5.1 认识二元一次方程组（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念到综合应用层层递进，适配新授课知识巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|二元一次方程（组）的认识及解的判断|单选、填空为主，夯实概念理解与基本运算，培养抽象能力| |B组|含参问题、错中求解|解答题形式，强化推理能力与问题分析，发展运算能力| |C组|同解方程、换元法|综合题型设计，提升创新意识与抽象思维，深化数学思维| |拓展|中考真题情境|情境化问题，链接实际应用，培养模型意识与应用能力|

分层作业 5.1 认识二元一次方程组 目 录 A组 巩固过关 题型01 二元一次方程的认识 题型02 二元一次方程的解 题型03 二元一次方程组的认识 题型04 二元一次方程组的解 题型05 方程组的解含参问题 题型06 错中求解问题 题型07 同解方程问题 题型08 列二元一次方程组 题型09 换元法解方程组 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二元一次方程的认识题型01 一、单选题 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 4．已知下列各式：①②③④⑤⑥．其中二元一次方程的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．下列方程中，是二元一次方程有（     ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二元一次方程的解题型02 一、单选题 1．若是关于x，y的方程的一个解，那么a的值是（     ） A． B．0 C．3 D．7 2．方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列四组数：①，②，③，④是方程的解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．下列各组数中，是二元一次方程的解的是（     ） A．， B．， C．， D．， 6．下列不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若是二元一次方程的一组解，则的值为____________． 8．如果是方程的一组解，那么代数式__________． 9．将方程改写成用含的式子表示的形式为________． 10．若是二元一次方程的一组解，则的值是______． 11．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，李老师让学生把长的彩绳截成和的两种彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费且两种不同规格彩绳都要截出来的前提下，你有________种不同的截法． 三、解答题 12．已知、是a的两个平方根，且是的一组解． (1)求a的值； (2)求的算术平方根． 13．已知关于，的二元一次方程． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解，试求出这组公共解． 14．解答下列各题： (1)已知二元一次方程，当时，求的值； (2)已知二元一次方程，当时，求的值； (3)结合（1）（2）的计算结果，直接写出方程组的解． 二元一次方程组的认识题型03 一、单选题 1．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（      ） A． B． C． D． 3．老师给小芳以下几个方程组： ①②③④⑤下列方程组是二元一次方程组的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 5．若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 6．下列说法中，正确的是（　　） A．是二元一次方程组 B．方程的解只有 C．方程的解必是方程组的解 D．由方程组可得出与之间关系是 二、填空题 7．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 三、解答题 8．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 二元一次方程组的解题型04 一、单选题 1．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 2．方程与下面一个方程组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 3．已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 4．在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 5．下列语句中正确的是（    ） A．是二元一次方程组 B．的解表示为， C．有无数个解 D．由两个二元一次方程组成的方程组一定是二元一次方程组 6．关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（     ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A． B． C． D． 7．已知二元一次方程组的解为，请问方程组的解是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．方程组的解的情况是_________． 9．在①②③中，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程组的解．（填序号） 三、解答题 10．解答下列各题： (1)已知二元一次方程，当时，求的值； (2)已知二元一次方程，当时，求的值； (3)结合（1）（2）的计算结果，直接写出方程组的解． 方程组的解含参问题题型05 一、单选题 1．若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 2．若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 4．“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．若方程组，则的值是_____． 6．关于x、y的方程组的解是，则的值是____________． 7．若是二元一次方程组的解，则的值是________． 8．在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”看成了“”，因而得到的解为，则_____________． 三、解答题 9．已知关于，的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解： ； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不论取任何值，方程总有一组固定解，请直接写出这组固定解． 10．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 错中求解问题题型06 一、单选题 1．已知关于x，y的二元一次方程组，小颖在解这个方程组时误将系数a前面的“”抄成了“”，解得，则的值为（   ） A．5 B．2 C．0 D．-1 2．解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 4．在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”看成了“”，因而得到的解为，则_____________． 三、解答题 5．甲、乙两人同时解方程组；甲看错了b，求得的解为；乙看错了a，求得的解为；你能求出原题中正确的a，b吗？ 6．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 7．解答下列各题： (1)的平方根为 ，的立方根为，c为的整数部分，求的算术平方根； (2)甲、乙两人同时解关于，的方程组，甲解对了，得，乙由于看错了，得方程组的解为，试求出原方程组中的，，的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 同解方程问题题型07 一、单选题 1．若二元一次方程组和解相同，则可通过解方程组（    ）求得这个解． A． B． C． D． 二、解答题 2．已知方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a，b的值． 3．若关于x，y的方程组与方程组的解相同． (1)求两个方程组的相同解； (2)求的值． 列二元一次方程组题型08 一、单选题 1．如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形．若大长方形的周长为28，设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．一副三角板按如图摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ） A． B． C． D． 3．如图1，甲、乙两张等宽的长方形纸片，长分别为a，b，如图2，把甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起，此时纸片总长为30．则关于a，b的方程组不正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，用15块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的宽为，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 5．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，的度数比的度数的两倍少，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 8．如图，将四边形中的一角折叠，折痕为，点落在点处，其中，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是___________． 换元法解方程组题型09 一、单选题 1．用换元法解方程组时，如设，则将原方程组可化为关于u和v的整式方程组（     ）． A．； B．； C．； D．． 二、填空题 2．用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组_______． 三、解答题 3．阅读探索 （1）知识积累 解方程组 解：设，，原方程组可变为， 解方程组，得 即 所以有 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高运用上述方法解方程组： 4．阅读题：解方程组 解：设，则原方程可化为 解得，即，所以 这种解方程组的方法叫换元法． (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于x，y的方程组的解是，请你直接写出关于x，y的方程组的解． 一、单选题 1．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 2．已知方程组的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．若是二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（     ） A． B． C． D． 4．若关于，的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（     ） A． B． C． D． 5．已知关于x，y的二元一次方程组，若，则k的值为（    ） A． B．0 C． D．1 6．观察表格数据，可知方程组的解为（     ） A． B． C． D． 7．中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人，那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行．假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为（     ） A． B． C． D． 8．“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 9．“圭表”是中国古代重要的天文观测仪器，由“圭”（水平尺）和“表”（垂直立杆）组成，用于测日影定节气，通常圭长比表长多5尺．某处圭表在夏至日正午测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺．设表长为尺，圭长为尺，根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 10．如果，是关于，的二元一次方程的一组解，那么的值为______________． 三、解答题 11．如果等式的x,y满足方程组，求的值． 12．若方程组与有公共解，求的值． 13．对于二元一次方程的解，若，则称为方程的“特征值”；若，则称为方程的“特征值”． (1)当时，求此时方程的“特征值”． (2)若“特征值”为3，求出满足条件的方程的解． (3)若满足“特征值”为的两个解为和，且，求的值． 14．若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为 ． (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 一、单选题 1．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 2．二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 3．明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文．甲匠日得三十文，乙匠日得二十文．甲、乙先后作工，凡二十二日而毕．问甲乙各作几日？”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱文．甲匠每日工钱是文，乙匠每日工钱是文．两人先后做工，共用天完成．问甲、乙各做工多少天？”设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为________． 5．已知关于，的方程，当时，写出与的数量关系式______；若无论为何值时，方程总有一组解为（其中是常数），则的值为_____． 三、解答题 6．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 7．定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 8．我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，，，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“幸福”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求的值． 9．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于，的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式： (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的方程组的解为，则______． 一、单选题 1．我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若方程组的解为，则表示的数是（     ） A． B． C．1 D．2 4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值为_____． 6．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为__________． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.1 认识二元一次方程组 目 录 A组 巩固过关 题型01 二元一次方程的认识 题型02 二元一次方程的解 题型03 二元一次方程组的认识 题型04 二元一次方程组的解 题型05 方程组的解含参问题 题型06 错中求解问题 题型07 同解方程问题 题型08 列二元一次方程组 题型09 换元法解方程组 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 二元一次方程的认识题型01 一、单选题 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按整式方程、未知数个数、含未知数项的次数的顺序逐一筛选． 【详解】解：选项中， 的分母含未知数，不是整式方程，故不符合要求； 选项、中，与均只含1个未知数，且中含未知数的项的最高次数为2，故不符合要求； 选项中，是整式方程，含2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程定义． 2．下列方程中，属于二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断方程是否为整式方程，再依次根据未知数个数、含未知数项的次数筛选符合条件的选项． 【详解】解：A. 是整式方程，含有2个未知数，且含未知数的项的次数均为1，属于二元一次方程； B. 不是整式方程，不属于二元一次方程； C. 含有3个未知数，不属于二元一次方程； D. 中含未知数的项的次数为2，不属于二元一次方程． 3．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的整式方程，根据二元一次方程的定义逐一验证选项即可． 【详解】解：对于选项A：“”项的次数为，不符合二元一次方程的定义，故A错误； 对于选项B：“”项的次数为，不符合二元一次方程的定义，故B错误； 对于选项C：符合二元一次方程的定义，故C正确； 对于选项D：是分式，不符合二元一次方程的定义，故D错误． 4．已知下列各式：①②③④⑤⑥．其中二元一次方程的个数是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有2个未知数，含未知数项的最高次数为1，逐个分析即可． 【详解】解：逐个判断各式子：① 不是等式，不属于方程，不符合要求； ② 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； ③ 中项的次数为2，不符合一次的要求，不符合； ④ 含有三个未知数，不符合二元的要求，不符合； ⑤ 是整式方程，只含两个未知数，且所有未知数项的最高次数为1，是二元一次方程； ⑥ 是整式方程，只含两个未知数，且所有未知数项的最高次数为1，是二元一次方程；因此符合要求的二元一次方程共2个． 5．下列方程中，是二元一次方程有（     ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断，统计符合条件的方程个数即可得到答案，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个不同未知数，含未知数的项的次数为1． 【详解】解：①只含有1个未知数，∴①不是二元一次方程； ②整理后为，满足二元一次方程的定义，∴②是二元一次方程； ③中不是整式，方程是分式方程，∴③不是二元一次方程； ④整理后为，满足二元一次方程的定义，∴④是二元一次方程； ⑤满足二元一次方程的定义，∴⑤是二元一次方程； ⑥中项的次数为2，不满足次数为1的要求，∴⑥不是二元一次方程； 综上，二元一次方程共有3个． 二元一次方程的解题型02 一、单选题 1．若是关于x，y的方程的一个解，那么a的值是（     ） A． B．0 C．3 D．7 【答案】D 【分析】将方程的解代入原方程，求解关于的一元一次方程． 【详解】解：将代入中，得 ， 解得． 2．方程的非负整数解的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，是非负整数， ∴，即，且是2的倍数， ∴，且为偶数， ∴的可能取值为0，2，4，6， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴非负整数解共有4个． 3．下列四组数：①，②，③，④是方程的解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义，将各组未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可． 【详解】解：分别将四组的值代入验证： ①，是方程的解； ②，不是方程的解； ③，是方程的解； ④，是方程的解； 综上，共有3组是方程的解． 4．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把长的彩绳截成或的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】设截成长的彩绳x根，截成长的彩绳y根，根据总长度为且不造成浪费，列出二元一次方程，结合x，y均为非负整数的隐含条件，找出所有符合要求的解，统计解的个数即可得到截法数量． 【详解】解：设截成长的彩绳x根，截成长的彩绳y根， 根据题意，得， ∵x、y都是非负整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，（不符合题意）， ∴一共有3种不同的截法． 5．下列各组数中，是二元一次方程的解的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：选项A：当，时，左边，不是方程的解； 选项B：当，时，左边右边，等式成立，是方程的解； 选项C：当，时，左边，不是方程的解； 选项D：当，时，左边，不是方程的解． 6．下列不是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项的x，y值代入原方程，若左右两边不相等，则该组值不是原方程的解． 【详解】解：对选项A，把代入左边得，左边右边，A是原方程的解； 对选项B，把代入左边得，左边右边，B是原方程的解； 对选项C，把代入左边得，左边右边，C是原方程的解； 对选项D，把代入左边得，左边右边，D不是原方程的解． 二、填空题 7．若是二元一次方程的一组解，则的值为____________． 【答案】 【分析】将代入二元一次方程，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， 将代入方程得， ． 8．如果是方程的一组解，那么代数式__________． 【答案】2026 【分析】先求出，再整体代入求出代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴， ∴． 9．将方程改写成用含的式子表示的形式为________． 【答案】 【分析】将看作已知数，移项整理即可求出； 【详解】解：移项得， 两边同除以，得． 10．若是二元一次方程的一组解，则的值是______． 【答案】3 【分析】将已知的方程的解代入原方程，解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴． 11．为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，李老师让学生把长的彩绳截成和的两种彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费且两种不同规格彩绳都要截出来的前提下，你有________种不同的截法． 【答案】 【分析】设截成的彩绳有根，截成的彩绳有根，根据题意得出，根据、都是正整数，求出正整数解即可得出答案． 【详解】解：设截成的彩绳有根，截成的彩绳有根， ∵把长的彩绳截成和的两种彩绳，不造成浪费且两种不同规格彩绳都要截出来， ∴， ∵、都是正整数， ∴或， ∴有种不同的截法． 三、解答题 12．已知、是a的两个平方根，且是的一组解． (1)求a的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根的定义和二元一次方程的解的定义计算； （2）根据算术平方根的定义计算． 【详解】（1）解：设的平方根为和， 则， 解得， ∴； （2）解：， ∴的算术平方根为． 13．已知关于，的二元一次方程． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解，试求出这组公共解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程的解代入方程中求解即可； （2）将原方程转化为，根据当每取一个不为零的值时所得方程都有一个公共解可得，，解之即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得. （2）解：， ． 当时，无论取何值，始终为2． 又∵当每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程有一组公共解， ∴，， ∴这组公共解为． 14．解答下列各题： (1)已知二元一次方程，当时，求的值； (2)已知二元一次方程，当时，求的值； (3)结合（1）（2）的计算结果，直接写出方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入二元一次方程，求解即可； （2）将代入二元一次方程，求解即可； （3）综合（1）（2），由二元一次方程组解的定义即可判断． 【详解】（1）解：对于二元一次方程，当时，，解得； （2）解：对于二元一次方程，当时，，解得； （3）解：， 由（1）知是方程①的一组解；由（2）知是方程②的一组解； 综上所述，是方程组的解． 二元一次方程组的认识题型03 一、单选题 1．在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项方程组共含三个未知数，不符合题意； B选项方程组共含两个未知数，两个方程均为整式方程，且所有含未知数的项的次数都是1，符合要求； C选项中项的次数为2，不符合题意； D选项第二个方程含，不是整式方程，不符合题意． 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程组需满足的条件：含有两个未知数，所有方程都是整式方程，未知数的最高次数为，根据条件逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程中未知数的最高次数是，不是二元一次方程组； B、方程组含有，，三个未知数，不是二元一次方程组； C、不是整式方程，不是二元一次方程组； D、方程组含有，两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数的最高次数为，符合二元一次方程组的定义． 3．老师给小芳以下几个方程组： ①②③④⑤下列方程组是二元一次方程组的有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：∵二元一次方程组需同时满足：方程组共含两个未知数，所有方程均为整式方程，所有未知数的最高次数为1， ① 符合所有条件，是二元一次方程组； ② 方程中的次数为2，不符合要求，不是二元一次方程组； ③ 方程组含三个未知数，不符合要求，不是二元一次方程组； ④ 符合所有条件，是二元一次方程组； ⑤ 符合所有条件，是二元一次方程组； ∴符合条件的二元一次方程组共3个. 4．若方程组是二元一次方程组，则“”可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：方程组总共含有两个未知数，每个方程都是未知数最高次数为1的整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，方程含未知数，方程组共有3个未知数，不符合要求，错误； B选项，方程仅含两个未知数，所有未知数次数都为1，是整式方程，符合要求，正确； C选项，方程中的次数为2，不符合要求，错误； D选项，方程中项的次数为2，不符合要求，错误． 5．若 是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 【答案】A 【详解】解：原方程组是关于x，y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组， 解得：且 m的值是． 6．下列说法中，正确的是（　　） A．是二元一次方程组 B．方程的解只有 C．方程的解必是方程组的解 D．由方程组可得出与之间关系是 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的相关概念，等式的性质；根据二元一次方程组的概念及解对各选项进行判断． 【详解】A、是二元二次方程组，故A选项错误． B、二元一次方程的解有无数个，故此项错误． C、方程组的解必是方程的解，故此项错误． D、， 得：，即，故此项正确． 故选：D． 二、填空题 7．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 三、解答题 8．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 二元一次方程组的解题型04 一、单选题 1．已知二元一次方程组的解是，则该方程组可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入各选项验证， 代入A选项的两个方程： ，与方程右边相等，成立； ，与方程右边相等，成立，符合题意； 代入B选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入C选项的，得，方程不成立，不符合题意； 代入D选项的，得，方程不成立，不符合题意． 2．方程与下面一个方程组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“方程组的解满足方程组中的每一个方程”，将已知解代入各选项中的方程，验证方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：将依次代入各选项的方程， A．左边，右边，，故此选项不符合题意； B．左边，右边，，故此选项不符合题意； C．左边，右边，，故此选项符合题意； D．左边，右边，，故此选项不符合题意． 3．已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵同时满足两个方程， ∴二元一次方程组的解是． 4．在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可通过化简方程组，根据两个方程系数的关系判断解的个数，两个一次方程对应未知数系数不成比例时，方程组只有一个解． 【详解】选项A：对于，将第二个方程两边同除以3，得，与第一个方程完全相同，因此方程组有无数个解，故A不符合要求； 选项B：对于，将第二个方程两边同除以2，得，与矛盾，因此方程组无解，故B不符合要求； 选项C：对于，将第一个方程两边同乘2，得，与矛盾，因此方程组无解，故C不符合要求； 选项D：对于，化简第二个方程得，两个方程未知数对应系数不成比例，联立可求得唯一解，因此方程组只有一个解，故D符合要求． 5．下列语句中正确的是（    ） A．是二元一次方程组 B．的解表示为， C．有无数个解 D．由两个二元一次方程组成的方程组一定是二元一次方程组 【答案】C 【分析】由二元一次方程的定义可判断A，D，根据二元一次方程组的解的含义与表示方法可判断B，C，从而可得答案． 【详解】解：不是二元一次方程组，故A不符合题意； 的解表示为，故B不符合题意； 有无数个解，表述正确，故C符合题意； 由两个二元一次方程组成的方程组不一定是二元一次方程组，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，二元一次方程组的解的表示方法，二元一次方程组的解的含义，熟记概念与二元一次方程组的解的含义是解本题的关键． 6．关于和的二元一次方程和的部分解分别如表、表所示，则关于和的二元一次方程组的解是（     ） 表1 x 0 1 2 表2 x 0 1 2 y y 4 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解”，分析表格中数据即可获得答案． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是同时满足两个方程的公共解， ∴对比表1与表2的对应值， 当时，两表的值均为， 即为方程组的解． 7．已知二元一次方程组的解为，请问方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组变形为，依此可得，从而求解． 【详解】解：方程组变形为， ∵二元一次方程组的解为， ∴， 解得．   故选：B． 二、填空题 8．方程组的解的情况是_________． 【答案】 无解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 通过比较两个方程即可得到结论． 【详解】解：对于方程组 ， 观察两个方程，左边均为 ，但右边分别为 和 ， 由于 ，因此方程组矛盾，无解． 故答案为：无解． 9．在①②③中，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程组的解．（填序号） 【答案】 ①③ ②③ ③ 【分析】本题考查二元一次方程组解的概念，明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值是解题的关键． 根据定义，分别把三组方程的解代入二元一次方程验证判定即可． 【详解】解：将代入方程成立，②代入得，方程不成立， 将代入方程成立，①代入，方程不成立， 将①②③分别代入，只有③能够使得方程组的等式成立． 故答案为：①③；②③；③． 三、解答题 10．解答下列各题： (1)已知二元一次方程，当时，求的值； (2)已知二元一次方程，当时，求的值； (3)结合（1）（2）的计算结果，直接写出方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入二元一次方程，求解即可； （2）将代入二元一次方程，求解即可； （3）综合（1）（2），由二元一次方程组解的定义即可判断． 【详解】（1）解：对于二元一次方程，当时，，解得； （2）解：对于二元一次方程，当时，，解得； （3）解：， 由（1）知是方程①的一组解；由（2）知是方程②的一组解； 综上所述，是方程组的解． 方程组的解含参问题题型05 一、单选题 1．若关于、的二元一次方程的解为则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 即， 解得． 2．若是关于，的二元一次方程组的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组的解代入方程组，可得关于，的方程组，然后解方程组求出，后，代入即可求解的值． 【详解】解：把代入，得， 解得 ． 3．小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得，则和代表的数分别是（     ） A．4和5 B．8和9 C．和9 D．和5 【答案】D 【分析】先将已知的代入第一个方程求出，即代表的数，再将和的值代入第二个方程求出代表的数，即可得到答案． 【详解】解： 把代入第一个方程得：， ， 即代表的数为 ， 把，代入第二个方程得： ，即代表的数为． 4．“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将待求解方程组整理为与已知解的方程组结构相同的形式，通过换元对应已知的解，进而求出的值． 【详解】解：令，，则原方程组可变形为， 方程组的解是， ，即， 解得． 二、填空题 5．若方程组，则的值是_____． 【答案】24 【详解】解：由可得， ∴ ． 6．关于x、y的方程组的解是，则的值是____________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，求出和的值，再代入所求式子计算算术平方根即可． 【详解】解：把代入原方程组，得 ， 解得：， 将代入，得：． 7．若是二元一次方程组的解，则的值是________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，解出、的值，再计算． 【详解】解：把代入方程组， 可得：， ①+②得：，解得． 将代入①式： ， ， ， ． 8．在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”看成了“”，因而得到的解为，则_____________． 【答案】 【分析】先把方程组的解代入看错的方程组，解方程组求出，即可求出的值． 【详解】解：把代入， 可得， 解得， ∴． 三、解答题 9．已知关于，的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解： ； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不论取任何值，方程总有一组固定解，请直接写出这组固定解． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可； （3）将原式进行变换后得出，即可求出这个固定解． 【详解】（1）方程的正整数解可为（或）． （2）联立 解得 代入第二个方程 得， 故的值为． （3）将方程 整理为． 为使该式对任意 成立，需满足， 解得 10．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”：__________． (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据“反对称二元一次方程”的定义作答即可； （2）先写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”，再结合二元一次方程的解得到关于m、n的二元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， 故答案为： （2）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为， ∵二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴，解得， ∴，． 错中求解问题题型06 一、单选题 1．已知关于x，y的二元一次方程组，小颖在解这个方程组时误将系数a前面的“”抄成了“”，解得，则的值为（   ） A．5 B．2 C．0 D．-1 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据小颖的错误操作，将解代入错误的方程组求出a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴， ∴． 故选A． 2．解方程组时，一学生把看错而得到，而正确的解是，那么的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先将两组解代入方程组中的第一个方程可得关于的方程组，解方程组可得的值，再将代入方程组中的第二个方程可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：由题意，将和代入方程得：， 解得， 将代入得：，解得， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． 3．小李、小张两位同学同时解方程组，小李解对了，得：，小张抄错了m，得：，则原方程组中a的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 把小李、小张计算结果代入方程，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a的值． 【详解】解：将、代入得： 得：， 把代入①得：， 解得：． 故选：B 二、填空题 4．在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”看成了“”，因而得到的解为，则_____________． 【答案】 【分析】先把方程组的解代入看错的方程组，解方程组求出，即可求出的值． 【详解】解：把代入， 可得， 解得， ∴． 三、解答题 5．甲、乙两人同时解方程组；甲看错了b，求得的解为；乙看错了a，求得的解为；你能求出原题中正确的a，b吗？ 【答案】能，， 【分析】此题考查了二元一次方程组的解．根据题意，把甲求得的解代入①，求出，把乙求得的解代入②，求出，即可得到答案． 【详解】解：能． 甲看错了b，把甲求得的解代入①， 得， 乙看错了a，把乙求得的解代入②， 得， 即，． 6．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 7．解答下列各题： (1)的平方根为 ，的立方根为，c为的整数部分，求的算术平方根； (2)甲、乙两人同时解关于，的方程组，甲解对了，得，乙由于看错了，得方程组的解为，试求出原方程组中的，，的值． 【答案】(1)2 (2)，， 【分析】（1）先根据平方根定义，立方根定义，无理数的估算方法，求出a、b、c的值，再代入求出的值，最后求出其算术平方根即可； （2）把甲的结果代入方程组求出的值，得到关于与的方程，将乙结果代入第二个方程得到与的方程，联立求出与的值即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为 ，的立方根为， ∴，， 解得：，， ∵，即， 又∵c为的整数部分， ∴， ∴， ∵， ∴的算术平方根为2； （2）解：把代入方程组得：， 解得：， 把代入方程组中第二个方程得：，即， 联立得：， 整理得：得：， 把代入②得：． 综上：，，． 同解方程问题题型07 一、单选题 1．若二元一次方程组和解相同，则可通过解方程组（    ）求得这个解． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程组同解，可知方程组的解同时满足四个方程，将两个已知方程组成方程组即可． 【详解】解：∵二元一次方程组和解相同，方程组的解同时满足这四个方程； ∴解方程组即可求出方程组的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了方程组同解问题，解题关键是明确方程组的解的意义，把已知方程组成方程组． 二、解答题 2．已知方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求a，b的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组；方程组的解； （1）根据题意得，解方程组，即可求解； （2）把代入得到关于a，b的方程组，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 ，得，③ ，得，解得． 将代入①中，得，解得， 所以这两个方程组的相同解为； （2）把代入 得 解得 3．若关于x，y的方程组与方程组的解相同． (1)求两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)1； 【分析】（1）将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立，求得方程组的解即可； （2）将方程组的解代入，求得关于a、b的二元一次方程组的解，再代入求值即可； 【详解】（1）解：两方程组化简可得，， ∵两方程组同解， ∴， ①式×2+②式得：7x=21， 解得：x=3， 代入①式得：y=1， ∴两个方程组的相同解为； （2）解：代入方程组可得： ， ①式-②式得：2a=-4， 解得：a=-2， 代入②式得：b=-5， ∴=； 【点睛】本题考查了由同解方程组确定字母取值：先将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立，求得方程组的解，然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于a、b的二元一次方程组，进而确定a、b的值． 列二元一次方程组题型08 一、单选题 1．如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形．若大长方形的周长为28，设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形的周长公式可得，即，再根据题意可得小长方形的长为其宽的3倍，据此列出方程组即可． 【详解】解：由题意得， ． 2．一副三角板按如图摆放，且的度数比的度数大，若设，，则可得到的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得，． 3．如图1，甲、乙两张等宽的长方形纸片，长分别为a，b，如图2，把甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起，此时纸片总长为30．则关于a，b的方程组不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意找出两个等量关系：一是重叠部分的长度相等，二是拼接后的总长度为30，据此列出方程或方程组进行判断即可． 【详解】解： ∵甲纸片长的与乙纸片长的叠合在一起， ∴重叠部分的长度为，也为，即 变形可得，即或，也可得 ∵此时纸片总长为30 ∴总长可表示为：甲未重叠部分+乙全长，即即或表示为：甲全长+乙未重叠部分，即即， 对于A，符合题意，正确； 对于B，中第二个方程由变形得到，正确； 对于C，中第二个方程与推导出的不符，错误； 对于D，两个方程分别表示总长的两种计算方式，联立可解出满足题意的，正确． 4．如图，用15块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，已知大长方形的宽为，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，观察可知小长方形墙砖的长等于宽的3倍，小长方形墙砖的长与其宽的2倍的和等于大长方形的宽，据此列方程组即可． 【详解】解：设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和， 由题意得，． 5．在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．图1所示的算筹图表示的是关于的方程组，则图2所示的算筹图表示的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，先要读懂材料所给出的用算筹表示二元一次方程组的方法是解答本题的关键． 由图1可知：前2个算筹为字母的系数，后2个，第一个是十位数字，第二个是个位数，竖的表示1，横的表示5，据此类比图1所示的算筹的表示方法解答即可． 【详解】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹表示的方程组：， 故选C． 6．如图，，的度数比的度数的两倍少，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直关系得到，即，再结合与的数量关系列方程求解． 本题主要考查了垂直的性质以及二元一次方程组的应用，根据垂直得到角的和为，再结合数量关系列方程组求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，， ∴． 又∵的度数比的度数的两倍少， ∴． 联立方程组， 将第二个方程代入第一个方程，得． 解得 ． 把代入，得，即 , 故选:B． 二、填空题 7．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形，找到合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：小长方形的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 8．如图，将四边形中的一角折叠，折痕为，点落在点处，其中，比大．设和的度数分别为和，那么和满足的方程组是___________． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，折叠的性质． 根据折叠的性质得到，进而根据“，比大”列方程组即可． 【详解】解：∵将四边形中的一角折叠，折痕为， ∴， ∵， ∴， ∵比大， ∴， 即． 故答案为：． 换元法解方程组题型09 一、单选题 1．用换元法解方程组时，如设，则将原方程组可化为关于u和v的整式方程组（     ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【详解】试题解析： 则可以转化为： 同理：可以转化为： 原方程组转化为整式方程组为： 故选B. 二、填空题 2．用换元法解方程组，若设，，则原方程组可化为方程组_______． 【答案】 【分析】根据题意，整体代入即可得出结果． 【详解】解：， 设x+y=u，x−y=v， 则原方程化为：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查代入消元法，理解题意是解题关键． 三、解答题 3．阅读探索 （1）知识积累 解方程组 解：设，，原方程组可变为， 解方程组，得 即 所以有 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高运用上述方法解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则原方程组可变为，解方程组得到，据此求解即可． 【详解】解：设，则原方程组可变为， 解得， ∴， ∴． 4．阅读题：解方程组 解：设，则原方程可化为 解得，即，所以 这种解方程组的方法叫换元法． (1)运用上述方法解方程组 (2)已知关于x，y的方程组的解是，请你直接写出关于x，y的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设方程组变形后求出解得到m与n的值， 进而求出x与y的值即可； （2）仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】（1）解：设则方程组可化为， 解得：，即， 所以； （2）解：根据题意得：，， 解得：． 【点睛】比题考查了解三元一-次方程组，解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键． 一、单选题 1．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】从二元一次方程“二元”“一次”的核心特征入手，列关于的关系式求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， 由得， 解得或， 由，得， ∴． 2．已知方程组的解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，利用加减消元法求出、的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】∵方程组的解为 ∴代入得 由得， 解得 由得， 解得 将，代入得 ． 3．若是二元一次方程组的解，则这个方程组可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足方程组中所有方程，因此将代入各选项验证即可． 【详解】解：把代入各选项逐一验证： 代入选项A，第一个方程左边右边， 第二个方程左边，故A错误； 代入选项B，第一个方程左边右边， 第二个方程左边，故B错误； 代入选项C，第一个方程左边右边， 第二个方程左边右边，两个方程都成立，故C正确； 代入选项D，第一个方程左边右边，故D错误． 4．若关于，的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足所有方程，因此将已知的解代入多项式，计算结果为的即为正确选项． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴将，代入各选项验证： 选项A，，不符合题意； 选项B，，不符合题意； 选项C，，符合题意； 选项D，，不符合题意． 5．已知关于x，y的二元一次方程组，若，则k的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的计算，通过观察方程组两个方程的特点，将两式相加可整理出含的式子，代入已知条件即可求出的值． 【详解】解：， 得： 提取公因式得 整理得， 解得． 6．观察表格数据，可知方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组解的定义，同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值就是方程组的解，只需观察表格找到两个方程中x取值相同y也相同的一组值即可． 【详解】∵二元一次方程组的解需要同时满足方程组中的两个方程， ∴需要找到对同一个x，两个方程对应同一个y的一组值， 观察表格可知，当时，方程对应的，方程对应的y也为， 所以方程组的解为． 7．中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人，那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行．假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住总人数、车辆数不变的特点，结合两种乘车方案列方程组即可． 【详解】解：设有个人，辆车． ∵每辆车坐3人，有2辆车空， ∴； ∵每辆车坐2人，有9人步行， ∴； ∴可得方程组． 8．“燕几”即宴几，是古代一种组合桌，由北宋进士黄伯思（字长睿）设计，他编写的《燕几图》是组合家具设计图册，也是益智玩具“七巧板”的萌芽．如图，给出了一款名为“屏山”的桌面组合方式，它由两张长桌、两张中桌和三张小桌组成一个长为，宽为的长方形．已知每张桌子的宽均相等，若设每张桌子的宽为，中桌的长为，根据题意，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意及图形列方程组即可． 【详解】解：设每张桌子的宽为，中桌的长为， 列方程组为． 9．“圭表”是中国古代重要的天文观测仪器，由“圭”（水平尺）和“表”（垂直立杆）组成，用于测日影定节气，通常圭长比表长多5尺．某处圭表在夏至日正午测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺．设表长为尺，圭长为尺，根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等量关系“通常圭长比表长多5尺”和“测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺”列出两个方程即可解答． 【详解】解：设表长为尺，圭长为尺， ∵通常圭长比表长多5尺， ∴； ∵某处圭表在夏至日正午测得影长为表长的，此时圭长比影长多9尺． ∴． 综上，． 二、填空题 10．如果，是关于，的二元一次方程的一组解，那么的值为______________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可； 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 三、解答题 11．如果等式的x,y满足方程组，求的值． 【答案】 【分析】由非负数的性质求得x与y的值，代入二元一次方程组求得m与n的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：由，得， 即，， 把,分别代入方程组，得， 解得：，， 当，时， ． 12．若方程组与有公共解，求的值． 【答案】 【分析】先把两个方程组中的有数字系数的方程联立组成新的方程组，求解得到、的值，再分别代入两个方程组的字母系数方程得到关于、的二元一次方程组求解得到、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：方程组与有公共解， 方程组的解也是方程组的解， 解方程组得， 把代入方程组，得， 解得， ． 13．对于二元一次方程的解，若，则称为方程的“特征值”；若，则称为方程的“特征值”． (1)当时，求此时方程的“特征值”． (2)若“特征值”为3，求出满足条件的方程的解． (3)若满足“特征值”为的两个解为和，且，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或 【分析】（1）因为已知，所以先代入二元一次方程求出对应的值，再计算的大小，根据特征值的定义判断特征值是还是； （2）首先分两种情况讨论：如果特征值3是，那么，代入方程求，再验证是否成立；如果特征值3是，那么，代入方程求，再验证是否成立，保留符合条件的解； （3）分两种情况讨论：如果是即，那么用表示出对应的，得到和与的关系，结合列方程求解，再验证此时是否满足；如果是即，那么用表示出对应的，得到和与的关系，结合与列方程求解，验证条件后保留符合的结果． 【详解】（1）解：当时，，此时，∴特征值为1． （2）解：当时，，此时，不合题意，舍去． 当时，，此时，所以解为. （3）解：①若两个解都满足，则， 代入方程得， ， ， ， ， 检验：当时， ，与前提矛盾，舍去 ②若两个解都满足，则， ， ， ， 检验：当时，， ，符合题意 ③若一个解满足，另一个解满足， 则一个解的“特征值”为，即，此时， 另一个解的“特征值”为，即， ， ， ， ， 检验：当时，第一个解， ，符合；第二个解， ，符合题意， 综上所述，的值为或． 14．若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为 ． (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题为新定义题型，考查二元一次方程的变形与二元一次方程的解的概念，解题核心是理解“相伴系数对”的定义，即把二元一次方程整理为（）的形式后，有序数对即为该方程的“相伴系数对”，再结合题干给定条件计算即可． （1）根据“相伴系数对”的定义，即可求解； （2）根据题意得出，进而“相伴系数对”的定义，得出二元一次方程； （3）根据方程的“相伴系数对”之和为，得出，化简即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得， 根据定义可得“相伴系数对”为． （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴方程为， ∵是该方程的一个解， 代入得， 整理得， 解得， ，符合题意 将代入 得， 整理为标准二元一次方程得． （3）解：对原方程 整理变形，移项得， 整理得， 即， ∵该方程的“相伴系数对”之和为， ∴， 化简左边得， ∴． ，符合题意. 一、单选题 1．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是根据题意，得到二元一次方程组． 根据题意可得，，即，代入二元一次方程可得，化简可得，根据题意可得，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得， 由题意可得，，解得，B选项符合题意． 2．二元一次方程的自然数解的对数有（   ）． A．2对 B．3对 C．4对 D．无数对 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．本题是求不定方程的自然数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有自然数值，再求出另一个未知数的值． 要求二元一次方程的自然数解，首先将方程做适当变形，根据两个未知数的取值范围，分析解的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴，共有4对自然数解． 故选：C． 3．明代《九章算法比类大全》记载：“今有甲乙二匠造屋，共得钱五百文．甲匠日得三十文，乙匠日得二十文．甲、乙先后作工，凡二十二日而毕．问甲乙各作几日？”其大意是：“现有甲、乙两位工匠合作建房，总共获得工钱文．甲匠每日工钱是文，乙匠每日工钱是文．两人先后做工，共用天完成．问甲、乙各做工多少天？”设甲匠做工天，乙匠做工天，根据题意，可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等量关系“总共获得工钱文”和“共用天完成”列出方程组即可． 【详解】解：设甲匠做工天，乙匠做工天，题目说明两人做工总用时为天， ∴可得第一个方程：． 又∵总工钱共文，甲每日工钱文，乙每日工钱文， ∴甲总工钱为，乙总工钱为，总工钱和为，可得第二个方程： ． ∴． 二、填空题 4．若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，可得的次数为，且的系数不为，据此求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，， 由得，解得， 由得， ∴． 5．已知关于，的方程，当时，写出与的数量关系式______；若无论为何值时，方程总有一组解为（其中是常数），则的值为_____． 【答案】 1 【分析】将代入关于，的方程中整理后可得x与a的数量关系式；再将代入该方程，然后根据题意列得关于b的方程，解方程即可． 【详解】解：将代入方程得， 将代入中得， 整理得：， 即， 关于的方程，无论为何值时，总有一组解为（其中是常数）， ∴， 解得：． 三、解答题 6．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【答案】 【分析】小刚看错了系数，但他的解仍然满足不含的方程①；小华没看错任何系数，他的解同时满足方程①和②．因此，我们可以将这两组解分别代入对应的方程，得到一个关于、、的三元一次方程组，解出、、的值后，再计算的平方根． 【详解】解：把代入①，得．③ 把代入①，得．④ ④③，得， 解得． 把代入③，得． 把代入②，得， 解得， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和三元一次方程组的解法，解题关键是理解“看错系数”的含义，即看错的系数不影响未看错的方程，从而将两组解代入正确的方程，建立新的方程组求解． 7．定义：我们把关于x，y的二元一次方程叫做方程（，n为正整数）的“n阶方程”． (1)方程的“2阶方程”为： ； (2)方程的“4阶方程”和的“1阶方程”有无数组相同的解，求k的值； (3)若是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解以及定义，解一元一次方程，难度较大，解题的关键是正确解一元一次方程． （1）根据“2阶方程”的定义即可求解； （2）先分别求出方程的“4阶方程”和的“1阶方程”，再根据有无数相同的解，列出新的关于k的方程求解即可； （3）先写出它的“3阶方程”，再根据方程解的定义得到，，再化简求出，即可写出方程的解，再将解代入，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，方程的“2阶方程”为：，即， 故答案为：； （2）解：方程的4阶方程为，即， 方程的1阶方程为，即 ∵两方程有无数相同的解 ∴两个方程可以看作同一个方程， ∴可变形为 ∴， 解得； （3）解：原方程为，其3阶方程为， ∵是关于x，y的方程与它的“3阶方程”构成的方程组的解， ∴将代入和， 则， 由①得，， 由②得，， ∴ 将代入 则， 解得 ∴ 将代入，则 ∴， ∴-． 8．我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，，，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“幸福”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求的值． 【答案】(1)不是 (2)2 (3)4 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可； （3）根据新定义，列出关于的方程组，求出的值，再解关于的方程组，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程中，， ∴方程不是“幸福”方程； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程， ∴， 解得； （3）解：∵关于x，y的“幸福”方程组是“幸福”方程组， ∴ ∴， ∴原方程组为，解得， ∴， ∴． 9．我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于，的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式． (1)填空：将写成矩阵形式： (2)若矩阵所对应的方程组的解为，求与的值； (3)若矩阵对应的方程组的解为，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先将原方程组变为标准形式，再根据题意写出矩阵形式即可； （2）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出a、b的值；． （3）根据矩阵写出对应的方程组，然后把方程组的解代入，即可求出，， 然后代入计算即可．． 【详解】（1）解：将原方程组整理为标准形式， 根据题中规定，写出矩阵形式为； （2）解：矩阵对应的二元一次方程组为， 该方程组的解为， 将解代入方程组得， 解得； （3）解：矩阵对应的二元一次方程组为 该方程组的解为， 将解代入方程组得， 整理得，， ∴． 一、单选题 1．我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，设买甜果x个，苦果y个，根据用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，列出方程组即可． 【详解】解：设甜果x个，苦果y个， ∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，故可列方程为： ∵甜果9个11文，苦果7个4文， ∴甜果每个单价为文，苦果每个单价为文， ∵总费用为999文，故可列方程为：； 故可列方程组：； 故选C． 2．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 3．若方程组的解为，则表示的数是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】解：∵方程组的解为， ∴． 4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两． 【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为， 故选：D． 二、填空题 5．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值等知识点，掌握二元一次的解的意义成为解题的关键 把代入得到关于a、b的二元一次方程组，求之可得a、b的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：把代入可得：，解得， ∴． 故答案为1． 6．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒斛、1个小桶可以盛酒斛．根据题意，可列方程组为__________． 【答案】 【分析】根据题中两个等量关系：5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛；1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，列出方程组即可． 【详解】由题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题，理解题意、找到等量关系并列出方程组是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $