精品解析：陕西省西安高新第一中学2026-2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

九年级数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是正确的） 1. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，线段与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一座正方形城池北、西边正中处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处．若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ） A. 360步 B. 270步 C. 180步 D. 90步 7. 如图，已知，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都错 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，若，且，则_________． 10. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 11. 如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．其中点，，，处的读数分别为，，，，已知直尺的宽为，则中边上的高为________． 12. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使它与的相似比等于，则点的坐标为________． 13. 如图，在中，，，点从点出发，沿方向以4cm/s的速度向点运动；同时点从点出发，沿方向以3cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．当与相似时，的值为__________． 14. 如图，在中，点为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则________． 三．解答题（共9小题，计58分．解答应写出过程） 15. 计算，解不等式组： （1）； （2）． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 已知：在正方形中，是边上一定点，连接．请用尺规作图法，在上求作一点，使． 18. 在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为2：1． 19. 如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路．已知，，，，，请判断公路与是否平行，并说明理由． 20. 如图，直线，，分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且． （1）若，，，求的长； （2）点O是直线与的交点，若，，求的长． 21. 如图，在中，点在边上，，点在边上，．若，，，求的长． 22. 【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 23. 如图，在中，，点在上，连接，点在上，连接，，且． （1）求证：； （2）若点是的中点，求证：． 附加题： 24. 如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______． 25. 如图，，，，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________． 26. 问题探究 （1）如图①，是的角平分线，若，则的值为_________； （2）如图②，在中，，，点，在边上．若，求的度数； 问题解决 （3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道．根据种植需求，区域与区域的面积之比为，为了节约成本，还需使地下输水管道最短． 已知，，，，，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道最短时，四边形区域的面积．（结果精确到．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是正确的） 1. 如果，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，将拆分为，然后代入已知条件计算，由此求解即可． 【详解】解：，且， ． 故选：B． 2. 已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 3. 已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，和是对应中线，，， ∴两个三角形的相似比为， ∴对应角平分线的比为． 4. 如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比都等于相似比，据此可得答案． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 5. 如图，线段与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由图可知：， A、 ，不能判定与相似，故该选项符合题意； B、 根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故该选项不符合题意； C、 即，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故该选项不符合题意； D、根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故该选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，一座正方形城池北、西边正中处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处．若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ） A. 360步 B. 270步 C. 180步 D. 90步 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形城池的边长为步，利用正方形性质证明，利用相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设正方形城池的边长为步， 由题意知，步，步，步，， ， 由正方形性质可知，， ， ， ， 即，解得（舍负） ∴正方形城池的边长为步． 7. 如图，已知，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可证明，则可证明，，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲乙都对 D. 甲乙都错 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形以及相似多边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据相似三角形的判定可得甲对，根据相似多边形的判定可得乙错，由此即可求解． 【详解】解：甲：如图所示， ∴，， ∴，故甲对； 乙：如图所示，设， ∴，， ∵， ∴原矩形与新矩形不相似，故乙错； 综上所述，甲对，乙错， 故选：A ． 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知，若，且，则_________． 【答案】15 【解析】 【分析】根据题意求得，，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， 提取公因式得， 解得． 10. 中国纸扇历史悠久，古代工匠凭审美与经验形成了稳定的“东方黄金律”，设计中多处暗合黄金分割．如扇面高度（）与扇柄长度（）之比就符合黄金比，此时重心适中，持握舒适．若，则___________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义，确定线段与的数量关系，即较短线段与较长线段的比等于黄金比，代入的长度进行计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，与之比符合黄金比，且由图形可知为较长线段，为较短线段， 根据黄金分割的定义可得  因为  所以  11. 如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交，于点，．其中点，，，处的读数分别为，，，，已知直尺的宽为，则中边上的高为________． 【答案】6 【解析】 【分析】设中边上的高为h，则中边上的高为，求出的长，证明得到，据此求解即可． 【详解】解：设中边上的高为h， ∵直尺的宽为， ∴中边上的高为， 由题意得，，且， ∴， ∴， ∴， 解得（已检验是原方程的解）， ∴中边上的高为6． 12. 在平面直角坐标系中，顶点的坐标为．若以原点为位似中心，画的位似图形，使它与的相似比等于，则点的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】以原点为位似中心的位似变换，位似图形与原图形的相似比为时，原图形上一点的对应点坐标为或，分两种情况计算即可． 【详解】解：∵ 以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形可在原点同侧或异侧． ∴ 当与在原点同侧时，的横坐标为，纵坐标为，即． ∴ 当与在原点异侧时，的横坐标为，纵坐标为，即． 因此点的坐标为或． 13. 如图，在中，，，点从点出发，沿方向以4cm/s的速度向点运动；同时点从点出发，沿方向以3cm/s的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．当与相似时，的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论：①，②当，利用相似的性质，对应边对应成比例，列式计算即可． 【详解】解：由题意得，则， ∵， ∴， ①当时，有， 即：， 解得：； ②当时，有， 即：， 解得：或（舍去）， 综上所述，当x的值为或时，与相似． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 14. 如图，在中，点为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式推出，，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出，即可求解． 【详解】解：设， 在平行四边形中，点为上一点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 三．解答题（共9小题，计58分．解答应写出过程） 15. 计算，解不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵ ∴原式． 17. 已知：在正方形中，是边上一定点，连接．请用尺规作图法，在上求作一点，使． 【答案】见解析 【解析】 【分析】以点D为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，连接交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图所示：以点D为圆心，长为半径画弧，交于点F，分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，连接交于点P，点P即为所求． 由作图可知：， ∴， 在和中，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了过一点作已知直线的垂线，相似三角形的性质，解题的关键是尺规作图—作已知直线垂线的方法和步骤． 18. 在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为2：1． 【答案】（1） 点的位置如图所示，； （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似图形，掌握位似图形的性质，是解题的关键． （1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的对应坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路．已知，，，，，请判断公路与是否平行，并说明理由． 【答案】公路与平行． 理由：，，， ，，，． 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质得到，由平行线的判定定理即可得到结论． 【详解】解：公路与平行． 理由： ，，， ， ， ， ． 20. 如图，直线，，分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且． （1）若，，，求的长； （2）点O是直线与的交点，若，，求的长． 【答案】（1）3 （2）9 【解析】 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）由，得到，将已知条件代入比例式即可解答． （2）先推导出，证明，则，由求出，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，点在边上，，点在边上，．若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用“两组对应角相等的三角形相似”可得，从而，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ，即， ，，， ， ， ， ． 22. 【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【解析】 【分析】过点作的垂线，垂足为，交于点，若选择甲同学方案，利用平行，易得，从而，代入计算即可；若选择乙同学方案，利用平行，易得，，从而可得，代入计算即可． 【详解】解：若选择甲同学方案， 如图，过点作的垂线，垂足为，交于点， 由题可知，，米，米，米，米，米，米， ，， ， ， ，即， 米， 米， 则旗杆的高度为米． 若选择乙同学方案， 如图，过点作，垂足为，交于点， 由题可知，，米，厘米米，厘米米， ， ，， ，， ，即， 米， 则旗杆的高度为米． 23. 如图，在中，，点在上，连接，点在上，连接，，且． （1）求证：； （2）若点是的中点，求证：． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵点是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【解析】 【分析】（1）证明，得到，即； （2）根据线段中点的定义和（1）的结论可证明，则，据此证明，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 附加题： 24. 如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以及，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可． 【详解】解：连接AC交BD于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO=，AD//BC， ∴ 在Rt中，AB=4，BO=， ∵， ∴ 过点M作MG//BD交AC于点G， ∴, ∴ 又 ∴， ∴四边形MEOG是矩形， ∴ME=OG， 又 ∴ ∴ 在和中， , ∴≌ ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 25. 如图，，，，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由相似三角形性质得出，利用勾股定理求出和的长．证明，得出，从而证得．利用直角三角形斜边中线定理得出，根据垂线段最短可知当时最小，即最小． 【详解】解：， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 为中点， ， 在中，， ， ， ， 当时，最小，最小 ， ， 的最小值为． 26. 问题探究 （1）如图①，是的角平分线，若，则的值为_________； （2）如图②，在中，，，点，在边上．若，求的度数； 问题解决 （3）为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道．根据种植需求，区域与区域的面积之比为，为了节约成本，还需使地下输水管道最短． 已知，，，，，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道最短时，四边形区域的面积．（结果精确到．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为点，根据角平分线性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可； （2）证明，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先证明，得到，取的中点，连接，则，则点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，，故当点三点共线时，取得最小值，过点作交于点，然后由，求出，，再证明四边形是平行四边形，最后由求解． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为点， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∴点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，， ∵， ∴， ∴当点三点共线时（在线段上），取得最小值，如图： 过点作交于点， ∵， ∴， ∴此时， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， 答：当地下输水管道最短时，四边形区域的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $