圆锥曲线中的定点问题、圆锥曲线中的定值问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 圆锥曲线中的定点问题、圆锥曲线中的定值问题专项训练 考点目录 圆锥曲线中的定点问题 圆锥曲线中的定值问题 考点一 圆锥曲线中的定点问题 例1．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)易得，设：，，． 由得， 则，，且，， 所以，． 则 ． 因为，所以，解得（舍去）或， 所以：，故直线过定点． 【分析】（1）利用右顶点处的垂线与两条渐近线的交点距离，直接得到的值，再结合离心率公式求出 即可； （2）设直线的方程，与双曲线联立后用韦达定理表示交点坐标关系，利用两条直线垂直的向量条件（点积为零）建立方程，解得 ，从而确定直线过定点． 【详解】（1）的渐近线方程为和， 将分别代入渐近线方程，得，所以． 又，所以． 又的离心率，得， 故的方程为． （2）略． 例2．（25-26高三上·四川成都·期末）已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 【答案】(1) (2) (3)证明：由题知，由（1）知， 由（2）知， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得 因为，所以 而，所以，则， 所以过定点； 【分析】（1）根据题意，令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）设，,,联立双曲线并应用韦达定理，应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. （3）结合（2）中的韦达定理，直线，双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； 【详解】（1）由轴时，，可令 代入双曲线得，又因为 解得，则所求方程为； （2）设，，由（1）知， 由斜率不为0，可设 联立双曲线并整理得， 则， 所以，， ， 由得，令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. （3）略 例3．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点作垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明：，则， 易知，设，， 联立，， ， ， 则，又，所以， 则， 即， ， ， 故直线过定点． 【分析】（1）根据离心率的定义直接计算； （2）设，联立可得，结合基本不等式求最值即可； （3）设，，联立可得，进而得到直线，再求即可得到过定点． 【详解】（1）椭圆：， 则， 则椭圆的离心率； （2）由题可知， 点关于原点中心对称的点为，则三点共线，连接， 由题可知直线的斜率存在，且，设， 联立，得，解得， 则， 点到直线的距离，点到直线的距离， ，当且仅当，即时取等， 故四边形面积的最大值为； （3）略 变式1．（25-26高二下·广西河池·期末）已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点，为上顶点，为右焦点，为等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）设，，， 当直线斜率为时，直线与轴重合，，，三点共线， 直线恒过定点，定点在轴上， 当直线斜率不为时，设直线方程为， 依题意， 得，， ，， 所以，即得直线的方程为：①． 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上， 所以令代入①，可得 ， 由（*）得， 所以得， 所以直线恒过定点． （ⅱ） 【分析】（1）由椭圆的性质列出方程解得参数即可写出椭圆方程； （2）（ⅰ）设交点坐标，讨论直线斜率，写出直线方程，联立方程组整理得到一元二次方程，由韦达定理得到交点坐标的关系式，从而写出直线的方程，由直线方程得到直线的定点坐标； （ⅱ）由（ⅰ）得并通过（ⅰ）中结论化简，通过换元法结合基本不等式求得面积的最大值. 【详解】（1）依题意可知， 解得，， 椭圆的标准方程为． （2）（i）略 （ⅱ）由（ⅰ）可知直线恒过定点， 所以， 将（*）代入得， 设，则． 因为，所以， 所以，当且仅当时取面积的最大值． 变式2．（25-26高二下·广东深圳·期末） 已知点，是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为.求证：过定点； 【答案】(1) (2)设，则． 显然的斜率不为零，否则有， 此时，而直线和的斜率之商为2，有矛盾． 故可设，由得， 依题意，且， ∴且．① 由得，（*） 由于和是方程（*）的两根，所以 令得，                因为直线和的斜率之商为2，所以       因为点在双曲线上，所以，即， 所以， 即 ③ 把① ②代入③得， 化简可得 解得 ： ，（舍去)． 此时， 恒成立， 所以  ，过定点． 【分析】（1）先设动点坐标，将几何关系转化为坐标关系后可得曲线的方程； （2）设直线方程并联立，代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理化简目标代数式后可得定点. 【详解】（1）设，因为，且，垂足为，则点坐标为． 则， 已知，即． 因为在线段外，所以，则， 整理可得曲线的方程为．               （2）略 变式3．（25-26高三上·北京昌平·期中）已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，且定点坐标为 【分析】（1）利用焦距与椭圆定义计算可得、，即可计算出，即可得解； （2）设出直线方程，联立曲线方程可得与交点纵坐标有关韦达定理，则可得点坐标，在表示出直线方程，即可得点坐标，由以为直径的圆上的点满足，即可借助向量得到，设，求出是否存在定值、使得恒成立即可得解. 【详解】（1）由焦距为，可得，即， 由椭圆定义可得，故， 故， 即椭圆的标准方程为； （2）由题意可得，设，、， 联立，消去可得，恒成立， 则，， 则，，即， 则，令，解得，即， 若在以为直径的圆上，则， 由，， 即有 ， 即 ， 令，解得， 故以为直径的圆恒过定点.    考点二 圆锥曲线中的定值问题 例1．（2026·黑龙江大庆·一模）设，两点的坐标分别为和，直线与相交于点，且它们的斜率之积是． (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹是曲线，过原点的直线交曲线于，两点，过线段的中点的直线交曲线于，两点．已知直线，的斜率分别为，，且． （i）证明：点为线段的中点； （ii）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明：由，则直线的斜率存在， 设直线的方程为，，，设中点， 联立，得， 则，， ，则， 即中点在直线上， 又在直线上，则，重合， 所以为线段的中点； （ⅱ）是，定值为 【分析】（1）根据斜率公式求椭圆方程即可； （2）（ⅰ）设直线的方程为，，，设中点，联立得到，再证明在直线上即可； （ⅱ）根据题意可得，利用点得到点坐标，进而得到，再求弦长及点到直线的距离，进而求出面积即可． 【详解】（1）设，由，所以的轨迹方程为； （2）（ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知为中点，为线段的中点，又关于原点对称， ， 又，则， ，解得， ， 点到直线的距离， 故四边形的面积为定值．    例2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知椭圆：． (1)求椭圆的离心率； (2)设为坐标原点，，，为椭圆上的三个动点，若四边形为平行四边形，判断的面积是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)； (2)的面积为定值.理由如下： 因为四边形是平行四边形，所以. 设，， 平行四边形的对角线把它分成两个面积相等的三角形， 所以， 由，且， 所以， 于是. . 所以. 由、、三点的坐标都在椭圆上，得，，. 把第三式展开并与前两式比较，得. 设，， 代入上式得，即. 于是. 所以，为定值. 【分析】（1）把方程化为标准形式求出、，再由求离心率； （2）由平行四边形的向量关系写出的坐标，利用"对角线平分平行四边形"把的面积转化为的面积并化简为；再让、、三点都满足椭圆方程，解出，最后用椭圆的参数方程求出定值. 【详解】（1）把椭圆的方程化为标准形式：， 所以，，，即，. 所以椭圆的离心率. （2）略 例3．（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知椭圆：，则称椭圆：（且）是椭圆的等比缩放椭圆．若椭圆的短轴长为，离心率为，椭圆是椭圆的等比缩放椭圆，点是椭圆上异于左、右顶点，的任意一点． (1)求椭圆的方程； (2)当时，设直线与椭圆交于点，，线段中点为，直线与椭圆交于点，，线段中点为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)由（1）得椭圆的方程为， 令得，即，. 设点，则，所以. 设，， 则，所以. 直线：，联立 消得. 设，，则， 所以，. 所以. 同理，，将代入得. 所以，所以得证． 【分析】（1）利用椭圆的短轴长和离心率可求得椭圆的方程，再利用等比缩放椭圆的定义即可求椭圆的方程. （2）由点在椭圆上可得直线与的斜率关系，再设直线方程，联立椭圆的方程可计算点的坐标，即可得，同理可得，从而可计算的值. 【详解】（1）由题知 解得，所以C的方程为. 所以椭圆的方程为，即． （2）略 变式1．（2026·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)设不过原点的直线l：与交于、两点，直线、的斜率分别为、，满足． （i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由； （ii）求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）当变化时，是定值，定值为． 证明如下：设，， 由，得， 当时， 有，①， 因为直线、的斜率依次为、， 所以， 所以②， 由①②解得，经验证成立，所以结论成立． （ii） 【分析】（1）小题利用垂直平分线的等距性质结合椭圆的定义直接写出轨迹方程； （2）（i）将直线代入椭圆，用韦达定理，把斜率条件转化为关于的等式，推导出为定值；（ii）利用三角形面积公式，代入的定值，换元后结合对勾函数单调性求出面积取值范围． 【详解】（1）由题设条件可得，，， 所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆， 又，，，所以， 故点的轨迹的方程为； （2）（i）略； （ii）， 令，得． 所以，面积的取值范围为． 变式2．（26-27高三上·云南·开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线上一动点到焦点距离的最小值为1．过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，且的重心在轴上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若（为坐标原点），垂足为，求证：存在定点，使得为定值； (3)若，求重心的坐标． 【答案】(1) (2)由（1），得． 方法一：由题意，得直线过定点，直线过定点， 且于点，所以点在以为直径的圆上， 圆心为点，半径为． 所以存在定点，使得为定值． 方法二：由题意，得直线的倾斜角不为0，设直线的方程为． 因为，所以直线的方程为． 解得所以点 设，则，消去，得， 即， 所以点在以点为圆心，为半径的圆上 所以存在定点，使得为定值． (3)． 【分析】（1）由取得最小值1得到，解出，从而得到抛物线的标准方程. （2） 方法一： 由于点得到点在以为直径的圆上，从而得到此圆的圆心和半径，从而得到所求． 方法二：设直线的方程为．由得到直线的方程为．通过联立方程组得到点的坐标，再设，从而得到点在以点为圆心，为半径的圆上，从而得到所求. （3）设直线的方程为，，，，，重心．通过联立方程组得到．求出，从而得到，由的重心在轴上可以得到，从而得到，．从而得到，继而求出． 【详解】（1）因为抛物线，所以抛物线的准线方程为． 设，则由抛物线的定义，得， 所以当时，取得最小值1， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）略 （3）由题意，得直线的倾斜角不为0， 设直线的方程为， ，，，，重心． 由消去，化简得， 则． 所以． 由题意，得，解得． 因为的重心在轴上，所以， 所以，则． 因为，所以， 故的重心． 变式3．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知椭圆过点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 证明：设过点的直线的方程为（避免斜率不存在的讨论）， 设，将代入椭圆方程得到： 展开整理得 ， 由韦达定理得： 点，直线的方程为 令得的纵坐标： 同理，直线与轴交点的纵坐标： 因此：， 由于故同理 计算分母： 代入韦达定理结果： 分子部分：， 因此： 故为定值. 【详解】（1）椭圆过点，将代入椭圆方程： ，又已知， 因此故，所以椭圆方程。 （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 圆锥曲线中的定点问题、圆锥曲线中的定值问题专项训练 考点目录 圆锥曲线中的定点问题 圆锥曲线中的定值问题 考点一 圆锥曲线中的定点问题 例1．（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知双曲线：的离心率为2，过的右顶点作轴的垂线，与的两条渐近线分别交于点，，且． (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，分别交于点，（，均异于），证明：直线过定点． 例2．（25-26高三上·四川成都·期末）已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于P，Q两点，当轴时，． (1)求的方程； (2)求面积的最小值． (3)过点作直线的垂线，垂足为，证明：直线QN过定点 例3．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆：，点、分别是椭圆位于轴、轴正半轴的两个顶点，点是椭圆上位于第一象限的一个动点． (1)求椭圆的离心率； (2)设点关于原点中心对称的点为，求四边形面积的最大值； (3)点满足，直线与椭圆的另一个交点为点．过点作垂直于轴的直线，设直线交线段于点，若点满足，求证：直线过定点． 变式1．（25-26高二下·广西河池·期末）已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点，为上顶点，为右焦点，为等腰直角三角形． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为． （ⅰ）求证：直线恒过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 变式2．（25-26高二下·广东深圳·期末） 已知点，是直线外的一个动点，，垂足为，且在线段外，，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为.求证：过定点； 变式3．（25-26高三上·北京昌平·期中）已知椭圆，焦距为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过椭圆的右焦点的直线（不与轴重合）交椭圆于两点，记线段的中点为，直线交直线于点（为坐标原点），以为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由. 考点二 圆锥曲线中的定值问题 例1．（2026·黑龙江大庆·一模）设，两点的坐标分别为和，直线与相交于点，且它们的斜率之积是． (1)求点的轨迹方程； (2)设点的轨迹是曲线，过原点的直线交曲线于，两点，过线段的中点的直线交曲线于，两点．已知直线，的斜率分别为，，且． （i）证明：点为线段的中点； （ii）判断四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 例2．（2026·广东佛山·模拟预测）已知椭圆：． (1)求椭圆的离心率； (2)设为坐标原点，，，为椭圆上的三个动点，若四边形为平行四边形，判断的面积是否为定值，并说明理由． 例3．（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知椭圆：，则称椭圆：（且）是椭圆的等比缩放椭圆．若椭圆的短轴长为，离心率为，椭圆是椭圆的等比缩放椭圆，点是椭圆上异于左、右顶点，的任意一点． (1)求椭圆的方程； (2)当时，设直线与椭圆交于点，，线段中点为，直线与椭圆交于点，，线段中点为，证明：为定值． 变式1．（2026·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)设不过原点的直线l：与交于、两点，直线、的斜率分别为、，满足． （i）当变化时，是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由； （ii）求面积的取值范围． 变式2．（26-27高三上·云南·开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线上一动点到焦点距离的最小值为1．过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，且的重心在轴上． (1)求抛物线的标准方程； (2)若（为坐标原点），垂足为，求证：存在定点，使得为定值； (3)若，求重心的坐标． 变式3．（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）已知椭圆过点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线和分别与轴交于，两点，求证：为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $