29.3 弧长和扇形面积 周学自检2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.3 弧长和扇形面积 周学自检2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．若圆的半径为9，则的圆心角所对的弧长为（　　） A．3 B．6 C． D． 2．一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（  ） A． B． C． D． 3．若将一个圆分割成三个扇形，它们的面积比为，则最小的扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，圆锥的底面半径cm，高cm．则这个圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 6．如图，矩形纸片中，，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（   ） A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm 8．在综合与实践活动课上，某同学需要用扇形薄纸板制作成底面半径为3分米，高为4分米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为（    ） A．54° B．108° C．136° D．216° 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，将△ABC绕点B逆时针旋转120°至的位置，则边BA扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 10．如图，等边三角形和正方形的边长都是a，在图形所在的平面内，将以点A为中心沿逆时针方向旋转，使与重合，如此继续以点B、C、D为中心将三角形进行旋转，只需使点P回到原来位置为止即可，则点P从开始到结束所经过路径的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为______．（结果保留π） 12．如图，在中，，，以为直径的交于点E，则的长为______．（计算结果保留） 13．《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有___________斛．    14．如图，如果一个扇形的圆心角为，弧长为，那么该扇形的半径为__________． 15．如图所示，圆锥的母线长，为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角．在圆锥的曲面上，从点到点的最短路径长是_______．    三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)画出绕点A逆时针旋转所得的，并直接写出的长； (2)直接写出在（1）的旋转过程中线段扫过区域的面积． 17．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉瑕丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为8cm的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形玉佩，求阴影部分的面积．（结果保留） 18．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长． 19．“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置的示意图．王红测得厘米，厘米，厘米．根据王红提供的信息解答下列问题： (1)求点到的距离； (2)求点E运动的距离． 20．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A C C B D C C 1．【答案】D 【知识点】求弧长 【分析】根据弧长的计算公式计算即可． 【详解】解：. 故选：D． 【点睛】本题考查了求弧长，解题的关键是掌握弧长的公式，在代入圆心角度数时，n的值一定不要带度数． 2．【答案】A 【知识点】求扇形半径 【分析】此题考查了扇形弧长，设这个扇形的半径为根据题意列方程求解即可． 【详解】∵一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为， ∴设这个扇形的半径为 ∴ ∴ ∴这个扇形的半径为． 故选：A． 3．【答案】A 【知识点】求圆心角 【分析】将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为，再由三个圆心角的度数比为，可求出最小的圆心角度数． 【详解】解：由题意可得，三个圆心角的和为， ∵它们的面积之比为， ∴三个圆心角的度数比为， ∴最小扇形的圆心角度数为：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆心角，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为． 4．【答案】A 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的面积公式的应用，能够正确运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键． 根据扇形的面积公式弧长×半径进行列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：由题意知，半径，弧长， ∴弧长×半径， 故选：A． 5．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、求圆锥侧面积 【分析】首先根据底面半径cm，高cm，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】解：∵它的底面半径cm，高cm． ∴（cm）， ∴这个圆锥的侧面积是：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键． 6．【答案】C 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设圆锥的底面的半径为 ，则 ， ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为 ，则 ， ， 根据题意得， 解得， ． 故选：C． 7．【答案】B 【知识点】求圆锥的高、用勾股定理解三角形 【分析】设圆锥底面的圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形求出r的值，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面的圆的半径为r，360°-144°=216°， 根据题意得， 解得r=9， 所以这个圆锥的高=（cm）． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 8．【答案】D 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】首先利用勾股定理求得圆锥的母线长即展开扇形的半径的长，然后利用圆锥的侧面扇形的弧长公式求得圆心角即可． 【详解】解：∵底面半径为3厘米，高为4厘米， ∴圆锥的母线长==5cm， ∵底面半径为3cm， ∴底面周长=2·π·R=6πcm， ∴=6π， 解得n=216， ∴该扇形薄纸板的圆心角为216°． 故选：D． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确记忆这两个关系是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】先根据含30°直角三角形的性质求出AB，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1， ∴AB＝2. ∵△ABC绕点B逆时针旋转120°至的位置， ∴边BA扫过的面积是：. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，掌握扇形面积公式是解题的关键． 10．【答案】C 【知识点】等边三角形的性质、求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查弧长的计算和等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质，此题难度不大． 首先作出图形，于是可得点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为和和的三段圆弧，根据弧长公式即可求出总长度． 【详解】解：作图如图 点P所经过的路径是半径为a、圆心角分别为和和的三段圆弧， 故总长度为． 故选：C． 11．【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、求弧长 【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 13．【答案】22 【知识点】求圆锥底面半径、圆锥的实际问题 【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数． 【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：， ∴， ∴米堆的体积为：， ∴米堆的斛数为：； 故答案为：22． 【点睛】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大． 14．【答案】/ 【知识点】求扇形半径 【分析】本题考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键．根据弧长公式，计算得到答案． 【详解】解：设扇形的半径是R， 则 解得：． 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、用勾股定理解三角形、圆锥侧面上最短路径问题 【分析】根据题意可得圆锥的底面周长是，即可得圆锥侧面展开图的圆心角是，展开圆锥的侧面，构造直角三角形即可得． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴圆锥的底面周长是， 则 ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是， 如图所示，    ∴， ∵为母线的中点， ∴， ∴在圆锥侧面展开图中 ， ∴蚂蚁在圆锥侧面上从B爬到P的最短距离是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短距离问题，解题的关键是掌握圆锥的计算，勾股定理，将最短距离转化为平面上两点间的距离并正确计算． 16．【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、求图形旋转后扫过的面积、根据旋转的性质求解、画旋转图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，两点间的距离公式，求图形扫过的面积，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，再顺次连接，利用两点间的距离公式求出的长，即可求出的长； （2）由题意得，线段扫过的区域即为扇形，据此结合扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由旋转的性质可得； （2）解：由题意得，线段扫过的区域即为扇形， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴线段扫过区域的面积为． 17．【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键根据圆周角定理由根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，是的直径． ∵， ∴， ∴， ∴ ． 18．【答案】cm 【知识点】用勾股定理解三角形、圆锥侧面上最短路径问题 【分析】求出圆锥底面圆的周长，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC＝90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6π，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π， 设展开后的圆心角是n°，则， 解得：n＝180°， 则∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝3，AB＝6， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 如图， 由勾股定理得：BP＝， 答：在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长是3cm． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开﹣最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和空间想象能力，题目是一道具有代表性的题目，有一定的难度． 19．【答案】(1) (2) 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，弧长的计算： （1）通过作高构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系以及旋转的性质求出即可； （2）根据勾股定理求出的长，再根据弧长的计算方法求出弧的长即可． 【详解】（1）解：如图2，过点作于H，连接，， 由题意可知，，，， 在中，，， ， 点到的距离为， 答：点到的距离为； （2）解：在中，，， ， 弧的长为， 答：点E运动的距离为． 20．【答案】(1)相等； (2)； (3) 【知识点】求圆锥底面半径、求圆锥侧面展开图的圆心角、用勾股定理解三角形、圆锥侧面上最短路径问题 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $