29.3 弧长和扇形面积 模块集训2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.3 弧长和扇形面积 模块集训2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．已知圆弧所在的圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧长为（    ） A． B． C． D． 2．若将一个圆分割成三个扇形，它们的面积比为，则最小的扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，以点为圆心，分别以，长为半径画弧交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A．8 B． C． D． 4．如图，圆锥的底面半径为5，高为12，则该圆锥的侧面积为（　　） A．30π B．60π C．65π D．90π 5．用半径为4，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（    ） A． B．1 C． D．4 6．一个圆柱形鱼缸，底面积是平方厘米，高是30厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径10厘米的圆锥形实心铸件完全浸没在水中，鱼缸的水面上升了2厘米，则这个圆锥的高是（   ）厘米． A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，是等腰直角三角形，，，把绕点A沿顺时针方向旋转45°后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过的部分（阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 8．如图是某圆弧形桥洞，水面跨径米，小明为了计算圆弧所在圆的半径，他在左侧水面处测得桥洞高米，则圆弧所在圆的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．如图，一块正方形的木板，边长为，将该木板在同一平面内沿水平线无滑动翻滚两次，则点从开始到结束所经过的路径长度为（   ） A． B． C． D． 10．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（    ） A．60° B．90° C．120° D．135° 二、填空题 11．如图，在边长为的正方形网格中，“叶状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则该图案的面积为___________． 12．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm． 13．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为______． 14．如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是_____cm2． 15．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是,,． (1)画出绕点C顺时针方向旋转后得到的，点D、E分别与点A、B对应； (2)在（1）的条件下，求线段所扫过的图形的面积．（结果保留π） 17．在如图所示的扇形中，，，扇形的弧长为，求扇形的面积． 18．如图，圆锥的轴截面是边长为的正三角形，P是母线的中点．求在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长． 19．一面墙上有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图，已知矩形的长为，宽为，求要打掉的墙体面积. 20．综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算： (1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； (2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C B C A A C C 1．【答案】B 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，解决本题的关键是熟练掌握弧长公式并正确计算． 直接应用弧长公式代值计算即可． 【详解】解：∵半径，圆心角，弧长公式， ∴ ． 故选 ：B． 2．【答案】A 【知识点】求圆心角 【分析】将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为，再由三个圆心角的度数比为，可求出最小的圆心角度数． 【详解】解：由题意可得，三个圆心角的和为， ∵它们的面积之比为， ∴三个圆心角的度数比为， ∴最小扇形的圆心角度数为：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆心角，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为． 3．【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算、求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，矩形的性质，解直角三角形等，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．根据，，即可求得，则，得到，阴影部分的面积为面积加上扇形的面积减去扇形的面积即可． 【详解】解：连接， 依题意的 ，， ． ． ． ． 在矩形中， 阴影部分的面积为： 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、求圆锥侧面积 【分析】根据勾股定理可求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】∵圆锥的底面半径是5，高为12， ∴侧面母线长为． ∴圆锥的侧面积． 故选C． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键． 5．【答案】B 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．设这个圆锥的底面圆半径为，利用弧长公式得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为， 根据题意得， 解得， 所以这个圆锥的底面圆半径为1． 故选：B 6．【答案】C 【知识点】求圆锥的高、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程实际应用．根据题意设这个圆锥的高是x厘米，再列出一元一次方程即可得到本题答案． 【详解】解：设这个圆锥的高是x厘米，根据题意得， 解得， 答：这个圆锥的高是6厘米． 故选：C． 7．【答案】A 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到，，再根据旋转的性质得，则点、C、A共线，利用线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积进行计算即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵绕点A按顺时针方向旋转45°后得到， ∴， ∴点B′、C、A共线， ∴线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质． 8．【答案】A 【知识点】求扇形半径 【分析】取圆心，连接，，，，根据圆周角定理得，设半径为米，则米，在中，根据勾股定理得，解得，圆弧所在圆的半径米． 【详解】解：如图，取圆心，连接 ， ， ， 设半径为米，则米， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得， 圆弧所在圆的半径米． 故选：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 9．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了弧长的计算：弧长 ， （为正整数）为弧所对的圆心角的度数，为圆的半径）．也考查了正方形和旋转的性质． 由题意得到B点经过的路径有两段，其中一段以为半径，圆心角为的弧长，另一段是以为半径，圆心角为的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：点经过的路径如图， 因为正方形的边长为， ∴， 所以B点所经过的路径长． 故选：C． 10．【答案】C 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】根据圆锥的底面半径得到圆锥的底面周长，也就是圆锥的侧面展开图的弧长，根据勾股定理得到圆锥的母线长，利用弧长公式可求得圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为2， ∴圆锥的底面周长为4π， ∵圆锥的高是8， ∴圆锥的母线长为， 设扇形的圆心角为n°， ∴， 解得n=120． 答：圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 11．【答案】 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查的知识点是轴对称和旋转对称性质、求其他不规则图形的面积，解题关键是由轴对称和旋转对称性质得出该不规则图形面积的求法． 由轴对称和旋转对称性质得到阴影部分面积（圆心角，半径为的扇形面积直角边长为的等腰直角三角形的面积）． 【详解】解：如图，连接，根据轴对称和旋转对称性质可知： ， ， ． 故答案为：． 12．【答案】900 【知识点】求扇形半径 【分析】由弧长公式l=得到R的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，=，解得，R=900（mm）． 答：这段圆弧所在圆的半径R是900 mm． 故答案是：900． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数． 13．【答案】 【知识点】圆周角定理、求弧长 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得出，再利用弧长公式即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 14．【答案】90π 【知识点】圆锥的实际问题、由三视图还原几何体 【分析】如图，首先得知这个几何体为一个圆锥，然后根据题意得出它的半径，高以及母线长，继而求出它的全面积． 【详解】解：由图可知这个几何体是个圆锥，且它的底面圆的直径是10cm，高12cm， 则底面圆的半径是5cm， 母线长==13cm， 它的全面积=侧面积+底面积=π×5×13+π×5×5=90π(cm2)． 故答案为：90π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，可先根据三视图确定这个几何体的形状，然后根据其表面积计算方法进行计算． 15．【答案】 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、圆锥侧面上最短路径问题 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 16．【答案】(1)作图见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、求图形旋转后扫过的面积、画旋转图形 【分析】本题主要考查了画旋转图形，求扇形的面积， 对于（1），将点A绕点C顺时针旋转得到点D，同理得到点E，再连接，可得答案； 对于（2）扫过的是以点C为圆心，以为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：∵绕点C顺时针方向旋转后得到的， ∴. 又∵， ∴线段所扫过的图形的面积． 17．【答案】 【知识点】求圆心角、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形的弧长，扇形的面积；由弧长公式可求，即可求解；掌握和是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ． 18．【答案】cm 【知识点】用勾股定理解三角形、圆锥侧面上最短路径问题 【分析】求出圆锥底面圆的周长，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC＝90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可． 【详解】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6π，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l＝6π， 设展开后的圆心角是n°，则， 解得：n＝180°， 则∠BAC＝×180°＝90°， AP＝AC＝3，AB＝6， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长， 如图， 由勾股定理得：BP＝， 答：在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长是3cm． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开﹣最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和空间想象能力，题目是一道具有代表性的题目，有一定的难度． 19．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积 【分析】本题主要考查扇形面积及垂径定理，连接交于点O，即为圆心，过圆心O作于点E，于点F， 由题意易得，然后根据勾股定理可求半径，进而可得劣弧及优弧的度数，最后问题可求解，熟练掌握扇形面积及垂径定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点O，即为圆心，过圆心O作于点E，于点F， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴优弧的度数为， ∴打掉墙体的面积为：， ∴要打掉的墙体面积为． 20．【答案】(1)（或） (2) 【知识点】求圆锥底面半径、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查圆锥的展开图，解直角三角形，掌握相关定义是解题的关键． （1）根据圆锥的展开图即可得到答案； （2）根据得到的长，在直角中，利用正弦定义得到，进而得到． 【详解】（1）解：由题可知，半圆的弧长等于圆锥的底面周长， 或． （2）解：， ， ， 解得：， 在直角中，， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $