5.1 认识二元一次方程组 梯度提升训练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

5.1 认识二元一次方程组 梯度提升训练2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程是二元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．在方程组，，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．以为解的方程组是（   ）． A． B． C． D． 5．已知方程组的解为，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 6．一群人去袁山公园坐小船游湖，若租用座的小船若干条，则有人没座位，若租用座小船则刚好坐满，但要多租条，若同时租两种或只租一种，使每条小船坐满且每人都有座位，则共有租船方案（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．如图，有正方形，，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图，若图，图中阴影部分的面积分别为，．下列说法正确的有（   ）个． 正方形和的面积和是；图中新的正方形的面积是；正方形和的面积差是；正方形的边长是．    A． B． C． D． 8．某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，整列火车完全在桥上的时间共．设火车的速度为 ，火车的长度为，则所列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解：__________．（只写一个） 10．篮球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得分，负一场得分，小明所在的球队在场比赛中得分，若设小明所在的球队胜场，负场，则可列出方程组为______． 11．已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是______． 表 表2 12．若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为_____． 13．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为________． 三、解答题 14．已知二元一次方程3x＋2y＝18． (1)用关于x的代数式表示y． (2)写出此方程的非负整数解． 15．小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 16．如图，一个大长方形由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的周长为，求图中每一个小长方形的面积．    17．某头部直播电商公司的“潮牌联名项目组”下设两个团队：甲团队原有50人，乙团队原有60人，因要紧急筹备一场“超级品牌日”直播，公司从外部调来了40名优秀实习生，全部分配到甲、乙两个团队．分配后甲团队的总人数比乙团队的总人数多10人．设分配到甲团队的人数为x人，分配到乙团队的人数为y人． (1)完成下列表格填空： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 根据题中的数量关系有：________． (2)求分配到甲团队、乙团队的人数各有多少人？ 18．阅读理解：若一个三位数（，b，，且a，b，c均为整数），，则称这个三位数m为“牛数”，比如：341，，则341为“牛数”，将三位数m的个位与百位交换位置得到新的三位数记为，并记，． (1)判断453和913是否为“牛数”，并说明理由； (2)已知m为“牛数”，当能被12整除时，求的最大值． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C D A C B B 1．【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，含有两个未知数且含未知数的项的次数均为1的整式方程是二元一次方程，逐项分析即可得出结果，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键 【详解】．解：A、中，在分母，不是整式，故不是二元一次方程，不符合题意； B、中，项次数为2，故不是二元一次方程，不符合题意； C、中，项次数为2，故不是二元一次方程，不符合题意； D、，和的次数均为1，符合二元一次方程的定义，故是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 2．【答案】A 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的定义；根据二元一次方程组的定义，需满足：①共含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成解答即可． 【详解】解：∵方程组含有两个未知数，且每个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组中，第一个方程不是整式方程，未知数次数不为1，不是二元一次方程组； 方程组含有两个未知数，且每个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组含有三个未知数，不是二元一次方程组； 方程组中，第一个方程为二次方程，不是一次方程，不是二元一次方程组； ∴二元一次方程组有2个． 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】将已知解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解， ∴， ∴． 4．【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】根据方程组的解的定义，将方程组的解代入各个选项中的方程组，判断其是否成立即可．本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的前提． 【详解】解：当，时， 则，，， 故是方程组的解． 故选：D． 5．【答案】A 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义，熟记方程组的解满足方程组中的两个方程是解本题的关键． 将代入得到，然后求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴ ∴得，． 故选：A． 6．【答案】C 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程的应用，设需租座的小船条，则需租座的小船条，利用一元一次方程求出人数，再设租座的小船条，座的小船条，可得二元一次方程，根据解方程即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出一元一次方程和二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设需租座的小船条，则需租座的小船条， 依题意得，， 解得， ∴人数， 设租座的小船条，座的小船条， 依题意得，， ∴， ∵均为非负整数， ∴当时， 当时，； 当时，； 当时，； ∴共有种租船方案， 故选：． 7．【答案】B 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用、根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用，数形结合，灵活应用平方差公式和完全平方公式进行变形是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，分别表示出图和图中阴影部分的面积，结合完全平方公式得到，，然后逐个说法利用完全平方公式和平方差公式进行变形计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分是边长为的正方形， ， ， ， 则， 图中阴影部分的面积为， ， 正方形和的面积和是，故不正确； 图中新的正方形的面积是，故不正确； 由知，，则正方形和的面积差是，故正确； 联立，解得，则正方形的边长是，故正确； 综上所述，正确的有，共个． 故选：B． 8．【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据火车过桥问题，从开始上桥到完全过桥，火车行驶距离为桥长加车长；完全在桥上时，火车行驶距离为桥长减车长. 利用速度、时间和距离关系列方程． 【详解】解：设火车的速度为，长度为， ∵ 从开始上桥到完全过桥用时，行驶距离为， ． ∵ 完全在桥上用时，行驶距离为， ． 因此，方程组为． 故选：B． 9．【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的整数解，求出时的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得， ∴二元一次方程的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一） 10．【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设小明所在的球队胜场，负场，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小明所在的球队胜场，负场， 由题意得，， 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：由表可知，既是方程的解，又是方程的解， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 12．【答案】1 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】二元一次方程需含有两个未知数、含未知数的项的次数为1、未知数的系数不为0的条件，列不等式与方程求解即可． 【详解】解：因为方程是关于，的二元一次方程，根据二元一次方程的定义可得：， 由，解得或， 由，解得， 综上，的值为1． 13．【答案】，， 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系.分三种情况找到等量关系，再列出二元一次方程组即可. 【详解】解：设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，就从右边长方形的宽60入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长＋一个小长方形的宽＝60.可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据2个小长方形的长等于1个小长方形的长加上3个小长方形的宽，一个小长方形的长＋一个小长方形的宽，可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据1个小长方形的长等于3个小长方形的宽，4个小长方形的宽，可得方程组； 故答案为：，， 14．【答案】(1)y＝ (2)非负整数解为，， 【知识点】二元一次方程的解 【分析】（1）先将含x的项移到等式右边，再两边都除以2即可得； （2）取x＝0，2，4，6分别得到y的值即可． 【详解】（1）解：∵3x＋2y＝18， ∴2y＝18−3x， ∴y＝； （2）解：当x＝0时，y＝9； 当x＝2时，y＝6； 当x＝4时，y＝3； 当x＝6时，y＝0 ∴非负整数解为，，． 【点睛】此题考查的是二元一次方程的解，能够用一个未知数表示另一个未知数是解决此题关键． 15．【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，设被遮住的y的系数为m，被遮住的x的系数为n，根据二元一次方程组的解为得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： 设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n， ∵ 是方程组的解， ∴ ， 解得 ， ∴原来的方程组为 ． 16．【答案】 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】由图形观察得到线段间的数量关系，设小长方形，构建方程组，求解进而求得小长方形面积； 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，由题意，得 ，变形得 解得 ∴小长方形的面积为． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用；由几何图形确定线段间数量关系构建方程是解题的关键． 17．【答案】(1)；； (2)新分配到甲团队的有人，新分配到乙团队的有人． 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可； （2）找出等量关系，列出二元一次方程组，并进行求解即可． 【详解】（1）解：完成表格如下： 人数/团队 甲 乙 原来人数/人 50 60 分配人数/人 分配后的人数/人 ∵该公司新增40名实习生分配到甲、乙两个团队， ∴； （2）解：根据题意得，， 解方程得 答：新分配到甲团队的有人，新分配到乙团队的有人． 18．【答案】(1) 453是“牛数”，913是“牛数”．理由如下： 对于三位数， ∵， ∴453是“牛数”； 对于三位数， ∵， ∴913是“牛数”； (2) 【知识点】有理数四则混合运算、二元一次方程的解 【分析】（1）根据“牛数”的定义判断即可， （2）设牛数，则，计算F(m)的值，根据能被12整除的已知条件，进行分类讨论，求出所有符合条件的m和，计算出的值，从中确定最大值即可． 【详解】（1）略 （2）解：，则， ∵， ∴． ∴ ∵a、b都是正整数，且， ， ， ∵能被12整除， ∴能被12整除． 当时，解得， 此时，； 当时，解得（舍去）； 当时，解得， 此时，，舍去； 当时，解得，， 此时，； 当时，解得， 此时，； 当时，解得， 此时，； 当时，解得（舍去）． 综上可知，的最大值为． 【点睛】本题考查了新定义的数，也考查了分类讨论的思想，学会理解新定义的数的运算，以及用代数式表示新定义的数，理解整除的定义等是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $