5.1 认识二元一次方程组分层提升练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

5.1 认识二元一次方程组 分层提升练习2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 4．解是的方程组可能是（    ） A． B． C． D． 5．已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 6．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出7钱，会多2钱；每人出6钱，又会差3钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．晓丹老师为了奖励期中考试中本班成绩优异的学生，准备购买单价为6元的笔记本与单价为10元的钢笔两种奖品，共花了70元，则共有（   ）种不同的购买方案． A．5 B．4 C．3 D．2 8．如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在方程①，②，③，④中，任选两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则选择的两个方程是______．（填序号） 10．已知方程是关于，的二元一次方程，则______． 11．学校组织名同学参加挖渠植树劳动，其中负责挖渠人数是植树人数的倍少人，问挖渠和植树各多少人？设挖渠为人，植树人，根据题意列出方程组____________． 12．已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是______． 表 表2 13．如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为，则图①中阴影部分的周长与图②中阴影部分的周长的差是______．（用含的式子表示） 三、解答题 14．已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 15．在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标满足关于x、y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点的横、纵坐标满足方程组，点就是该方程组的关联点．若点为关于x、y的方程组的关联点，求a、b的值． 16．如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    17．材料阅读：对于一个四位自然数N，它的各数位上的数字互不相等且均不为0，将它的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数A，将它的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数B，若，则称该四位数N为“满分数”．如：四位数，∵，∴是“满分数”；四位数，∵，∴不是“满分数”．问题解答： (1)最小的“满分数”N为______； (2)若把一个“满分数”N的千位数字与个位数字交换后得到的新数记为，能被5整除，请求出满足条件的N的最大值． 18．根据题意设未知数，并列出方程或方程组（不必求解）： (1)刘老师在暑假开始时，给全班50名学生每人发了一封举办夏令营活动通知的信件，共需邮资43.60元．已知本市邮资为每封0.80元，外地邮资为每封1.20元．问：班级中有多少名学生家住本市，多少名学生家住外地？ (2)某校课外阅读小组组员订甲、乙两份杂志，其中甲杂志是月刊，每月一期定价为6.2元；乙杂志是双月刊，两个月一期定价为6.6元．每位组员都是其中一份杂志订半年，另一份杂志订全年．经统计，甲杂志订费为2418元，乙杂志订费为1089元．求这个课外阅读小组的人数．（解答这个问题应该如何设未知数？和同学讨论，说一下你的想法） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B B A D D A 1．【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，依据二元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可，解题的关键是掌握二元一次方程需满足的三个条件：首先是整式方程，方程中共含有两个未知数，所有含有未知数的项的次数都是． 【详解】解：由二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是的整式方程， 、是不等式，不是方程，不符合定义，不符合题意； 、是代数式，不是等式，不属于方程，不符合定义，不符合题意； 、中含有两个未知数、，含未知数的项次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，符合题意； 、中、的次数为，不符合“含未知数的项次数为”的要求，不符合题意； 故选：． 2．【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】将已知解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解， ∴， ∴． 3．【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【详解】解：A选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项中项的次数为2，不符合题意． 4．【答案】B 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的满足每个方程式解题关键．将分别代入方程组，满足的方程组即为答案． 【详解】解：A、把代入方程组得：，不符合题意； B、把代入方程组得：，符合题意； C、把代入方程组得：，不符合题意； D、把代入方程组得：，不符合题意； 故选：B． 5．【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键． 将代入得到，然后求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴ ∴得，． 故选：A． 6．【答案】D 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意找准等量关系是解题的关键． 由等量关系“每人出7钱时总出钱数比物价多2钱”和“每人出6钱时物价比总出钱数多3钱”列出方程组即可． 【详解】解：设合伙人数为人，物价为钱， 由每人出7钱，会多2钱，即； 每人出6钱，又会差3钱，即． 所以可列方程组为． 故选D． 7．【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程求解是解题的关键． 设购买笔记本为x本，钢笔为y支，则根据“购买单价为6元的笔记本与单价为10元的钢笔两种奖品，共花了70元”列出方程并解答即可． 【详解】解：设购买了笔记本x本，钢笔y支， 根据题意得出：， ∴， ∵x，y为正整数， ∴是正整数， ∴x一定要是5的倍数， ∴当时，， 当时，， ∴有两种购买方案：购买笔记本5本，钢笔4支或购买笔记本10本，钢笔1支； 故选D． 8．【答案】A 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 【详解】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ； 垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即； 综上，符合条件的二元一次方程组为， 故选：． 9．【答案】②④ 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将、分别代入每个方程，判断是否符合方程即可得出答案． 【详解】解：当、时， ①； ②； ③； ④； 所以是方程组的解， 故答案为：②④． 10．【答案】8 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，代数式求值，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此列式求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 11．【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键以人数和挖渠和植树的人的数量关系列方程组求解． 设x人挖渠，y人植树，根据41名同学参加挖渠植树劳动，其中负责挖渠人数比植树人数的2倍少1人，可列出方程组． 【详解】解：设x人挖渠，y人植树， 根据题意得． 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：由表可知，既是方程的解，又是方程的解， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】列代数式、整式的加减运算、根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组求得图③的长方形的长和宽，再计算①②图形中阴影部分的周长之差 【详解】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 由图①可知 解得： 由图②可知： 设图①的阴影部分周长为 ，设图②的阴影部分周长为 故答案为 ： 【点睛】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减，用含的代数式表示出小长方形的长和宽是解题的关键． 14．【答案】(1) (2)不唯一， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解得定义，读懂题意，掌握二元一次方程解的定义是解决问题的关键． （1）根据二元一次方程解的定义代入求解即可得到答案； （2）根据二元一次方程的解的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 是二元一次方程的解， 将代入，得； （2）解：以为解的二元一次方程不唯一； 比如的解也是． 15．【答案】a，b的值分别为3，0 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组求解，准确的计算是解题的关键． 根据关联点的定义，把代入方程组中，即可求解． 【详解】解：由题意得，把代入方程组中， 得，， 解得． 16．【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． 17．【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减的应用、二元一次方程的解 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握新定义，掌握“满分数”的定义是解题的关键． （1）设“满分数”N为，根据“满分数”的定义，求出最小的“满分数”． （2）根据题意，可得，则，再根据 能被5整除，得出当a最大时，“满分数”最大，进而求出N的最大值． 【详解】（1）解：设“满分数”N为，则， 由题意可知，“满分数”各数位上的数字互不相等且均不为0， 当，时， ∵， ∴， ∴，即， ∴，不合题意； 当，时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴最小的“满分数”N为． 故答案为： （2）解：根据题意，若把一个“满分数”的千位数字与个位数字交换后得到的新数记为， ∴， ∴ ， ∴， ∵ 能被5整除， ∴ 能被5整除， ∴ 为整数． ∵，a、d为正整数， ∵， ∴当a为最大时，N的值最大， 当时， 为整数，且，则， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴当时， 为整数，且，则， ∴， ∴， ∴， ∴“满分数”N的最大值为． 18．【答案】(1)设班级中有名学生家住本市，名学生家住外地，所列方程组为（答案不唯一） (2)设甲订全年、乙订半年的有人，甲订半年、乙订全年的有人，所列方程组为，小组总人数为（答案不唯一） 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】（1）两个等量关系：①本市学生人数＋外地学生人数＝总人数50；②本市信件总邮资＋外地信件总邮资＝总邮资43.60元，据此设未知数列二元一次方程组； （2）设两类人数分别为、，小组总人数，根据甲总订费、乙总订费列方程组． 【详解】（1）解：设家住本市学生名，家住外地学生名， 根据总人数：， 根据总邮资：本市每封0.8元、外地每封1.2元，， 可列方程组： ． （2）解：设甲订全年、乙订半年的有人，甲订半年、乙订全年的有人， 甲杂志费用：甲全年：元/人，甲半年：元/人， 总甲费： ， 乙杂志费用：乙半年：元/人，乙全年：元/人，总乙费： ， 列方程组： ， 小组总人数为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $