升（第 9—15 题，共 28 分，约 22 分钟） 9. （原创）概念辨析。下列说法正确的是（　　） A. 单项式 -a 的系数是 -1，次数是 1 B. 多项式 x² - 2x + 1 是二次三项式 C. 5²x²y 的系数是 5 D. 单独一个字母 a 不是单项式 答： 10. （原创）去括号与添括号。下列变形正确的是（　　） A. a + (b - c) = a + b - c B. a - (b - c) = a - b - c C. a - b + c = a - (b - c) D. a + b - c = a + (b - c) 答： 11. （原创）同类项的条件。若 x²y|m| 与 -3x²y³ 是同类项（m 为整数），下列说法正确的是（　　） A. m 可以是 3　　B. m 可以是 -3 C. m 一定是 3　　D. 这两个同类项的系数之和为 -2 答： 12. （原创）含 π 的单项式。单项式 -(2/3)πr²h 的系数是　　　　，次数是　　　　。 答： 13. （原创）同类项求指数。若 3amb³ 与 -a²bn 是同类项，则 m + n = 　　　　。 答： 14. （原创）降幂排列。把多项式 3y³ + x³ - 2x²y² - 4 按 x 的降幂排列为　　　　，它是　　　　次　　　　项式。 答： 15. （原创）整式的加减。已知 A = 3x² - 2x + 1，B = x² + 4x - 3，则 A - 2B = 　　　　。 答： 第三部分　拓展探究（第 16—21 题，每题 8 分，共 48 分，约 20 分钟） 16. （原创）整式化简。化简下列各式： （1）5a² - 3a - 2 - (2a² - 4a + 1)； （2）3(2x - y) - 2(3x + y)； （3）2(a²b - ab²) - 3(a²b - 1) + ab²。 答： 17. （原创）先化简，再求值。 （1）3x²y - [2x²y - (2xy - 3x²y) - xy]，其中 x = -1，y = 2； （2）已知 |a - 2| + (b + 1)² = 0，求 5a²b - [2a²b - (3ab² - 5a²b)] - 2ab² 的值。 答： 18. （原创）票价中的整式。成都某条地铁线路的票价规则是：起步价 2 元，可乘 4 公里；超过 4 公里的部分，每公里加收 0.5 元（里程按整公里计算）。设乘车里程为 x 公里（x > 4，且 x 为整数）。 （1）用含 x 的式子表示票价，并化简； （2）小明从家到学校要乘 12 公里，应付票价多少元？ （3）若某次乘车付了 8 元，求这次乘车的里程。 答： 19. （原创）数式规律探究。观察下列等式： 1 × 3 + 1 = 4 = 2²；　2 × 4 + 1 = 9 = 3²；　3 × 5 + 1 = 16 = 4²；…… （1）按此规律，写出第 5 个等式； （2）用含 n 的式子表示第 n 个等式，并利用整式运算说明等号左边化简后等于右边； （3）利用（2）的结论，把 2024 × 2026 + 1 写成平方的形式，并求出这个平方数。 答： 20. （原创）整体代入。已知 a - 2b = 3，求下列各式的值： （1）3a - 6b + 5； （2）(a - 2b)² - 2a + 4b + 1； （3）若 2a - 4b + 3m = 15，求 m 的值。 答： 21. （原创）方案比较。学校运动会要买两种笔记本做奖品。甲种每本 x 元，乙种每本比甲种贵 2 元。 （1）买 3 本甲种和 4 本乙种共需多少元？用含 x 的式子表示并化简； （2）当 x = 5 时，求（1）中的总价； （3）若 x = 5，要买 6 本甲种笔记本。甲店规定"购买 5 本及以上打八折"，乙店规定"满 30 元减 5 元"。在哪家店买更便宜？便宜多少元？ 答： 第四部分　附加题（第 22—26 题，每题 4 分，共 20 分，不计入前面的 100 分，供学有余力的学生选做） 22. （原创）错解诊断。小明化简 3(x² - 2x) - 2(x² - 3x + 1) 的过程如下： 解：原式 = 3x² - 6x - 2x² - 6x + 2　……第一步 　　　　= (3 - 2)x² + (-6 - 6)x + 2　……第二步 　　　　= x² - 12x + 2　……第三步 （1）小明的解答从第　　　　步开始出错，错误原因是　　　　； （2）写出正确的化简过程； （3）当 x = 2 时，求正确结果与小明结果的差。 答： 23. （原创）开放构造。请你写出一个同时满足下列三个条件的多项式：①是关于 x、y 的四次三项式；②各项系数之和为 0；③不含常数项。写出你构造的多项式，并逐条验证它满足这三个条件。 答： 24. （原创）小棒摆三角形。用同样长的小棒摆三角形，相邻两个三角形共用一条边。摆 1 个三角形用 3 根小棒，摆 2 个用 5 根，摆 3 个用 7 根，按此规律继续摆下去。 （1）摆 5 个三角形需要多少根小棒？ （2）摆 n 个三角形需要多少根小棒？用含 n 的式子表示； （3）若某次摆完后一共用了 2025 根小棒，求这次一共摆了多少个三角形。 答： 25. （原创）分数系数化简。化简 1/2(4x² - 2x + 6) - 2/3(3x² - 6x + 9)，并求当 x = -3 时该式子的值。 答： 26. （原创）采购方案。学校要给七年级 n 个班配桌椅，每班配 45 套课桌和 6 张讲台桌。课桌每套 a 元，讲台桌每张 b 元。 （1）用含 a、b、n 的式子表示总费用； （2）当 a = 180、b = 320、n = 8 时，求总费用； （3）商家给出两种优惠：方案一，全部打九折；方案二，课桌打八五折、讲台桌不打折。用含 a、b、n 的式子分别表示两种方案的费用，并在 a = 180、b = 320、n = 8 时判断哪种方案更省钱，省多少元。 答： 三、参考答案与解析 本作业共 26 题，满分 100 分，另有附加题 20 分。第 1—8 题每题 3 分，第 9—11 题每题 4 分，第 12—15 题每题 4 分，第 16—21 题每题 8 分，第 22—26 题为附加题，每题 4 分，不计入 100 分。以下给出参考答案与要点解析，每题末尾点明典型错因，便于批改后集中讲评。 1. A。单项式的系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和。把 -3a²b/5 写成 -(3/5)·a²·b，数字因数是 -3/5；字母 a 的指数是 2，b 的指数是 1，次数为 2 + 1 = 3。典型错因有两类：一是把分母上的 5 忘掉，直接答 -3；二是把系数 5 的指数也算进次数，得 4。记住"次数只数字母的指数，不数数字的指数"，选 C 的就是踩了后一个坑。 2. B。单项式是数与字母的积，单独一个数或一个字母也是单项式。B 中 2/π 的 π 是一个确定的数（约 3.14），所以 2/π 是一个常数，属于单项式。A 中 x + 1 是两项的和，是多项式；C 中 1/x 的分母含字母，不是整式；D 中 (a + b)/2 可以拆成 a/2 + b/2，是两项之和，也是多项式。本题的陷阱是把"含字母"等同于"不是单项式"：判断的关键是看字母在不在分母上，而不是式子里有没有字母。 3. A。多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。2x³ 的次数是 3，-x²y 的次数是 2 + 1 = 3，3xy² 的次数是 1 + 2 = 3，-5 是常数项，次数为 0。最高为 3，所以是三次多项式。常数项要连同前面的符号一起看，这里是 -5，不是 5。选 B 是漏掉了负号；选 D 是把系数 3 当成次数了。 4. B。同类项要"两同"：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同，与系数无关，与字母的排列顺序也无关。B 中 -3x²y 与 5yx²，字母都是 x、y，x 的指数都是 2，y 的指数都是 1，只是书写顺序不同，是同类项。A 中 a 的指数一个是 2 一个是 1，不行；C 中 3x 少了字母 y，不行；D 中 3³ = 27 是常数，不含字母 a，与 a³ 不是同类项。这类题最容易错的就是 D：看到"3"就以为指数相同。 5. B。合并同类项只把系数相加，字母和字母的指数保持不变：(3 - 5 + 2)x² = 0·x² = 0。系数算出来是 0，结果就是 0，不能写成 0x²，更不能因为"看不出字母"就随手写成 x²。选 A 的是把 -5 当成 5 加；选 D 的是把减号看漏了。这类"系数和为 0"的题每年都会考，属于必须一次做对的送分题。 6. B。括号前是负号，去括号时括号里每一项都要变号：-(2a - 3b + 1) = -2a + 3b - 1。典型错因是只变第一项：写成 -2a - 3b + 1，也就是选了 A。记住一句话——"负号进去，全家变脸"，括号里有几项就变几项，一项都不能漏。 7. B。a - (b - c) 中括号前是负号，去括号后 b 变 -b，-c 变 +c，所以结果是 a - b + c。选 A 的是只变了第一项；选 C、D 的是把括号前的"减"误当成"加"。可以代数字验证：令 a = 5、b = 3、c = 2，原式 = 5 - (3 - 2) = 4，而 a - b + c = 5 - 3 + 2 = 4，吻合；a - b - c = 0，不吻合。用特殊值检验去括号的结果，是本章最实用的自查办法。 8. B。提价 20% 后价格为 a(1 + 20%) = 1.2a；再在这个基础上降价 20%，是在 1.2a 上打八折，现价为 1.2a × (1 - 20%) = 1.2a × 0.8 = 0.96a。很多同学会脱口而出"还是 a"，理由是"先涨 20% 再降 20%，正好抵消"——这是典型的错觉：两次百分比变化的基数不同，第一次的基数是 a，第二次的基数是 1.2a。可以用 a = 100 检验：涨到 120，再降 20% 是降 24，得 96，比原价少了 4%。 9. A、B。A 对：-a 的系数是 -1（不是"没有系数"），次数是 1。B 对：x² - 2x + 1 有三项，最高次项的次数是 2，是二次三项式。C 错：5²x²y 的系数是 5² = 25，不是 5——数字的指数要算进去，只是不算进次数。D 错：单独一个字母 a 也是单项式，它的系数是 1，次数是 1。本题集中了四个高频易错点，建议作为讲评课的切入点。 10. A、C、D。A 对：括号前是正号，去括号各项都不变号。B 错：括号前是负号，去括号后 -c 应变成 +c，正确结果是 a - b + c。C 对：从右往左看是添括号，括号前添负号，括到括号里的各项都变号，-b 变 b、+c 变 -c，即 a - (b - c)，成立。D 对：括号前添正号，括进去的各项不变号。判断添括号对不对，最简单的办法是把括号里的式子按去括号规则展开，看能不能还原成原式。 11. A、B、D。同类项要求相同字母的指数分别相同，所以 |m| = 3，m = 3 或 m = -3。A、B 都对。C 错：m 不一定是 3，-3 也可以，因为指数上写的是 |m|，取绝对值后两者相同。D 对：x²y|m| 的系数是 1，-3x²y³ 的系数是 -3，合并同类项时系数相加得 1 + (-3) = -2，结果是 -2x²y³。本题的立意是"隐含条件"：题干里出现 |m|，就一定要分两种情况讨论，不能只取正数。 12. -2π/3；3。把式子写成 -(2/3)·π·r²·h，数字因数是 -2/3，但 π 也是数不是字母，所以完整的系数是 -2π/3。这一点是本题的关键：含 π 的单项式，π 要算进系数，不能当成字母。次数只数 r 与 h 的指数，r 的指数是 2，h 的指数是 1，共 3 次。常见错误是把 π 当成字母，算出 4 次；或者把系数写成 -2/3，漏掉 π。 13. 5。两式是同类项，则相同字母的指数必须相同：a 的指数 m = 2，b 的指数 3 = n，所以 m = 2、n = 3，m + n = 5。注意题目问的是 m + n，不是 m 或 n，算完两个值不要忘了相加。这类"由同类项求字母"的题，本质是列方程，指数对指数，一一对应。 14. x³ - 2x²y² + 3y³ - 4；四；四。按 x 的降幂排列，就是看每一项里 x 的指数从大到小排：x³ 中 x 的指数是 3，-2x²y² 中 x 的指数是 2，3y³ 与 -4 中不含 x，x 的指数为 0，排在最后。所以排列结果是 x³ - 2x²y² + 3y³ - 4。注意移动项的时候要带着前面的符号一起走，-2x²y² 的负号不能丢。多项式的次数看最高次项：-2x²y² 的次数是 2 + 2 = 4，所以是四次多项式；共有四项，是四次四项式。提醒一句：按 x 降幂排列不改变多项式的次数，只改变书写顺序。 15. x² - 10x + 7。先写出 2B = 2(x² + 4x - 3) = 2x² + 8x - 6，再作差：A - 2B = (3x² - 2x + 1) - (2x² + 8x - 6) = 3x² - 2x + 1 - 2x² - 8x + 6 = x² - 10x + 7。本题有三个必错的点：一是 2B 只乘了第一项，写成 x² + 4x - 3；二是减号后面的括号没有整体变号，把 -6 写成 +6；三是同类项没有对齐就合并。稳妥的做法是先给 2B 加上括号，再统一去括号，一步只做一件事。 16.（1）原式 = 5a² - 3a - 2 - 2a² + 4a - 1 = (5 - 2)a² + (-3 + 4)a + (-2 - 1) = 3a² + a - 3。 （2）先去括号：3(2x - y) = 6x - 3y，2(3x + y) = 6x + 2y，注意第二个括号前是负号，减去的是整个 6x + 2y。原式 = 6x - 3y - 6x - 2y = -5y。 （3）原式 = 2a²b - 2ab² - 3a²b + 3 + ab² = (2 - 3)a²b + (-2 + 1)ab² + 3 = -a²b - ab² + 3。 三小题分别考"去括号变号""分配律乘遍每一项""常数项别丢"。第（2）题的结果是 -5y，x 项恰好抵消，这不是算错，而是有意设计——如果算出含 x 的项，说明中间某一步乘错了。第（3）题最容易丢的是 -3 × (-1) 得到的 +3。 17.（1）先化简，从最里层往外去括号：2x²y - (2xy - 3x²y) - xy = 2x²y - 2xy + 3x²y - xy = 5x²y - 3xy。所以原式 = 3x²y - (5x²y - 3xy) = 3x²y - 5x²y + 3xy = -2x²y + 3xy。当 x = -1、y = 2 时，x² = 1，xy = -2，代入得 -2 × 1 × 2 + 3 × (-2) = -4 - 6 = -10。 （2）由绝对值和平方的非负性，|a - 2| ≥ 0 且 (b + 1)² ≥ 0，两个非负数之和为 0，只能各自为 0，所以 a - 2 = 0、b + 1 = 0，得 a = 2、b = -1。再化简：2a²b - (3ab² - 5a²b) = 2a²b - 3ab² + 5a²b = 7a²b - 3ab²，原式 = 5a²b - (7a²b - 3ab²) - 2ab² = 5a²b - 7a²b + 3ab² - 2ab² = -2a²b + ab²。代入 a = 2、b = -1：a² = 4，a²b = -4，ab² = 2，原式 = -2 × (-4) + 2 = 8 + 2 = 10。 两小题的共同要求是"先化简再代入"：直接代入虽然也能算出结果，但式子越长越容易算错，化简后往往只剩一两项，代入一次就出答案。第（2）题还有一处常见失误：把 b = -1 代入 ab² 时算成 -2，正确是 a × b² = 2 × 1 = 2，平方之后负号就没了。 18.（1）起步价 2 元管 4 公里，超出的部分是 (x - 4) 公里，每公里 0.5 元，所以要再加 0.5(x - 4) 元。票价为 2 + 0.5(x - 4) = 2 + 0.5x - 2 = 0.5x（元）。化简之后 2 与 -2 抵消，票价正好是里程的一半，这个简洁的结果正是整式化简的价值所在。 （2）当 x = 12 时，票价 = 0.5 × 12 = 6（元）。 （3）由 0.5x = 8，得 x = 16，所以这次乘车的里程是 16 公里。 本题的建模难点在"超出部分"这三个字：不少同学会写成 2 + 0.5x，把前 4 公里又算了一次钱。写式子之前先用具体数字试一遍（比如 10 公里应付 2 + 0.5 × 6 = 5 元），确认无误再把数字换成字母。 19.（1）第 5 个等式是 5 × 7 + 1 = 36 = 6²。 （2）观察三个等式的结构：第一个因数依次是 1、2、3，第二个因数依次是 3、4、5，都等于第一个因数加 2，右边是 2²、3²、4²，底数比第一个因数大 1。所以第 n 个等式为 n(n + 2) + 1 = (n + 1)²。证明：左边 = n² + 2n + 1，右边 = (n + 1)² = n² + 2n + 1，左边 = 右边，等式成立。 （3）在 n(n + 2) + 1 = (n + 1)² 中令 n = 2024，则 2024 × 2026 + 1 = 2025² = 4100625。 本题的立意是从特殊到一般：先由几个具体等式猜出一般规律，再用整式的乘法把"猜"变成"证"。第（3）问用到的正是这个一般式——不硬算 2024 × 2026，而是把大数运算转化为平方运算。2025² 的计算可以拆成 (2000 + 25)² = 4000000 + 2 × 2000 × 25 + 625 = 4100625。 20.（1）3a - 6b + 5 = 3(a - 2b) + 5。把 a - 2b 整体看成 3，原式 = 3 × 3 + 5 = 14。 （2）(a - 2b)² - 2a + 4b + 1 = (a - 2b)² - 2(a - 2b) + 1。代入得 3² - 2 × 3 + 1 = 9 - 6 + 1 = 4。 （3）2a - 4b + 3m = 15，即 2(a - 2b) + 3m = 15，代入得 2 × 3 + 3m = 15，6 + 3m = 15，3m = 9，m = 3。 三小题考的是同一个思想：不需要求出 a 和 b 各自是多少，只要把 a - 2b 当成一个整体代进去。第（2）题的变形方向要看清——-2a + 4b 提出 -2 后得到 -2(a - 2b)，符号不能掉。第（3）题是"逆用"：先把含字母的部分凑成 a - 2b 的样子，再反解 m。这类题在期中、期末里出现频率极高，属于必须掌握的通法。 21.（1）甲种每本 x 元，乙种每本 (x + 2) 元。买 3 本甲种需 3x 元，买 4 本乙种需 4(x + 2) 元，共需 3x + 4(x + 2) = 3x + 4x + 8 = (7x + 8) 元。 （2）当 x = 5 时，总价为 7 × 5 + 8 = 35 + 8 = 43（元）。 （3）x = 5 时甲种每本 5 元，买 6 本的原价是 6 × 5 = 30（元）。在甲店，因为购买 5 本及以上可以打八折，实付 30 × 0.8 = 24（元）；在乙店，30 元刚好达到"满 30 元"的门槛，实付 30 - 5 = 25（元）。24 < 25，所以在甲店买更便宜，便宜 1 元。 本题把"用字母表示—化简—代入求值—比较方案"四步连成一条线，是本章最完整的建模训练。第（3）问有两个易错点：一是把"打八折"理解成"减 8 元"；二是没注意乙店的门槛是"满 30 元"，30 元恰好够，如果买 5 本只有 25 元就不满 30，乙店反而不优惠。这类"临界值"的判断，建议让学生在草稿上把两家的实付金额并排列出来再比。 22.（1）从第一步开始出错。3(x² - 2x) 展开正确，是 3x² - 6x；错在 -2(x² - 3x + 1)，用分配律时要把 -2 乘遍括号里的每一项：-2 × x² = -2x²，-2 × (-3x) = +6x，-2 × 1 = -2。小明写成了 -2x² - 6x + 2，后两项的符号全反了，原因是把"减去括号"当成了"只把第一项乘 -2、后面照抄"。 （2）正确过程：原式 = 3x² - 6x - 2x² + 6x - 2 = (3 - 2)x² + (-6 + 6)x - 2 = x² - 2。 （3）当 x = 2 时，正确结果 = 2² - 2 = 2；小明的结果 = 2² - 12 × 2 + 2 = 4 - 24 + 2 = -18。两者之差为 2 - (-18) = 20。 这道诊断题的价值在于把"符号错"的后果量化：同一条式子里两处符号反了，答案就差了 20，远超一道题的分数。批改时可以顺势追问一句"如果只错一处，差多少"，让学生体会符号的敏感度。 23.答案不唯一，例如 x³y - 2x²y² + xy³。验证过程：①三项分别是 x³y、-2x²y²、xy³，它们的次数依次为 3 + 1 = 4、2 + 2 = 4、1 + 3 = 4，最高次为 4，且恰好三项，所以是四次三项式；②各项系数之和为 1 + (-2) + 1 = 0，满足第二个条件；③三项都含字母，没有常数项，满足第三个条件。 再如 x⁴ + 2x²y² - 3y⁴：次数均为 4，三项，系数和 1 + 2 - 3 = 0，无常数项，同样合格。反过来看，2x⁴ - 2x⁴ + y⁴ 虽然系数和也为 0，但前两项可以合并成 0，实际只剩一项，不是三项式——构造时要注意"合并之后仍然成立"，这是本题的隐藏门槛。开放题不追求唯一答案，评分的重点在于能否自觉地把三个条件逐条验证，而不是直接甩出一个式子。 24.（1）摆 1 个用 3 根，摆 2 个用 5 根，摆 3 个用 7 根，每次增加 2 根，所以摆 5 个用 3 + 2 × 4 = 11 根。 （2）第 n 个图形的小棒数为 3 + 2(n - 1) = 2n + 1（根）。也可以这样想：每摆一个新的三角形，都要额外添上两条边（第三条边与已有图形共用），所以总数是 3 + 2(n - 1)。 （3）由 2n + 1 = 2025，得 2n = 2024，n = 1012，所以这次一共摆了 1012 个三角形。 本题考的是"由图形变化抽象出代数式"。常见的错误答案有两个：一是写成 3n，只看到"每个三角形三条边"，忘了共用边；二是写成 2n，忘了最开始那个三角形的第三条边。检验办法很简单：把 n = 1、2、3 代回自己写的式子，看是否分别等于 3、5、7，三个都吻合才算对。 25.先用分配律把两个分数系数分别乘进括号：1/2(4x² - 2x + 6) = 2x² - x + 3；2/3(3x² - 6x + 9) = 2x² - 4x + 6。所以原式 = (2x² - x + 3) - (2x² - 4x + 6) = 2x² - x + 3 - 2x² + 4x - 6 = 3x - 3。当 x = -3 时，原式 = 3 × (-3) - 3 = -9 - 3 = -12。 本题有两个值得讲的地方。第一，化简之后二次项正好抵消，只剩一次项，这是设计的巧处——如果学生算出含 x² 的结果，说明某一步的系数乘错了，可以立刻自查。第二，分数系数乘括号时容易被"只乘第一项"绊住，比如把 2/3(3x² - 6x + 9) 写成 2x² - 6x + 9，正确答案的后两项应该是 -4x 与 +6。建议要求学生把每一步的分配律单独写一行，不要一步到位。 26.（1）每班需要课桌 45 套、讲台桌 6 张，一班的费用是 45a + 6b 元；n 个班就是 n(45a + 6b) 元。 （2）当 a = 180、b = 320、n = 8 时，45a = 8100，6b = 1920，每班 8100 + 1920 = 10020 元，总费用 10020 × 8 = 80160 元。 （3）方案一的费用为 0.9n(45a + 6b)；方案二的费用为 n(45a × 0.85 + 6b) = n(38.25a + 6b)。代入 a = 180、b = 320、n = 8：方案一为 80160 × 0.9 = 72144 元；方案二中课桌部分为 8100 × 0.85 = 6885，讲台桌仍为 1920，每班 6885 + 1920 = 8805 元，总额 8805 × 8 = 70440 元。70440 < 72144，所以方案二更省钱，省 72144 - 70440 = 1704 元。 本题的关键是看清"打折打在什么上"：方案二只给课桌打折，讲台桌照原价，所以不能用总额直接乘 0.85——那样会把讲台桌也折进去，算出的费用偏低。判断这类方案题，务必先把两家的费用各写成一个整式，再代入比较，不要凭"九折"和"八五折"的大小直觉下结论：这里的 8.5 折确实更划算，但如果讲台桌的占比再高一些，结论就可能反过来。 四、作业实施建议 1. 使用时机。第三章新授课全部结束、单元复习课开课前一天发放，建议限时 60 分钟独立完成，闭卷。若作为课后作业分两次布置，可在第 15 题后断开，前一课时完成第一部分与第二部分，后一课时完成第三部分，但第 17、20 两题不宜拆开，它们同属"整体思想"这一条线。 2. 分层布置。基础薄弱的学生做第 1—15 题（52 分），第 16 题可只做（1）（2）；中等学生做第 1—20 题（92 分）；学有余力的学生全做，并追加第 19 题的第（3）问作为思考题。第 21 题第（3）问涉及方案比较，可作为小组讨论题，不要求人人独立完成。 3. 讲评重点。第 2、9 题集中了"单项式与多项式"的四个易错点，建议把 2/π、1/x、(a + b)/2、a 四个式子并排写在黑板上，逐个说明"为什么是"或"为什么不是"。第 6、7、10 题是去括号与添括号的连考点，讲评时统一用"负号进去，全家变脸"这一句口诀，并让学生用特殊值代回检验。第 17、20 题是整体思想，务必让学生说出"为什么可以不求 a、b"，而不是只对答案。 4. 典型错误归因。从批改经验看，本章失分集中在四处：一是次数与系数的混淆（把数字的指数算进次数）；二是去括号只变第一项；三是"先涨后降"误判为回到原价；四是化简求值时直接代入不化简。前两处靠口诀和并排对比，第三处靠具体数字验算，第四处靠硬性要求——凡解答题，卷面上必须先出现化简结果，再出现代入过程，缺一步扣分。 5. 评价建议。本科作业按 100 分计，60 分以上为达标，85 分以上为优秀。除分数外，建议额外记录两项过程性表现：一是"是否先化简再代入"，二是"是否用特殊值自查过去括号的结果"。这两项习惯的养成，比多做十道题更能减少后续章节的失分。作业完成后可安排 10 分钟同桌互批，重点互查第 16、17 题的每一步符号。 五、附录　本章知识结构与易错清单 本附录供教师在讲评课与单元复习课使用，也可印发给学生作自查表。整理的是本章的概念层级与高频错误，与本卷题目一一对应，括号内标出了对应的题号。 （一）知识结构 1. 整式的分类。整式分为单项式与多项式。数与字母的积叫单项式，单独一个数或一个字母也是单项式；几个单项式的和叫多项式。判断一个式子是不是整式，只看两点：分母上有没有字母，根号下有没有字母。两者都没有，才在整式的范围内。 2. 单项式的两个要素。系数是单项式中的数字因数，含 π 时 π 要算进系数；次数是单项式中所有字母的指数之和，数字的指数不算进次数。这两条几乎覆盖了本章一半的选择题（第 1、9、12 题）。 3. 多项式的三个要素。项是多项式中的每一个单项式，要连同它前面的符号一起看；次数是次数最高的那一项的次数，不是项数；常数项是不含字母的那一项，也要带符号。按某个字母降幂排列时，项要带着符号整体移动（第 3、14 题）。 4. 同类项与合并。同类项要求"两同"：字母相同，相同字母的指数也相同，与系数无关、与字母顺序无关。合并同类项只把系数相加，字母部分原样照抄；系数相加得 0 时，结果就是 0（第 4、5、11、13 题）。 5. 去括号与添括号。括号前是正号，去括号各项都不变号；括号前是负号，去括号各项都变号。添括号正好反过来：添正号括号，括进去的项不变号；添负号括号，括进去的项都变号。括号前有数字因数时，要先用分配律把数字乘遍括号里的每一项，再去括号（第 6、7、10、16 题）。 6. 整式的加减。本质就是"去括号 + 合并同类项"两件事。有多个括号时按"由内向外"的顺序去，每去一层就合并一次，不要把所有括号一口气拆完再合并。结果要化成最简，能合并的必须合并干净（第 15、16、25 题）。 7. 化简求值与整体思想。求值题一律"先化简再代入"，化简后往往只剩一两项。当题目给出的是两个字母之间的关系（如 a - 2b = 3），而单个字母的值求不出来时，要把这个关系整体当成一个数代入，这叫整体思想（第 17、20 题）。 8. 用字母表示数量关系。这是本章的落点。列式时先找"基准量"，再看其他量比基准量多多少、少多少、是几倍；含百分率的连续变化，要看清每一步的基数是谁（第 8、18、21、26 题）。 （二）高频易错清单 错误表现 正确做法 把 -a 说成 " 没有系数 " 系数是 -1 ，次数是 1 把 5²x²y 的系数写成 5 系数是 5² = 25 ，数字的指数算进系数、不算进次数 把 -(2/3)πr²h 的次数算成 4 π 是数不是字母，次数是 3 ，系数是 -2π/3 去括号只变第一项 括号前是负号，括号里每一项都要变号 减号后面忘了给整体加括号 减去一个多项式，先把被减的式子整体括起来再变号 数字因数只乘括号里的第一项 用分配律乘遍每一项，系数是负数时符号一并处理 合并后系数为 0 仍写成 0x² 直接写 0 ，含 0 的项不再保留 移项重排时丢掉前面的符号 项是连同符号一起移动的 " 先涨 20% 再降 20%" 认为回到原价 两次变化的基数不同，结果是原价的 96% 求值题不化简直接代入 先化简再代入，卷面必须体现化简这一步 由图形找规律时写成 3n 要注意共用边，写成 2n + 1 并用 n = 1 、 2 、 3 回代检验 打折问题用总额直接乘折扣率 先分清哪些商品参与打折，再分别计算后相加 说明：清单中的每一条都在本卷中有对应的题目，题号见上文各题解析。建议讲评时按清单顺序过一遍，每一条请一名学生说出"错在哪、为什么错、怎么改"，比教师单向讲解的留存率高得多。 六、命题双向细目表 本表供教师备课与命题分析使用，逐题列出考查内容、能力层级与预估难度。能力层级按"了解—理解—掌握—应用—综合—探究"六级划分，难度分为易、中、难三档。 题号 题型 分值 考查内容 能力层级 难度 1 单选 3 单项式的系数与次数 理解 易 2 单选 3 单项式的识别（含 π 与分式） 理解 中 3 单选 3 多项式的次数与常数项 理解 易 4 单选 3 同类项的判断 理解 易 5 单选 3 合并同类项（系数和为 0 ） 掌握 易 6 单选 3 去括号（括号前为负号） 掌握 易 7 单选 3 去括号（含双重符号） 掌握 中 8 单选 3 用字母表示数量关系（百分率） 应用 中 9 多选 4 整式概念的四个易错点辨析 理解 中 10 多选 4 去括号与添括号的互逆关系 掌握 中 11 多选 4 同类项条件与绝对值分类 掌握 难 12 填空 4 含 π 单项式的系数与次数 理解 中 13 填空 4 由同类项反求字母指数 掌握 易 14 填空 4 按字母降幂排列与次数判断 掌握 中 15 填空 4 整式的加减（含整体乘系数） 掌握 中 16 解答 8 整式化简（三小题，含分配律） 掌握 中 17 解答 8 化简求值与绝对值、平方的非负性 综合 难 18 解答 8 分段计费情境的代数建模 应用 中 19 解答 8 数式规律探究与整式恒等验证 探究 难 20 解答 8 整体代入求值 综合 难 21 解答 8 方案比较与临界值判断 应用 难 22 附加 4 错解诊断与改正 评价 中 23 附加 4 按条件构造多项式的开放题 创造 难 24 附加 4 用小棒摆三角形的图形规律 探究 中 25 附加 4 分数系数的整式化简 掌握 中 26 附加 4 采购方案建模与两种折扣比较 应用 难 难度分布。易 6 题、中 13 题、难 7 题，比例为 6∶13∶7，难度重心落在中等层次，符合单元整合作业的定位——既保证基础题占足分，又留出足够的区分度。基础题（易）集中在第一部分，共 18 分；难题（难）主要分布在第三部分与附加题，共 44 分，其中附加题的 20 分不计入正卷总分，供学有余力的学生选做。 知识覆盖。本章八个知识点均被覆盖：单项式的概念（1、2、9、12）、多项式的概念（3、14）、同类项与合并同类项（4、5、11、13）、去括号与添括号（6、7、10、16）、整式的加减（15、16、25）、化简求值（17、20）、用字母表示数量关系与建模（8、18、21、26）、从特殊到一般的抽象（19、23、24）。每个知识点至少有两个题目互为印证，便于教师判断学生的错误是个别失误还是概念性缺漏。 七、答题卡 本卡供学生作答与教师批改使用，可单独印制。客观题只填结果，解答题需写清每一步的依据。 （一）客观题作答栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案                 题号 9 10 11 12 13 14 15 备注 答案                 （二）主观题作答区 第 16 题　得分　　　　 第 17 题　得分　　　　 第 18 题　得分　　　　 第 19 题　得分　　　　 第 20 题　得分　　　　 第 21 题　得分　　　　 （三）自查与反思 1. 本卷共失分　　　　分，其中因符号出错而失分　　　　分，因计算出错而失分　　　　分。 2. 我历时　　　　分钟完成全卷，时间上感觉　　　　（紧张／适中／宽松）。 3. 我最没把握的是第　　　　题，原因是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。 学科网（北京）股份有限公司 $