第5讲 圆锥曲线中的最值与范围专项训练-2027届高三数学一轮复习

圆锥曲线中的最值与范围 解析几何 · 专题篇 面积的最值：把面积写成参数的函数 面积的最值题，骨架只有一句话：把面积写成一个参数的函数，再求这个函数的最值。真正花心思的地方有两处 ——选哪个参数，以及面积用哪一条式子来算。 面积的算法常用三条。第一条是底乘高：把三角形或平行四边形拆成一条已知的底加上一个高，而这个高通常是某个点到某条直线的距离。第二条是弦长乘距离：曲线上两点连成的弦用弦长公式，另一个顶点到这条弦的距离用点到直线公式，两者相乘再取一半。第三条是对角线之积：四边形若两条对角线互相垂直，面积等于两条对角线长度之积的一半。用第三条之前必须先确认垂直；不垂直就得改回底乘高。 参数怎么选，看题目把条件给成了什么。直线过定点，就设这条直线的斜率或者它的斜截式；动点在曲线上，就用点的坐标或者离心角；题目给了向量之间的关系，就直接用那个比值。原则只有一条：让面积表达式里的未知量尽量少。只剩一个参数，后面的最值才有得求。 求最值的手段也是固定的三种。二次函数配方；均值不等式，特别是「两数之和为定值时积最大」这一类；把根号里的式子整体换元之后求导。三种手段里均值不等式最快，但对形式的要求最苛刻 ——凑不出定值就果断换求导，不要在凑式子上耗时间。 有两处最容易丢分。一是漏掉竖直情形：设直线时用斜截式，就默认了斜率存在，垂直于坐标轴的那条弦要单独补一句。二是忘了参数自身的取值范围：直线要与曲线交于两点，判别式必须大于零，这个条件往往把参数限制在一个区间里，最值就取在这个区间的端点上。不检验，就会把区间外算出来的值当成答案。 例1（解答·★★★★☆） 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上。（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程。 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点满足。（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线交椭圆于两点，垂直于轴的直线与椭圆的另一个交点为，求面积的最大值。 例2（解答·★★★★☆） 已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）求四边形面积的最大值； 变式2-1（解答·★★★★★） 已知椭圆经过点，为的右焦点，且与轴垂直。（1）求的标准方程；（2）设直线与交于，两点，且（为坐标原点），求面积的最大值，并求此时直线的方程。 变式2-2（解答·★★★★★） 过抛物线的焦点作直线，交于两点，交轴于点，记过点且垂直于的直线为。（1）证明：直线与相切；（2）若，记直线与的切点为，求面积的最小值。 例3（解答·★★★★☆） 已知椭圆，O为坐标原点，点A，B分别在直线与上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形。（1）求的值；（2）求平行四边形面积的最大值。 变式3-1（解答·★★★★☆） 已知直线与抛物线相交于A，B两点，且。(1)求证：直线AB必过一定点；(2)求面积的最小值。 长度与距离的最值：定义优先 这一类题问的是长度或者距离的最值，处理顺序与面积那类不同：先别急着联立、设参数，而是先看题目里出现了几个焦点。椭圆上的点到两个焦点的距离之和是定值，双曲线上的点到两个焦点的距离之差是定值，抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离。凡是求「几条线段之和」或者「几条线段之差」的最值，第一反应都应该是拿定义把焦半径换掉。 换掉之后会发生什么？最常见的两种结果是：折线变成了直线段，于是最值由「两点之间线段最短」直接给出；或者式子里只剩下一个变量，可以配成二次函数。题目里如果没有「和为定值」可用，还可以用一次余弦定理 —— 三角形的一边固定、另外两边的夹角已知，剩下那条边就能写成余弦的函数。 另一类线索是「点在某个圆上」或者「点在某条曲线上」。这时候要警觉：这个圆或曲线本身就给出了距离的几何上界，比硬求导快得多。实践中经常出现这样的链条：先由条件证出某条直线过定点，再用「垂直」把动点锁在一个以定线段为直径的圆上，最后由圆心与半径直接读出最远点、最近点。 求最值的手段还是那三种，但用法略有差别。把它写成 这一类分式的，多半用均值不等式，注意要交代换元后新变量的取值范围。写成根式相加的，多半要平方或者用柯西不等式。含有 的，求导最稳。 最容易丢分的地方有三处。一是换了定义之后忘了写范围 ——「 在第一象限」「 在左支上」这些限定会把角度或坐标限制在一个区间里，而最值可能取在区间端点上。二是把「弦长之比」的分子分母搞混，或者漏掉分母为零的那条直线要单独排除。三是等号取不到时不说明 ——如果最值只能在端点趋近而取不到，结论应写成取值范围而不是最大值。 例4（解答·★★★★★） 已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点B，C.（1）判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由；（2）求的取值范围；（3）求周长的最小值。 变式4-1（解答·★★★★☆） 已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点。(1)若，求抛物线的方程；(2)求的最大值。 例5（解答·★★★★★） 已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心。（1）求圆的标准方程。（2）为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值。 变式5-1（解答·★★★★★） 已知双曲线的左、右焦点分别为，一条过点且斜率为的直线与的左、右两支分别交于两点，与两条渐近线分别交于，两点。（1）若焦距为12，求的方程；（2）若，求的最大值。 变式5-2（解答·★★★★☆） 已知抛物线C：过点，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点。（1）若直线的斜率为-1，且，求直线的方程；（2）若直线不经过点P，且直线与直线的斜率之积为4，过点P作直线垂直于点G，求点G到C的准线距离的最大值。 例6（解答·★★★★★） 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）。（1）求的离心率；（2）若为定值，直线经过，求的最小值。 变式6-1（解答·★★★★★） 已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点。（1）求椭圆的标准方程；（2）直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值。 参数的取值范围：判别式、位置与存在性 「求取值范围」与「求最值」是同一个问题的两面：最值回答「最大能到多少」，范围回答「能取到哪些」。所以范围题的入口是找约束 ——把题目里每一句限制都翻译成一条不等式，全部列出来再取交集。 约束主要有三种来源。一是判别式：凡是「直线与曲线交于两个不同点」，二次方程就有两个不等实根， 直接给出一条不等式。二是位置：点在某条曲线的内部、某条线段上、某个象限里，都会把坐标限制在一个区域内。三是存在性：题目问「是否存在…」，答案通常是「存在」，而「存在」本身就意味着某个方程的判别式不小于零，或者某个量的取值落在值域里。 把约束写成不等式之后，剩下的是代数功夫。常见的形式有两类：一类直接是某个参数的一次或二次不等式，解出来就是区间；另一类是两个参数之间的关系式，要把其中一个解出来、代进已有的不等式，或者把待求量表示成另一个量的函数，再求这个函数的值域。 求值域时有一条经验值得记住：先把式子化简到最简，再动手。很多题目的分子分母里都有同一个因子，约掉之后待求量不再含参数 ——这说明它其实是定值，而不是范围；反过来，如果约完之后还剩一个参数，那这个参数的取值范围就是答案的边界。本讲的几道题里，「斜率之积」「距离之比」都属于这一类，先化简再判断是定值还是范围。 最后一步是核对端点。区间端点能不能取到，取决于每一个约束在端点处是否仍然成立：判别式在端点处为零时，「两个不同点」就变成了「两个重合点」，必须去掉；「点不在坐标轴上」「三点互不重合」这类文字约束也常常正好卡掉一个端点。宁可多写一句「端点取不到」，也不要写错开闭。 例7（解答·★★★★☆） 已知椭圆的短轴长为4，离心率为。（1）求Γ的方程；（2）若直线与交于A，B两点，且，求m的取值范围。 变式7-1（解答·★★★★★） 已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线过点。（1）当直线的斜率为2时，直线与双曲线恰有一个交点，求双曲线的标准方程。（2）设直线与双曲线交于，两点，且直线与的斜率之积不小于，求双曲线的离心率的取值范围。 例8（解答·★★★★☆） 已知双曲线：的离心率为，的焦点到其渐近线的距离为2.（1）求双曲线的方程；（2）设是双曲线上的点，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若，，求面积的取值范围。 变式8-1（解答·★★★★★） 已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2。（1）求的方程；（2）直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围。 例9（解答·★★★★☆） 已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1．（1）求E的方程：（2）过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围。 变式9-1（解答·★★★★★） 已知椭圆的两焦点分别为，离心率为，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点，与关于轴对称。（1）求椭圆的标准方程；（2）求内切圆半径的取值范围。 变式9-2（解答·★★★★★） 已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）。当倾斜角互补时，直线与直线交于点，求的内切圆的圆心横坐标的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆锥曲线中的最值与范围 解析几何 · 专题篇 面积的最值：把面积写成参数的函数 面积的最值题，骨架只有一句话：把面积写成一个参数的函数，再求这个函数的最值。真正花心思的地方有两处 ——选哪个参数，以及面积用哪一条式子来算。 面积的算法常用三条。第一条是底乘高：把三角形或平行四边形拆成一条已知的底加上一个高，而这个高通常是某个点到某条直线的距离。第二条是弦长乘距离：曲线上两点连成的弦用弦长公式，另一个顶点到这条弦的距离用点到直线公式，两者相乘再取一半。第三条是对角线之积：四边形若两条对角线互相垂直，面积等于两条对角线长度之积的一半。用第三条之前必须先确认垂直；不垂直就得改回底乘高。 参数怎么选，看题目把条件给成了什么。直线过定点，就设这条直线的斜率或者它的斜截式；动点在曲线上，就用点的坐标或者离心角；题目给了向量之间的关系，就直接用那个比值。原则只有一条：让面积表达式里的未知量尽量少。只剩一个参数，后面的最值才有得求。 求最值的手段也是固定的三种。二次函数配方；均值不等式，特别是「两数之和为定值时积最大」这一类；把根号里的式子整体换元之后求导。三种手段里均值不等式最快，但对形式的要求最苛刻 ——凑不出定值就果断换求导，不要在凑式子上耗时间。 有两处最容易丢分。一是漏掉竖直情形：设直线时用斜截式，就默认了斜率存在，垂直于坐标轴的那条弦要单独补一句。二是忘了参数自身的取值范围：直线要与曲线交于两点，判别式必须大于零，这个条件往往把参数限制在一个区间里，最值就取在这个区间的端点上。不检验，就会把区间外算出来的值当成答案。 例1（解答·★★★★☆） 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上。（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程。 【切入点】 的顶点 与弦所过的定点 都在 轴上，所以取 作底、取 、 纵坐标之差作高最省事 —— 面积一下子就写成了斜率的函数。 【关键】（1）由 得 ，于是 。把 代入：，即 ，所以 、，椭圆为 ，右焦点 。 【关键】（2）设 （竖直情形也含在内）。代入椭圆得 ，所以 。于是 。记 ，则 ，，等号在 （即 ）时取到。把 代回，得 或 。 【易错】第一，设 而不是斜截式，可以一次覆盖竖直弦；用斜截式就要补一句竖直情形的讨论。第二，化简时把 整体换元，分子分母才好用均值不等式（）。第三，换元后要交代新变量的范围 ，否则「等号在 取到」这句没有依据。 【答案】（1）；（2） 或 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点满足。（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线交椭圆于两点，垂直于轴的直线与椭圆的另一个交点为，求面积的最大值。 【切入点】 是过 的竖直线与椭圆的下一个交点，所以 与 关于 轴对称，。把 、、 三点的坐标都用弦的两个端点表示出来，面积展开后会化简成一个很短的式子。 【关键】（1）由向量等式 解得 。又 ，所以 、，椭圆为 。 【关键】（2）设 （ 的横坐标是 ），与椭圆联立得 ，所以 。设 、，则 。三角形面积按坐标公式展开：，代入 后化为 ，等号在 时取到。所以 面积的最大值为 。 【易错】第一， 与 纵坐标互为相反数，但两者关于 轴对称、不是关于原点对称。第二，面积展开后 与 正好相消 —— 这正是用 的目的，硬算会绕远。第三，求 的最大值要用 ，等号在 处取到。 【答案】（1）；（2） 面积的最大值为 例2（解答·★★★★☆） 已知椭圆：的长轴长为4，左、右顶点分别为，，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，（不与点，重合）。（1）求椭圆的方程及离心率；（2）求四边形面积的最大值； 【切入点】四边形 的两条对角线是 与 ，它们相交于 ；对角线的夹角就是弦 的倾斜角。所以面积可以写成 ，而 是定值 —— 只要求 。 【关键】（1）长轴长 给出 ，所以 ，椭圆为 ，离心率 ；这里 、、。 【关键】（2）设过 的直线为 ，代入椭圆得 ，所以 。因 ，面积 。记 ，求导可知 关于 递增，其上确界为 ；而直线竖直（）时、 的纵坐标之差恰为 ，代入得 ，所以四边形 面积的最大值为 。 【易错】第一，四边形 的对角线是 与 ，不是 与 —— 数顶点顺序时要看清。第二， 恰好把弦长里的 约掉，用「对角线之积」反而更绕。第三，斜截式漏掉竖直弦，而本题的最大值恰恰在竖直线 上取到 —— 不补这一句，就只能得到「趋于 」。 【答案】（1），离心率 ；（2）四边形 面积的最大值为 变式2-1（解答·★★★★★） 已知椭圆经过点，为的右焦点，且与轴垂直。（1）求的标准方程；（2）设直线与交于，两点，且（为坐标原点），求面积的最大值，并求此时直线的方程。 【切入点】 给的是两端点坐标之间的一个关系 ，而面积是 。两者用同一组参数表示之后，面积就化成了参数的函数。 【关键】（1） 与 轴垂直且 ，所以右焦点 、，且 。结合 解得 、，椭圆为 。 【关键】（2）设 、。由 得 ；两边平方并整理，得 ，其中 、。而 、，且 ，所以 ，于是 。当 （即 、 中有一个是短轴端点）时取到，所以 面积取到 时最值，对应的 的斜率是 。 【易错】第一， 等价于 ，落在椭圆上后化简出的关系不要抄错系数。第二， 只在两条边垂直时成立，本题正好满足；一般情形要用 。第三， 的下界是 ，所以 的上界是 ，别把 当成可以取负的量。 【答案】（1）；面积的最大值为 变式2-2（解答·★★★★★） 过抛物线的焦点作直线，交于两点，交轴于点，记过点且垂直于的直线为。（1）证明：直线与相切；（2）若，记直线与的切点为，求面积的最小值。 【切入点】直线 是过 且垂直于 的直线，要证它与抛物线相切，把它的方程写出来、验证判别式为零即可。第二问的三角形以 为底、高是切点 到 的距离，两条式子都挂在同一个斜率参数上。 【关键】（1）设过焦点 的直线为 ，它与 轴交于 ；过 且垂直于 的直线为 。代入 得 ，判别式 ，所以 与抛物线相切。 【关键】（2） 时抛物线为 。直线 ，代入得 ，所以 。切点 到 的距离为 。于是 。记 ，求导得 在 处最小，此时 ，所以 面积的最小值为 。 【易错】第一，第一问设 而不是斜截式，竖直弦也含在内；用点斜式则要单独讨论竖直情形。第二， 的纵坐标是 ，符号容易写错 ——直线与 轴交点要看 时的纵坐标。第三，第二问的底与高必须用同一个 ： 的横坐标是 、纵坐标是 ，代错了高就整体错。 【答案】（1）证明见解析；（2） 面积的最小值为 例3（解答·★★★★☆） 已知椭圆，O为坐标原点，点A，B分别在直线与上，P是C上一点，O、A、P、B四点顺时针构成平行四边形。（1）求的值；（2）求平行四边形面积的最大值。 【切入点】 是平行四边形，说明它的两条对角线 与 互相平分，于是 ——点 的坐标就是 、 坐标之和，「 在椭圆上」这条约束一下子变成一条二元方程。 【关键】（1）设 、，则 。由 在椭圆上得 ，即 。而 ，所以 。 【关键】（2）平行四边形的面积等于 。由约束 ，而 。当 时得 ，即 ；当 时得 ，即 。两种情况合起来， 的最大值是 ，在 时取到。所以平行四边形 面积的最大值是 。 【易错】第一，平行四边形的两条对角线是 与 ，由「互相平分」才能写出 ，这一步是本题的入口。第二，比较 与 时要分 、 两种情况，只算一种会漏掉另一支。第三，用 、 的叉积求面积时符号可正可负，最后一步必须取绝对值。 【答案】（1）；（2） 变式3-1（解答·★★★★☆） 已知直线与抛物线相交于A，B两点，且。(1)求证：直线AB必过一定点；(2)求面积的最小值。 【切入点】 给出 ；把直线设成 ，这条条件正好解出 —— 定点就出来了。第二问的三角形以 为顶点，面积是 ，代入 后会大大简化。 【关键】（1）设 ，代入 得 ，所以 、，且 。由 得 ，即 。因为 不过原点，，所以 ，直线 恒过定点 。 【关键】（2）把 代入：，而 。于是 ，等号在 （即 竖直）时取到。所以 面积的最小值是 。 【易错】第一， 那一支要舍去 ——它对应直线过原点，与「交于 、 两点」矛盾。第二，化简 时要用 ，把含 的两项约掉，直接硬算要多绕两圈。第三，等号在 处取到，此时直线是 ，仍与抛物线交于两点，是合法情形，不必回避。 【答案】（1）直线 过定点 ；（2） 长度与距离的最值：定义优先 这一类题问的是长度或者距离的最值，处理顺序与面积那类不同：先别急着联立、设参数，而是先看题目里出现了几个焦点。椭圆上的点到两个焦点的距离之和是定值，双曲线上的点到两个焦点的距离之差是定值，抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离。凡是求「几条线段之和」或者「几条线段之差」的最值，第一反应都应该是拿定义把焦半径换掉。 换掉之后会发生什么？最常见的两种结果是：折线变成了直线段，于是最值由「两点之间线段最短」直接给出；或者式子里只剩下一个变量，可以配成二次函数。题目里如果没有「和为定值」可用，还可以用一次余弦定理 —— 三角形的一边固定、另外两边的夹角已知，剩下那条边就能写成余弦的函数。 另一类线索是「点在某个圆上」或者「点在某条曲线上」。这时候要警觉：这个圆或曲线本身就给出了距离的几何上界，比硬求导快得多。实践中经常出现这样的链条：先由条件证出某条直线过定点，再用「垂直」把动点锁在一个以定线段为直径的圆上，最后由圆心与半径直接读出最远点、最近点。 求最值的手段还是那三种，但用法略有差别。把它写成 这一类分式的，多半用均值不等式，注意要交代换元后新变量的取值范围。写成根式相加的，多半要平方或者用柯西不等式。含有 的，求导最稳。 最容易丢分的地方有三处。一是换了定义之后忘了写范围 ——「 在第一象限」「 在左支上」这些限定会把角度或坐标限制在一个区间里，而最值可能取在区间端点上。二是把「弦长之比」的分子分母搞混，或者漏掉分母为零的那条直线要单独排除。三是等号取不到时不说明 ——如果最值只能在端点趋近而取不到，结论应写成取值范围而不是最大值。 例4（解答·★★★★★） 已知抛物线，圆，点（其中）为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线分别与轴交于点B，C.（1）判断抛物线与圆的交点个数，并说明理由；（2）求的取值范围；（3）求周长的最小值。 【切入点】圆 与 轴相切于原点，而 在抛物线上、位置偏高。过 的两条切线各交 轴于一点，于是「从同一点引出的两条切线长相等」这条性质可以把三角形的三条边拆开来算。 【关键】（1）把 代入 ，得 ，即 、，所以抛物线 与圆 只有一个公共点。（2）设 。由 与圆相切（圆心 、半径 ）得 满足 ，其中 。两根之积为 ，说明 、 在原点两侧，所以 ，取值范围是 。 【关键】（3）由 得切线长为 。圆与 轴相切于原点，由切线长相等得 ，所以 ，同理 。于是周长等于 。求导可知它在 处最小，最小值 ，所以周长的最小值为 。 【易错】第一，第（2）问要先说明两根异号，才能把 写成两根绝对值之和；否则符号判断不出来，长度就算错。第二，切线长 的来历要用 （这里代入了 ），漏掉这一步就看不出切线长恰好等于中点纵坐标。第三，求 的最小值要带上前提 ，等号在 处取到。 【答案】（1）只有一个公共点；（2） 的取值范围是 ；（3） 周长的最小值为 变式4-1（解答·★★★★☆） 已知抛物线，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点。(1)若，求抛物线的方程；(2)求的最大值。 【切入点】、 是过定点 的直线与抛物线的两个交点，所以两条线段长都是 乘以各自横坐标与 的差。两个绝对值的和与积都能从韦达定理读出来，倒数和正好可以整体处理。 【关键】（1）直线为 ，代入 得 ，所以 、。由 得 ，即 ，解得 ，抛物线为 。 【关键】（2）、。由 知两根异号，所以 ，。于是 。记 ，则 ，求导可知（或直接对 求导）最大值在 处取到，最大值是 。 【易错】第一，两根异号要先由 判断出来，否则绝对值拆不开。第二， 通分后分母是两根之积，分子是两根之差的绝对值，这两条都能从韦达定理直接读，不必解出两个根。第三，求 的最大值时，驻点 的正根是 ，开方时别忘了整体要开一次方。 【答案】（1）；（2） 的最大值为 例5（解答·★★★★★） 已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心。（1）求圆的标准方程。（2）为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值。 【切入点】圆心到两条坐标轴的距离都等于半径，所以圆心是 ；「抛物线经过圆心」只用来把 与 挂上钩。第二问那个长式子看着唬人，其实只要认出 可以用抛物线的定义化简，它立刻变成一次式。 【关键】（1）设圆心 （）。由 得 ，所以圆 的标准方程是 。 【关键】（2）焦点 ，所以 、。对抛物线上任一点 ，由定义 ，于是 。所以原式等于 。因为 ，最小值在 （即 为原点）时取到，等于 。 【易错】第一，圆心到两坐标轴的距离都等于半径，所以圆心是 ，不要设成 。第二， 的化简用抛物线的定义最省事： 等于 到准线的距离 ，比用两点间距离公式少开一次根号。第三， 的最小值就是顶点处的 ，而原点确实在抛物线上，所以最小值能取到，不是「趋于」。 【答案】（1）；（2）最小值为 变式5-1（解答·★★★★★） 已知双曲线的左、右焦点分别为，一条过点且斜率为的直线与的左、右两支分别交于两点，与两条渐近线分别交于，两点。（1）若焦距为12，求的方程；（2）若，求的最大值。 【切入点】、 是直线与双曲线的交点，、 是它与两条渐近线的交点 ——四点在同一条直线上，所以两段长都可以写成 乘以横坐标之差。与渐近线的交点不必联立二次方程，直接解一次方程即可。 【关键】（1）焦距为 给出 ，而 ，所以 、， 为 。 【关键】（2） 时双曲线为 ，渐近线为 。设过 的直线为 ，它与两条渐近线的交点横坐标分别是 与 ，所以 。与 联立得 ，判别式化简后给出 。两式相除， 与 都约掉，得 。再平方求导，最大值在 处取到，等于 。 【易错】第一，直线要与左、右两支都相交，需要 ，即 ；同时根号里 。两个条件都要写，只写一个会漏掉边界。第二，与渐近线的交点用一次方程直接解，比联立二次方程快，但要排除分母为零的 。第三，两段长度里的 恰好约掉，这是本题化简的关键，先化简再平方求导最省力。 【答案】（1）；（2） 的最大值为 变式5-2（解答·★★★★☆） 已知抛物线C：过点，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点。（1）若直线的斜率为-1，且，求直线的方程；（2）若直线不经过点P，且直线与直线的斜率之积为4，过点P作直线垂直于点G，求点G到C的准线距离的最大值。 【切入点】第（2）问的 是「过 作 的垂线」的垂足，所以 。只要能证明 过某个定点 ， 就落在以 为直径的圆上 ——点到准线的距离最值随即变成圆上一点横坐标的最值，不必求导。 【关键】（1）抛物线过 得 ，即 ，。设 ，代入得 ，所以 、。由 得 或 ； 时方程无实根，舍去。所以 。 【关键】（2）设 、。，同理 。由 得 ，即 。弦 的方程为 ，代入上式得 ，所以 恒过定点 。于是 ， 在以 为直径的圆上：圆心 、半径 。准线为 ， 到准线的距离等于 ，所以最大值是 。 【易错】第一，第（1）问解出两个 后必须检验判别式， 对应直线与抛物线没有交点，要舍去。第二，由 断定 在以 为直径的圆上，方向不能反 —— 是「直径所对的圆周角为直角」，所以 就是 在圆上的判据。第三，抛物线的准线是 ，到准线的距离要写成 ，别写成 。 【答案】（1）；（2）点 到 的准线距离的最大值为 例6（解答·★★★★★） 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，分别为左、右焦点，为右顶点，为左支上的两个动点（不包括顶点）。（1）求的离心率；（2）若为定值，直线经过，求的最小值。 【切入点】、 是过 的弦的两个端点，且都在左支上，所以两条焦半径都能用「左支上的点到两焦点距离之差为 」这条定义换成同一侧的式子。换成之后，两条焦半径都只与方向角有关，再在 里用一次余弦定理就够了。 【关键】（1）渐近线的倾斜角为 ，所以 ，。 【关键】（2）此时 ，、、，左准线为 。设直线 与 方向的夹角为 （记 ）。由双曲线的定义（到焦点的距离与到相应准线的距离之比为 ）可解得 、。在 中用余弦定理（，夹角为 ）：，同理 。两式开方后相加，求导可知和式在 处最小，此时两式都等于 ，和是 ——也就是 垂直于 轴（通径）时取到。 【易错】第一， 的允许范围由 、 都在左支上决定：，也就是 不能太「平」；超出这个范围直线就交不到左支上两个点。第二，两条焦半径的分母一个是 、一个是 ，因为 、 在 的两侧，方向角相差 。第三，最小值在 取到，对应的是竖直弦，此时斜率不存在，设斜截式会漏掉它。 【答案】（1）；（2） 的最小值为 变式6-1（解答·★★★★★） 已知椭圆：过点，且离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上在第一象限内的一个动点。（1）求椭圆的标准方程；（2）直线，分别交椭圆于点，，直线，的斜率分别为，，求的最小值。 【切入点】 是直线 与椭圆的下一个交点， 是直线 的下一个交点 ——两条割线都过定点（焦点），所以 、 的坐标都能用 表示。要的量 就是 减去 斜率的倒数。 【关键】（1）由 得 。把 代入：，所以 、，椭圆为 。 【关键】（2）设 在第一象限。把直线 上的点写成 ，代入椭圆后由韦达定理（一根为 ）得另一根 ，于是 ；同理把 换成 ，得 。求出 与 后相除，利用 化简，得 。又 ，所以 ，等号在 （即 ）时取到。 【易错】第一，两条割线上的「另一交点」要用参数式代入，并且利用「一根是 」直接读出另一根，比再解一次二次方程快得多。第二，化简 时要主动用 ，这是本题唯一把两个变量捆在一起的关系。第三，用均值不等式时 必须是正的 ——题目给「 在第一象限」正是为了保证这一点。 【答案】（1）；（2） 的最小值为 参数的取值范围：判别式、位置与存在性 「求取值范围」与「求最值」是同一个问题的两面：最值回答「最大能到多少」，范围回答「能取到哪些」。所以范围题的入口是找约束 ——把题目里每一句限制都翻译成一条不等式，全部列出来再取交集。 约束主要有三种来源。一是判别式：凡是「直线与曲线交于两个不同点」，二次方程就有两个不等实根， 直接给出一条不等式。二是位置：点在某条曲线的内部、某条线段上、某个象限里，都会把坐标限制在一个区域内。三是存在性：题目问「是否存在…」，答案通常是「存在」，而「存在」本身就意味着某个方程的判别式不小于零，或者某个量的取值落在值域里。 把约束写成不等式之后，剩下的是代数功夫。常见的形式有两类：一类直接是某个参数的一次或二次不等式，解出来就是区间；另一类是两个参数之间的关系式，要把其中一个解出来、代进已有的不等式，或者把待求量表示成另一个量的函数，再求这个函数的值域。 求值域时有一条经验值得记住：先把式子化简到最简，再动手。很多题目的分子分母里都有同一个因子，约掉之后待求量不再含参数 ——这说明它其实是定值，而不是范围；反过来，如果约完之后还剩一个参数，那这个参数的取值范围就是答案的边界。本讲的几道题里，「斜率之积」「距离之比」都属于这一类，先化简再判断是定值还是范围。 最后一步是核对端点。区间端点能不能取到，取决于每一个约束在端点处是否仍然成立：判别式在端点处为零时，「两个不同点」就变成了「两个重合点」，必须去掉；「点不在坐标轴上」「三点互不重合」这类文字约束也常常正好卡掉一个端点。宁可多写一句「端点取不到」，也不要写错开闭。 例7（解答·★★★★☆） 已知椭圆的短轴长为4，离心率为。（1）求Γ的方程；（2）若直线与交于A，B两点，且，求m的取值范围。 【切入点】条件「弦长小于某个数」里的弦长由判别式直接给出 ——所以本题的两条不等式，一条来自「交于两点」（判别式大于零），另一条来自弦长的上界。两条联立就是 的取值范围。 【关键】（1）短轴长 给出 。 给出 ，于是 ，所以 ，。 【关键】（2）把 代入得 。交于两点要求 ，即 。弦长 ，得 ，即 。两条合起来 ，所以 。 【易错】第一，两条不等式一个也不能少 ——只写弦长条件会漏掉「交于两点」给出的 ，只写判别式则漏掉区间中段被排除的部分。第二，弦长用 ，这里 所以乘的是 ，不要乘错。第三， 给出的是 ，必须写成两个区间的并集，不能写成 。 【答案】（1）；（2） 变式7-1（解答·★★★★★） 已知双曲线的左顶点为，斜率不为0的直线过点。（1）当直线的斜率为2时，直线与双曲线恰有一个交点，求双曲线的标准方程。（2）设直线与双曲线交于，两点，且直线与的斜率之积不小于，求双曲线的离心率的取值范围。 【切入点】「斜率之积不小于 」是一条关于 的不等式 ——把 用韦达定理整体算出来，会发现它只含 、与直线的斜率无关，于是不等号直接给出 的范围。 【关键】（1） 是左顶点，所以 。直线 与 恰有一个交点：把它代入 ，当二次项系数 为零时方程退化成一次方程、恰有一解，所以 ，。 【关键】（2）设 （）。代入得 ，所以 、。由此算出 、。而 。由 得 。又 ，所以 。 【易错】第一，「恰有一个交点」有两种情形：二次项系数为零（直线与渐近线平行）或判别式为零；本题只有前者能给出干净的解，后者代进去会矛盾。第二，化简两个乘积时把 、 整体代入，最后 会约掉、 也随之消失 ——这正是「斜率之积与直线无关」的原因。第三，，本题 ，所以 ，那个「」不要漏。 【答案】（1）；（2） 例8（解答·★★★★☆） 已知双曲线：的离心率为，的焦点到其渐近线的距离为2.（1）求双曲线的方程；（2）设是双曲线上的点，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若，，求面积的取值范围。 【切入点】、 分别在两条渐近线上，而 把线段 按定比 分开 ——用定比分点公式写出 的坐标，再让它落在双曲线上， 与两条渐近线上的坐标就被绑在一起了，面积也随之变成 的函数。 【关键】（1）由 得 ，所以 ；焦点到渐近线的距离恒等于 ，所以 、，。 【关键】（2）设 、（、）。由 得 。代入 化简，得 ，即 ，所以 。而 的面积等于 。由 与 ，得面积 。 【易错】第一，定比分点公式里 、 的位置不能写反： 表示 在 、 之间、且 。第二，、 分处第一、四象限给出 、，符号写错会让 变成负数，面积也跟着错。第三， 在 处最小、在两个端点处相等，所以两个端点都要比较，上界是 而不是别的值。 【答案】（1）；（2） 面积的取值范围是 变式8-1（解答·★★★★★） 已知双曲线上的一点到两条渐近线的距离之积为，离心率为2。（1）求的方程；（2）直线与交于两点，点在上，且，其中为坐标原点，求的取值范围。 【切入点】 由 、 按向量关系生成，而 、 是直线与双曲线的交点 ——所以 的坐标里会出现两根之和与之积。把「 在双曲线上」整理出来， 与 的关系就定了；再加上「直线与双曲线交于两点」， 的范围随之出现。 【关键】（1）双曲线上一点到两条渐近线的距离之积恒为 。由 得 、，所以 ，得 、，。 【关键】（2）把 代入得 ，交于两点要求 。两根为 ，记 ，取 、。于是 的横坐标为 、纵坐标为 。代入双曲线方程后左边化成 ，整理即 ，所以 。要求这个值大于 。右边为正要求 ；再由 （ 时两边同号反向）整理得 ，即 或 。所以 。 【易错】第一，两根写成 之后，代进 的坐标时会用到 ，这一步是把根号消掉的关键。第二， 是从「 为正」反推出来的，不能漏；漏掉就会多出正数的那一段。第三，解不等式时注意 使 变号，不等号方向要跟着改。 【答案】（1）；（2） 例9（解答·★★★★☆） 已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1．（1）求E的方程：（2）过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围。 【切入点】 在定直线 上，从它向椭圆作两条切线，两条切线与 轴交于 、 ——两条切线的斜率是一元二次方程的两根，所以 可以整体用两根之和与之积表示，不必分别求出来。 【关键】（1） 轴时 就是半通径 ；而 到直线 的距离的最小值为 ，说明椭圆的最高点在 处，即 。代入 得 ，所以 。 【关键】（2）设 ，过 的切线设为 。由它与 相切得 ，即 。两条切线的斜率 、 是它的两根，所以 、。切线与 轴的交点横坐标是 ，于是 。三角形的高就是 到 轴的距离 ，所以面积等于 ，且随 增大而无限增大，取值范围是 。 【易错】第一，「 到 的距离的最小值为 」是说椭圆的最高点在 处，所以 ，不要理解成 。第二， 时其中一条切线是 本身，它与 轴平行、交不出 或 ，要单独排除；但面积的等号在 处取到，不受影响。第三， 的化简要用 ，分母里的 会约掉一次，别丢因子。 【答案】（1）；（2） 面积的取值范围是 变式9-1（解答·★★★★★） 已知椭圆的两焦点分别为，离心率为，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点，与关于轴对称。（1）求椭圆的标准方程；（2）求内切圆半径的取值范围。 【切入点】 的三条边可以两两配成「同一个点到两个焦点的距离」——于是周长是定值 ，半周长也就固定了。内切圆半径 ，问题立刻变成求面积的范围。 【关键】（1）、 给出 、，椭圆为 。 【关键】（2）、 都在椭圆上，所以 、；又 、、 共线，。所以周长为 ，半周长 。面积以 为底：。设 ，代入椭圆得 ，所以 。于是 。记 ，求导可知 关于 递减，最大值在 处为 、 时趋于 。而 时弦 竖直， 与 的对称点正是 ，与「、、 三点互不重合」矛盾，所以 取不到，。 【易错】第一，周长为定值这一步要用「、、 三点共线」把 拆成两条焦半径之和，漏掉这一点就算不出 。第二，内切圆半径用 （ 是半周长），不是 。第三，上界 对应竖直线，此时 与 重合，被题目的「三个不重合的点」排除 ——所以区间在右端是开的。 【答案】（1）；（2） 变式9-2（解答·★★★★★） 已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于和（其中在轴上方）。当倾斜角互补时，直线与直线交于点，求的内切圆的圆心横坐标的取值范围。 【切入点】 与 倾斜角互补，说明其中一条是另一条关于 轴的对称图形。于是 、 与 、 两两对称，两条直线 与 的交点 必在 轴上 ——先把 定下来，内切圆圆心的横坐标才有简单的表达式。 【关键】设 （），则 。与 联立得 ，两根为 。记大根对应的点为 （在 轴上方）、小根对应的点为 （在下方），则 是 关于 轴的对称点、 是 的对称点。 【关键】由对称性，直线 与 的交点 在 轴上。把 、 的坐标代入直线方程解得 ，即 是定点。三角形的内切圆圆心按对边长度加权平均：。把 、 用 表示后代入，得 的函数式；分析可知它在 上递增， 时趋于 、 时趋于 ，所以内切圆圆心的横坐标的取值范围是 。 【易错】第一，「倾斜角互补」意味着两条直线的斜率互为相反数，不是互为倒数。第二， 在 轴上方、 在下方，横坐标一大一小，求内切圆圆心时「权数是对边长」这一点不能错位 ——顶点 的权是 ，不是 。第三，两端的值都取不到（ 不能为零、也不能无穷），所以区间是开的。 【答案】内切圆圆心的横坐标的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $