圆锥曲线小题中的十大考点专项训练-2027届高三数学一轮复习

圆锥曲线小题中的十大考点 考点一：曲线上的点 解题路径：先求点的坐标，再代入曲线方程 1．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知双曲线左、右焦点分别为，．过的直线的斜率为，直线交双曲线右支于点．点在双曲线左支上，且．若双曲线离心率，则比值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设双曲线的半焦距为． 由得又，所以于是 直线的方程为联立，消去，得 因为在双曲线右支上，所以其横坐标为.代入直线方程得，故. 因为，所以垂直于轴．又，故平行于轴，即点的纵坐标也为． 将代入双曲线方程，得所以 由于在左支上，故因此，从而 2．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，阴影部分的边界为四叶草曲线C，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆.记轴上的两个焦点为，，C在第一象限端点为P，若点P在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设分别为对应抛物线的焦点，根据已知四点共圆，则， 根据图形的对称性可知，则, 设，，因为C在第一象限端点为P， 所以点P为抛物线和的交点， 将两边平方得到，将代入 得到，解得，将代入解得，则， ，，则，， 因为点P在以，为焦点的双曲线上，，， 则离心率为. 3．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N．若，则E的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由对称性可知，设的半焦距为，易知，故， 将代入椭圆方程得，即， 设的离心率为，则，即， 所以，又，则． 4．（2026高三上·全国·专题练习）在等腰梯形中，且，，，（）（如图）以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，双曲线以，为焦点，且过点，则， ，，，则 所以；椭圆以，为焦点，且过点， 则，，，， 所以，，令，又， 则，所以， 令，则是对勾函数， 由对勾函数单调性可知，当时，函数单调递减， 即时，，时，，所以的取值范围为. 考点二：弦上的中点 解题路径：解答题用点差法，小题用垂径定理结论 1．（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点差法求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】设， 因为，两点在双曲线上，所以， 两式相减得， 又为的中点，所以， 所以，所以， 又双曲线的渐近线方程为，为的中点，所以， 所以，两边平方得，所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以的离心率的取值范围是. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ，，整理得， 所以，即，， ， 在中，， 在中，， ，化简整理得， ，解得或，又，. 考点三：对称点 解题路径：利用曲线的对称性，找对称关系 1．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以.又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即.所以椭圆的离心率为. 2．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆的对称性可知，又因为的周长为，所以， 设，，则， 因为，所以，即， 又因为点，在上，所以， 所以，整理得，即，所以.    考点四：切线与切点弦 解题路径：换一半公式 1．（25-26高二下·甘肃定西·期末）在双曲线（，）中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆O叫做双曲线C的“伴随圆”，过双曲线C上任意一点P（顶点除外）作“伴随圆”O的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x，y轴上的截距分别为p，q，双曲线C的离心率为2，则（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】双曲线实轴长为，伴随圆以原点为圆心、实轴长为直径，故半径为，伴随圆方程为： ， 设双曲线上点，根据圆的切点弦方程结论，过的切点弦的方程为：， 令得，即；令得，即， 在双曲线上，满足，即，即， 两边同乘整理得，即， 已知双曲线离心率，故，得，因此. 2．（2026高三下·全国·专题练习）已知抛物线焦点为F，设P是焦点为的等轴双曲线下支上一点，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的最小值为（    ）． A．5 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】由题可得双曲线的方程为，设，，则切点弦方程为，联立抛物线与抛物线的切点弦方程，由韦达定理可得，继而可得，由可得，结合抛物线的定理可得，利用二次函数的单调性求解最小值即可. 【详解】等轴双曲线中，所以， 所以双曲线的方程为，即， 设，， 则切点弦的方程为，即， ，可得，所以， 又，，所以， 又因为点在双曲线上， 所以，即，所以， ， 二次函数的对称轴为，当时单调递减， 所以在上单调递减， 所以当时，取得最小值为6. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：，，是抛物线上两点（分别在轴两侧），，过，分别作抛物线的切线，，设切线，交点为，则三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D．18 【答案】A 【详解】设在处的切线斜率不为0，设切线方程为， 联立方程，消去x可得， 则，解得， 则在点处的切线方程为. 由题意可知：直线的斜率不为0， 设，，，， 联立方程，消去x可得， 则，即，可得，， 则，整理可得， 又因为在点，处的切线方程分别为，， 联立方程，解得，即， 则点到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：的焦点坐标为，点，过点作直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线，设两条切线交点为，且两切线分别交轴于，两点，则面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点坐标为，已知焦点坐标为， 则，解得，故抛物线方程为， 显然当直线的斜率不存在时不合题意，故可设过点的直线方程为，， 联立得， 由韦达定理，判别式，直线与抛物线恒有2个交点， 对抛物线求导得，则过的切线方程为， 令得切线与轴交点，同理，故， 联立切线方程得，即，则到轴的距离为， ， 当时取最小值，． 考点五：渐近线 解题路径：利用渐近线的倾斜角和斜率找不等关系 1．（26-27高二上·全国·课后作业）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，不妨设双曲线的方程为， 而双曲线的弦和都过双曲线的中心，且， 由双曲线的对称性，得直线和关于轴对称，不妨令点在第一象限， 又直线和的夹角为，则直线的倾斜角为或， 而符合要求的直线和有且只有一对，则只有倾斜角为的直线与双曲线有两交点， 因此双曲线的渐近线的倾斜角满足：， 则，，所以该双曲线的离心率的取值范围是. 2．（2026·海南海口·模拟预测）已知双曲线C：，在双曲线C左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线C的离心率e的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【详解】任取双曲线C左支上两个不同的点都有， .即，即对左支上任取两个不同的点， 所以渐近线的倾斜角不大于，即 所以双曲线C的离心率. 即双曲线的离心率的最大值为. 考点六：角平分线 解题路径：角平分线定理 1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 由双曲线定义可知，，故，， 由题意得， 在中，由余弦定理得， 即， 整理可得，两边同除以得， 解得或（舍去）. 考点七：中位线 解题路径：利用中位线的性质，找平行和长度关系 1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，双曲线半焦距为，， 设，则，所以， 又，所以，所以， 因为，所以是等腰三角形， 过作于点，所以， 在中，， 因为三点共线，所以即为，即， 因为点在以为直径的圆上，所以，即， 在中，， 在中，由余弦定理得， ，所以， 化简整理得，①， 在中，由余弦定理得， ， 因为三点共线，所以，即， 所以，化简整理得，②， 联立①②得，， 因为，所以，将代入①式得，， 所以双曲线离心率为. 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】因为在以为直径的圆上，所以． 又三点共线，故．由，知为等腰三角形． 取的中点，则，从而． 在中，为的中点，所以为的中点，故 设，则，． 点在双曲线左支上，所以 点在双曲线右支上，且，所以即，解得． 因此故为等边三角形，． 又，． 在中，由余弦定理，得 所以，故双曲线的离心率为 考点八：直角 解题路径：将垂直关系转化为向量的数量积或者斜率之积 1．（26-27高一上·福建厦门·开学考试）已知二次函数（为常数）经过点，图象与轴交于点、（在的左边），连接，点是抛物线图象在第一象限内的一点，过点作交于点，若取得最大值，则此时点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵图象经过点，∴，∴，将代入关系式得，， 令，即，解得，，， ∴，，∴，，， 设解析式，得，解得，∴， 作轴于点，交于，则，∴. ∴，∴， ∴最大时，满足最大， 设点，则点， ∴ ∴当时，有最大值． 2．（26-27高二上·江苏·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，则，， 因为，所以， 又，，则，整理得， 由抛物线的定义得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为. 3．（2017·甘肃兰州·一模）(2017·兰州模拟)已知F1，F2为双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为(　　) A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】如图，连接.由|，可设 则|；由，得| 由 得 因为点在以为直径的圆上， 由，得 解得 ， 化简得 双曲线的离心率 故选A. 4．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右支上，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为，所以， 设，则， 所以，即，所以， 所以，即, 因为在曲线上，所以，即， 所以，又因为，所以 因为在曲线上，所以， 即，则，所以， 代入上式得， 即，所以， 即，所以， 即，所以， 所以， 因为离心率，所以，所以，所以. 5．（25-26高二下·河南许昌·期末）过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题意知，设，，，其中． 由消去x，得，则，． 所以，． 因为，所以，因， 则得， 即， 将韦达定理代入，得， 整理得，即，解得， 所以，解得，，则． 6．（2026高三·全国·专题练习）如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，所以在直角中，， 设，则，解得，即， 又，所以，则， 即，又因为，，所以，设，， 联立，两式相减化简得， 又M是的中点，，即，又，所以， 又，所以，化简得，又，解得， 即. 考点九：三角形 解题路径：找边角关系，利用正弦、余弦定理建立等式关系 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由椭圆的定义可知，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，即， 由题意知，设，则，， 代入得，所以，，， 由于原点是两焦点的中点，所以是边上的中线， 所以，则， 由且， 所以，则， 综上，即， 所以，则，即， 椭圆的离心率满足，且，解得，故椭圆的离心率为. 2．（26-27高三上·云南·开学考试）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以设，则．由椭圆的定义，得，， 在中，， 因为，所以．① 在中，，即．② 联立①②，解得，，又因为，所以椭圆的离心率． 3．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图， 记双曲线的右焦点为，为坐标原点.连，， 由且，可得，，. 设，又由，得， 所以，可得，可得双曲线的离心率为. 4．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连接，由双曲线定义，， 因，则，由对称性可知，，设， 在等腰三角形中，，即（*） 在中，由余弦定理，，即， 将（*）代入，可得，整理得，则有， 故. 5．（23-24高三下·福建莆田·阶段检测）双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M、N两点．若且，则双曲线的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线定义可知，， 设，则有，，， 由余弦定理可得， 整理可得：，故，， 则有， 整理可得：，所以． 故选：D． 6．已知双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足.若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设，，根据双曲线定义 ，， 在△中，由余弦定理可得：． 在△中，由余弦定理可得：， ①②可得，解得． 故选：． 7．（21-22高二上·江西九江·期末）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 又，所以，从而，，， 中，， 中．，所以，，所以， 故选：C． 8．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为为右半支上一点，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【详解】可得. 又，两式联立可得， ，整理可得， . 故选：. 9．（16-17高三上·山西晋中·期末）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，Q为右支上一点，P点在直线x=﹣a上，且满足，则该双曲线的离心率为（   ） A．+1 B．+1 C．2 D． 【答案】A 【详解】∵， ∴OQ垂直平分PF2，∴|OP|=c，不妨设P(﹣a,b)，∴， 代入双曲线，可得， ∴c﹣a=a，∴c=(+1)a，∴ =+1， 故选：A． 10．（2026·湖北武汉·三模）设双曲线：的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】 因为双曲线的右焦点，渐近线方程是, 令渐近线的方程是,所以到渐近线的距离, 因为,所以是的中点，又因为内切圆与三角形相切，所以, 又因为,所以是等腰直角三角形，所以, 同理，渐近线的方程是时,,所以则的渐近线方程是. 11．（2022·贵州贵阳·模拟预测）如图，已知双曲线的右焦点为F，点P，Q分别在C的两条渐近线上，且P在第一象限，O为坐标原点，若，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】由题意，可设，则， 因为，且，可得，即，所以，， 又，所以，即，则， 所以C的离心率. 故选B. 考点十：内切圆 1．（25-26高二下·广西河池·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由直线，整理可得，恒过点；故直线过点； 由点到直线的距离公式可知到的距离为； 则（为内切圆半径）， 因为点在右支上，所以，则； 又因为；所以， 解得，故； 故，解得； 因为点在右支上，斜率为负，故，故， 代入直线方程可得，解得； 因为在双曲线上，所以代入可得， 由整理可得， 由；则；则原式化简可得， 两边同乘可得，约分可得 即，整理得； 即，化简得， 化简得，解得或或； 由题意得，则符合题意，故A正确. 2．（2026·山东潍坊·三模）已知椭圆：，，为的左、右焦点，为上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】由于，所以，，故，设， 当为短轴端点时，最大，此时为等边三角形，所以， 设外接圆半径为，则，即， 由余弦定理得：， 整理可得，所以的面积， 故的内切圆半径， 因为，所以， 当且仅当，即，时取等，所以的最小值为． 3．（21-22高二上·湖南张家界·期末）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，的内切圆半径，由直角三角形内切圆性质知： ，由双曲线对称性知，， 于是得，即，又双曲线半焦距c=2， 所以双曲线的离心率. 故选：D 4．（24-25高二上·吉林长春·阶段检测）已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】 过分别作的垂线，垂足分别为，则， ，则， 又，则，，即在直线上， ， 则， 又，则，即，，故离心率为， 故选：B. 5．（2023·江西·二模）已知双曲线的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】设双曲线的左焦点、右焦点， 设双曲线的一条渐近线方程为：，可得直线的方程为：， 由可得： ，即， 设，，可得， 即，整理可得：，即， 由双曲线的定义可得：，所以， 设直线的倾斜角为，在中，， ，，所以， 所以， 所以，整理可得：，解得：或（舍）， 所以双曲线的离心率为， 故选：A. 6．（2024届数学新高考学科基地秘卷（七））已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线交双曲线于点P．若所得的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】 如图，设的内切圆M与的三边，，相切的切点分别记为A，B，C， 则， 所以点为双曲线的右顶点．所以内切圆的圆心坐标为， 则有，即．所以，解得或（舍去）． 故选：C． 7．（2024·广东·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以， 点A在双曲线上，， 又，，， 点B在双曲线上，，，， 设内切圆圆心为I，连接，如图所示， ，， 即，为等边三角形，， 在由余弦定理得：， 即：，. 故选：A. 8．（23-24高二上·江苏镇江·期末）双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为  （      ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】如图所示，设的外接圆与及轴分别切于点， 则 因为的内切圆圆心的横坐标为1，即， 由双曲线的定义，可得，可得， 所以，又由， 所以，解得，则，所以双曲线的离心率为. 故选：C. 9．（2025高三上·全国·专题练习）设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过作，由题意知． 因为，所以四边形为正方形，得． 由双曲线的定义可得， 即，所以，得． 又因为，所以， 得，． 在中，，得到，所以． 故选：A．    10．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 由对称性，不妨令与平行的渐近线为，则直线方程为：，即， 设的内切圆与三边相切的切点分别为，，， 如图所示，    则， 即，而轴，圆半径为，则， 点到直线的距离：，整理得，且，解得， 又因为，可得，所以双曲线的离心率， 故选：D. 11．（15-16高三·湖南·阶段检测）如图，为双曲线的左右焦点，且，若双曲线右支上存在点，使得，设直线与轴交于点，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率为 A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：因为，且的内切圆半径为，所以，所以，所以，因为图形的对称性可知，，所以，又因为，所以，所以双曲线的离心率为，故选A． 考点：双曲线的定义及其简单的几何性质． 12．（17-18高二上·广西贺州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为,点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由双曲线的定义知，又轴， 所以的内切圆半径为，由，得. 故选：D. 13．（15-16高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的中心，是双曲线右支上的一点，△的内切圆的圆心为，且⊙与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则 A． B． C． D．与关系不确定 【答案】C 【详解】试题分析：可以利用双曲线的定义证明点A即为双曲线的右顶点，所以．延长B交P于点C，则由内心的性质得，，所以,因此，故选C． 14．（24-25高三上·广东·阶段检测）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与C的右支交于M，N两点，记与的内切圆半径分别为.若，则C的离心率为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】设，，其中， 设与的内心的横坐标分别为， 过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，则、、， 又， 且，则，，于是，同理， 因此点、在直线上，又平分，平分， ，则，，而，， 则，即，解得，所以双曲线的离心率. 故选：D 15．（24-25高三下·山西·开学考试）已知双曲线的左，右焦点分别为，，为轴上一点，线段交于点，，的内切圆半径为，，则的离心率是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】如图，，，， 因为，， 可得，即，则， 可得，即，所以，． 因为在直角中有，即，整理可得， 所以的离心率． 故选：D. 16．（2022·四川绵阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为8，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】如图所示：内切圆与，交于，点， ，故， 又，. 故选：C 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线小题中的十大考点 考点一：曲线上的点 解题路径：先求点的坐标，再代入曲线方程 1．（26-27高三上·河南驻马店·开学考试）已知双曲线左、右焦点分别为，．过的直线的斜率为，直线交双曲线右支于点．点在双曲线左支上，且．若双曲线离心率，则比值为（　　） A． B． C．1 D． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，阴影部分的边界为四叶草曲线C，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆.记轴上的两个焦点为，，C在第一象限端点为P，若点P在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N．若，则E的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三上·全国·专题练习）在等腰梯形中，且，，，（）（如图）以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点二：弦上的中点 解题路径：解答题用点差法，小题用垂径定理结论 1．（25-26高二下·河南驻马店·期末）直线与双曲线：（，）交于，两点，存在以为的中点，则的离心率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 考点三：对称点 解题路径：利用曲线的对称性，找对称关系 1．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建厦门·期末）已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点四：切线与切点弦 解题路径：换一半公式 1．（25-26高二下·甘肃定西·期末）在双曲线（，）中，把以原点为圆心、实轴长为直径的圆O叫做双曲线C的“伴随圆”，过双曲线C上任意一点P（顶点除外）作“伴随圆”O的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x，y轴上的截距分别为p，q，双曲线C的离心率为2，则（   ） A．4 B． C．3 D． 2．（2026高三下·全国·专题练习）已知抛物线焦点为F，设P是焦点为的等轴双曲线下支上一点，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的最小值为（    ）． A．5 B．2 C．3 D．6 3．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：，，是抛物线上两点（分别在轴两侧），，过，分别作抛物线的切线，，设切线，交点为，则三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D．18 4．（2026高三·全国·专题练习）已知抛物线：的焦点坐标为，点，过点作直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线，设两条切线交点为，且两切线分别交轴于，两点，则面积的最小值为（    ）． A． B． C． D． 考点五：渐近线 解题路径：利用渐近线的倾斜角和斜率找不等关系 1．（26-27高二上·全国·课后作业）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·海南海口·模拟预测）已知双曲线C：，在双曲线C左支上任取两个不同的点，，都有，则双曲线C的离心率e的最大值为（    ） A． B．3 C． D．2 考点六：角平分线 解题路径：角平分线定理 1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 考点七：中位线 解题路径：利用中位线的性质，找平行和长度关系 1．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知双曲线的左、右两个焦点分别为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 考点八：直角 解题路径：将垂直关系转化为向量的数量积或者斜率之积 1．（26-27高一上·福建厦门·开学考试）已知二次函数（为常数）经过点，图象与轴交于点、（在的左边），连接，点是抛物线图象在第一象限内的一点，过点作交于点，若取得最大值，则此时点的横坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江苏·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，，为上两点，.则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2017·甘肃兰州·一模）(2017·兰州模拟)已知F1，F2为双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为(　　) A． B．2 C． D． 4．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在的左、右支上，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南许昌·期末）过抛物线C：的焦点F的直线l与C交于A，B两点（A在第一象限），点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 6．（2026高三·全国·专题练习）如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 考点九：三角形 解题路径：找边角关系，利用正弦、余弦定理建立等式关系 1．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知椭圆的左右焦点分别为是上一点．若（为坐标原点），则的离心率为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·云南·开学考试）设、分别为椭圆的左、右焦点，，、两点均在椭圆上且满足，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知双曲线：的左焦点为，点为双曲线上位于第一象限内的一点，直线与双曲线的左支相交于点，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·浙江·开学考试）已知为双曲线：（，）右支上一点，，分别为左、右焦点，直线交轴于点，为坐标原点．若满足，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三下·福建莆田·阶段检测）双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M、N两点．若且，则双曲线的离心率为（    ）． A． B． C． D． 6．已知双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与E交于A，B两点(B在x轴的上方)，且满足.若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 7．（21-22高二上·江西九江·期末）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为为右半支上一点，且，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B．4 C．6 D．9 9．（16-17高三上·山西晋中·期末）双曲线的左右焦点分别为F1，F2，Q为右支上一点，P点在直线x=﹣a上，且满足，则该双曲线的离心率为（   ） A．+1 B．+1 C．2 D． 10．（2026·湖北武汉·三模）设双曲线：的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与的实轴切于点，且，则的渐近线方程是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 11．（2022·贵州贵阳·模拟预测）如图，已知双曲线的右焦点为F，点P，Q分别在C的两条渐近线上，且P在第一象限，O为坐标原点，若，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C．4 D． 考点十：内切圆 1．（25-26高二下·广西河池·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，直线与双曲线的右支交于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东潍坊·三模）已知椭圆：，，为的左、右焦点，为上的一个动点（异于左、右顶点），设的外接圆半径为，内切圆半径为，则的最小值为（     ） A． B．1 C． D．2 3．（21-22高二上·湖南张家界·期末）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，，是双曲线右支上的一点，，直线与轴交于点，的内切圆半径为，则双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·吉林长春·阶段检测）已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 5．（2023·江西·二模）已知双曲线的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 6．（2024届数学新高考学科基地秘卷（七））已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线交双曲线于点P．若所得的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 7．（2024·广东·模拟预测）已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·江苏镇江·期末）双曲线C：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为  （      ） A． B． C．2 D．3 9．（2025高三上·全国·专题练习）设是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为（为圆心），且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 11．（15-16高三·湖南·阶段检测）如图，为双曲线的左右焦点，且，若双曲线右支上存在点，使得，设直线与轴交于点，且的内切圆半径为，则双曲线的离心率为 A．2 B．4 C． D． 12．（17-18高二上·广西贺州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为,点在双曲线上，且轴，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．（15-16高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的中心，是双曲线右支上的一点，△的内切圆的圆心为，且⊙与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则 A． B． C． D．与关系不确定 14．（24-25高三上·广东·阶段检测）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与C的右支交于M，N两点，记与的内切圆半径分别为.若，则C的离心率为（    ） A． B． C．3 D．4 15．（24-25高三下·山西·开学考试）已知双曲线的左，右焦点分别为，，为轴上一点，线段交于点，，的内切圆半径为，，则的离心率是（   ） A． B．2 C． D． 16．（2022·四川绵阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为8，是双曲线右支上的一点，直线与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $