29.3 弧长和扇形面积-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

圆第二十九章 29.3 弧长和扇形面积（第一课时） 知识梳理©形成联系 【知识点】扇形的定义及其面积公式 ©由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形 ©在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 ；圆心角为 n°的扇形面积是 ；比较扇形面积公式与孤长公式，可以用孤长表 示扇形面积为 1.半径为6，圆心角度数为120°的扇形的弧长为 2.一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则扇形面积= 3.已知扇形的面积为10，半径为5，则扇形的弧长是 例题点拨Q素养导向 年多多 【例】如图29.3-1，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC 绕顶点A顺时针旋转45°（即∠BAB'=45°）后得到△AB'C. (1)图中阴影部分的周长是多少？（结果保留π） (2)图中阴影部分的面积是多少？（结果保留π） 【点拨】(1)由旋转的性质，得AC'=AC=3,B'C=BC=4,AB'=AB=5,根据弧长公式即 可得出答案；(2)用扇形ABB的面积加△ABC的面积，再减去△ABC的面积，即可得出 答案. 图29.3-1 夯实四基心达标闯关 1.已知一条弧所对的圆心角是36°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比是 2.如图，BC是⊙0的直径，BC=6,点A,点D在⊙O上，且AB= BD,若∠ACB=20°，则CD的长度为() A.T B.7 3 D.9 D C.2m 4 第2题图 数学 九年级上册（人教版） 3.如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB,AC交于点D,E.若BC=8, ∠A=70°，则DE的长是() A C.14 D.16m 9 0 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD,连接BD,OC,∠ABD=60°，CD=4V3,则图中 阴影部分的面积为() A.4T B.等V3m C S D.$V3a 5.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A,B,C均在格点上，则经过点 B的AC的长度是 (结果用π表示) 6.某家具厂设计了一款独特的弧形沙发，其靠背是一整面布料，可看作一段圆弧.如图 是其示意图，布料两端点分别为点A,B,已知该弧形的半径OA=OB=2m,所在圆弧的圆心 角∠AOB=100°，则这一整面布料弧AB的长为 m.(结果用π表示) 0 第6题图 第7题图 7.如图，从一块直径为6dm的圆形铁皮上剪出一圆心角为90°的扇形，则此扇形的面 积为 dm2.(结果保留π) 8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=120°，连接OA,OC,若OA=1,求 劣弧AC的长.（结果保留π） 第8题图 ® 圆 第二十九章 能力提升综合拓展 一。多 9.如图，小方格都是边长为1的正方形，图中的“嫩芽”形状均由以格点为圆心，半径 为1和2的两种弧围成，求它的周长. 第9题图 10.如图，AB是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D,连接OD,AC.若AB= 6,∠BAC=20°，求弧AD的长和扇形AOD的面积. 第10题图 11.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E,连接AC (1)求证：∠CAD=∠ECB. (2)连接OC,若OC∥AB,∠EAD=60°，AD=4,求阴影部分的面积. 第11题图 中考链接©真题演练 12.(2025·苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮， 共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高 128m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为 68m,摩天轮匀速旋转一圈用时30min.某轿厢从点A出发，10min 后到达点B,此过程中，该轿厢所经过的路径（即AB)长度为 第12题图 m.(结果保留π) 135 数学 九年级上册（人教版） 29.3 弧长和扇形面积（第二课时） 知识梳理@形成联系 【知识点】圆锥的母线及圆锥的侧面积、全面积 ©我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线： ©沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆 锥的母线长为1，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为1，扇形的弧长为底面圆的周 长 ， 因此圆锥的侧面积为 ，圆锥的全面积为 1.如图29.3-2，圆锥的底面半径是1cm,母线长2cm,则它的侧面展开 图的圆心角的度数是 2.若圆锥的底面圆半径为2，母线长为6，则该圆锥的侧面积为 图29.3-2 例题点拨Q素养导向 -多多 【例】草帽可用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织，是中国特有的传统草编工艺品， 如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线1长为25cm、高AB为20cm的锥形 草帽.彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠。 (1)计算这顶锥形草帽的侧面积.（结果保留π）》 (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数， 【点拨】(1)利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解： (2)根据扇形的弧长公式得到m×25-2m×15,求出n即可. 180 Bi---- 图29.3-3 @ 圆 第二十九章 夯实四基飞U达标闯关 。多 1.如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝 6 cm 处忽略不计)是() A.27m cm2 B.24m cm2 C.20m cm2 D.16m cm2 2.一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为20，则该圆锥的 cm 底面圆的半径为() A.3 B.4 C.5 D.6 第1题图 3.把一个半径为6的半圆围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的高是() A.6 B.6V3 C.3 D.3V3 4.若一个圆锥的底面圆的半径为3cm,母线长为24cm,则该圆锥的侧面展开图的圆 心角度数为() A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如图，扇形的圆心角为60°，其弧长是4rcm. (1)求此弧在圆的半径长 (2)若将这个扇形制作成圆锥的侧面，求该圆锥的高OD. 第5题图 能力提升螂综合拓展 卡多s 6.如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条以C为圆心的圆弧经过网格点 A(0,4),B(-6,2),圆心C的坐标为(-2,0)，请在网格图中进行如下操作并解决以下问题. (1)连接AC,BC,求⊙C的半径以及∠ACB的度数. (2)若扇形ACB是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径.（结果保留根号） 7654321 第6题图 口数学 九年级上册（人教版） 7.如图，有一个圆形纸片⊙0，AB是弦，量得⊙0半径为10cm,圆心角∠AOB=120°. (1)求弦AB的长. (2)若用剪刀剪下一个圆心角为120的扇形，再用这个扇形围成一个圆锥，那么这个圆 锥的底面圆的半径是多少？ 第7题图 8.锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上、下两部分是圆锥，中间是 一个圆柱（如图，单位：m).电镀时，如果每平方米用锌0.11kg,要电镀100个这样的 锚标浮筒，需要用多少锌？（精确到0.01kg.提示：图形可以看作一个圆柱和两个圆锥组成） 直径800 第8题图 9.如图所示，长方形纸片ABCD中，AD=6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和长方形 纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面， 求圆锥的表面积.（结果保留π） 第9题图 @ 圆 第二十九章 中考链接©真题演练 10.(2024广东)综合与实践. 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为10cm的圆形滤纸： ②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗. 10 cm 7 cm 图1 图2 第10题图 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形： 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明， (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（圆锥体积公式：V=了h, 其中r为圆锥底面圆的半径，h为圆锥的高.结果保留π) ®参考答案 (2)由(1)得AB=AC,.∠ABC=∠ACB,⊙0 29.3弧长和扇形面积（第二课时) 为四边形APBC的外接圆，∠APB+∠ACB=180°， 【知识点】2 wr Trl Tr(r+l) ∠APB+∠FPB=180°，∴.∠ACB=∠FPB,∠ABC= 1.180°2.12m ∠APC,∠ABC=∠ACB,.∠FPB=∠APC. 【例】解：(1)由条件，可得底面半径为 11.B12.80° 29.3弧长和扇形面积（第一课时)】 V-h=V252-20=15cm,侧面积为Trl=15× 25m=375π(cm2) 【知识点】上RS=mR 180 360 (2)设扇形卡纸的圆心角的度数为n°，由题 1.4m2.π3.4 意， 得nm25-2mx15,m=216.答：所需扇形卡 180 【例】解：(1)由旋转的性质，得AC=AC= 纸的圆心角的度数为216° 3,B'C'=BC=4,AB'=AB=5,△ABC'的面积等于 1.B2.C3.D4.B △ABC的面积，∠BAB=45°，.弧BB的长度 5.解：(1)设此弧所在圆的半径长为rcm,根 为5需2子，阴影部分的周长为4443+3 据题意，可得忍×2=4，解得=12，此弧所在圆 4m=144 5 的半径长为12cm. (2)如图，结合(1)可知DE=r=12cm,设这个 (2)45mx53+3x4x1-3x4x1-25, 扇形制作成的圆锥底面半径为acm,则有2a=4r, 360 28 T. 解得a=2,即OE=2cm,∴.根据勾股定理，得OD= 102.B3.B4c5. 2m6.10 VDE-0区=V12-2=2V35cm,∴该圆锥的高0D 长为2V35cm. 7. 6.解：(1)A(0,4),C(-2,0),AC= 8.解：四边形ABCD内接于⊙0，∠B=120°，. V(-2-0)+(0-4)2=2V5,则⊙C的半径为2V5.连 ∠D=60°，∴.∠A0C=2∠D=120°，劣弧AC的长为 接AB,A(0,4),B(-6,2),C(-2,0),AB= (-6-0)2+(2-4)2=40,AC2=(-2-0)2+(0-4)2=20,BC= 120m×12 180=3π. [-6-(-2)]+(2-0)2-20,.AC+BC=AB2,.∠ACB=90°. 9.解：由题意，知4个半径为1的弧长之和为4x 90m1=2m,2个半径为2的弧长之和为2×90m2 180 180 2r,.该图形的周长为4. 10.解：AB是⊙0的直径，.∠ACB=90°， ∠BAC=20°，∴.∠ABC=90°-20°=70°，∠ABC的平分 线交⊙0于点D,LABD=7∠ABC=7×70=35, 7654321 1 ∠A0D=2∠ABD=2x35=70°，AD的长=70mX3_7 1806m, 第6题答图 Sa后A=70mX32_ T. 3604 (2)由题意，知弧AB的长为90x2V5π 180 11.(1)证明：由题意，可得∠ADC+∠ABC= V5π，令圆锥的底面圆的半径为r,2mr=V5π， 180°，又：∠CBE+∠ABC=180°，.∠CBE=∠ADC, ∠ACD=90°，∴.∠CAD+∠ADC=90°，∴.∠CBE+∠CAD= 解得=V5,圆锥的底面圆的半径为Y5 2 2 90°，CE⊥AB,.∠CBE+∠BCE=90°，.∠CAD= 7.解：(1)如图，过点0作 ∠BCE. AB的垂线，垂足为C.OA=OB, (2)解：如图，过点0作 OH⊥AC于点H.OC∥AB, 0C1AB,AG=号AB,∠A0C- ∠COD=∠EAD=60°，OC=OD, 1LA0B=7×120°=60° .∠C0D=LD=60°，OD=CD= 2 2 0 0 AC=0Asin∠A0C=10xY3= AD=2,∴AC=VAD-CD= 2 第7题答图 2V3,∠CAD=30°，.0H= 5V3 (cm),.AB=2AC=2x5V3 =10v3 (cm),. 0A-l,S雕=5 wt 第11题答图 弦AB的长为10V3cm. }4c-0i+-2V3x1:0%2-V5+ 3 20m÷2不= (2)AB=368x2m×10=297(cm),297 360 3 12.40m (cm).答：这个圆锥的底面圆的半径是9cm 3 8.解：由图形，可知圆锥的底面圆的半径为0.4m, 65 数学 九年级上册（人教版） 圆锥的高为0.3m,则圆锥的母线长为0.32+0.4= 到直线OA的距离d=2.5cm. 0.5(m)..圆锥的侧面积S1=T×0.4×0.5=0.2T(m2), (1)当r=2cm时，d>r,.∴⊙M与直线OA :圆柱的高为0.8m,圆柱的侧面积S2=2r×0.4×0.8= 相离 0.64r(m2),.浮筒的表面积=2S1+S2=1.04m(m),、 (2)当r=4cm时，d<r,∴.⊙M与直线OA 每平方米用锌0.11kg,.一个浮筒需用锌：1.04m× 、 相交 0.11kg,.100个这样的锚标浮筒需用锌100×1.04π× (3)当r=2.5cm时，d=r,.∴⊙M与直线OA 0.11=11.44r≈35.92(kg)·答：100个这样的锚标浮 相切 筒需用锌35.92kg. 9.解：设AE=AB=BF=xcm,则DE=(6-x)cm.根 1.A2.C3.A4.相离 据题意，可知裁出的圆的直径与长方形EFCD的宽（长 5.解：(1)2.4. (2)由(1)知，当⊙C 大于宽)相等，即为(6-x)cm,裁出扇形ABF和半 径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面， 与斜边AB相切时，r=2.4, ⊙C与斜边AB有两个公共点】 0=T(6-t,解得x=4,AB=BF=4cm,DB2m r的取值范围是2.4<≤3. 第5题答图 :圆能的表面积为9+mx号-4标+=5(cm) (3)⊙C与斜边AB有且只有一个公共点，了的 取值范围是3≤4或=2.4.故答案为3<r≤4或r=2.4. 10.解：(1)滤纸能紧贴此漏斗内壁.理由如下： 6.D7.8≤AB≤10 方法一：如图1，作出示意图，由题意知，AB= 8.解：(1)过点O作OH⊥BC于点H,四边形 AC=Bc=7em,折叠后CD=CE=号×10-5(cm),底 ABCD是平行四边形，.∠B=∠D=60°.AB=10,.OB= 面周长=号×10m=5m(cm),:DET=5mem,:DE= ∠B0I=30,M=号0B=多.在R△0BH中. AB器，△CDE△C1B,滤纸能 5 cm..DE=CD=CE 根据勾股定理，得OH=VBOB丽_5Y3,÷圆心0 2 紧贴此漏斗内壁. 到BC的距离为5V3 2 (2)分别过A,0两点作AE⊥CD,OF⊥CD,垂 足分别为点E、点F,AE∥OF,OF就是圆心O到 CD的距离.：四边形ABCD是平行四边形，AB∥ CD,∴AE=OF在Rt△ADE中，∠D=60°，∠DAE= 30,DB=子4D=受，根据勾股定理，得AB= 图1 图2 图3 第10题答图 VAD-D驱=Y)3m,0F=AE=22m,圆心到 2 方法二：由2m=6,得30只图2巾，m= 360R CD的距离OF为Y3m 2 02-18,图3中.京=号-分，a=10,a D 2,.滤纸能紧贴此漏斗内壁。 (2)由(1)知CD=DE=CE=5cm,∴.∠CDE=60°， 过点C作CF1DE于点F,则DF=方DE=号cm,在 R△CDF中，CF=VCDF=5cm,=号m7 2 第8题答图 停5Yx写25Xm).答：圆形 3 24 (3)0F=V3m,AB为⊙0的直径，且AB=10, 2 的体积是125y了mcm. 24 :当0F=5时，CD与O0相切于点E,即Ym=5, 第三十章直线与圆的位置关系 30.1直线与圆 m=10y了，：.当m=10y3时，CD与©0相切. 3 3 30.1.1直线与圆相离、相切、相交 (4)若⊙0与线段CD有两个公共点，则该圆和 【知识点】dkrd=rdrC 【例】解：作MC⊥ 线段CD相交，则5≤m<10y3 3 OA于点C,如图所示 9.B 则∠0CM=90°，，∠A0B= 30.12圆的切线（第一课时） 30°，0M=5cm,∴.MC= 【知识点1】垂直B 0 号0M=25cm,即圆心M 【知识点2】垂直 例题答图 1.解：PA与⊙O相切.理由如下：连接OA, 66