陕西西安市第三中学2026-2027学年上学期九年级第一次阶段学情检测数学试卷

九年级数学 一．单选题（每题3分，共24分） 1．下列是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正五边形 3．下列命题中，真命题是（ ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 D．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是菱形 4．如图，延长正方形的边至点，使得连接交边于点，则的大小是（ ） A．度 B．度 C．度 D．度 5．根据表格，判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A． B． C． D． 6．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了个充电桩，第三个月新建了个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，，，．点从点出发，以的速度沿运动，同时点从点出发，以的速度沿运动．设点的运动时间为，在此运动过程中，当时，的值为（ ） A． B． C．或 D．或 8．如图，在正方形中，，为对角线上与，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的结论是（ ） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 二．填空题（每题3分，共18分） 9．已知，，，为成比例线段，其中，，，则________． 10．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为________． 11．如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为________． 12．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 13．如果，那么的值是________． 14．在边长为的菱形中，，点为中点，点、是对角线上两点，且．则四边形周长最小值为________． 三．解答题（共78分） 15．（16分）用适当的方法解下列方程 （1） （2）． （3） （4）． 16．（5分）如图，已知，平分，利用尺规作图法作正方形，使得点、分别在射线、上．（不写作法，保留作图痕迹） 17．（5分）已知线段，，满足，且，求，，的值． 18．（5分）如图，四边形四边形，求的长及的度数． 19．（5分）如图，点是菱形内一点，连接、、，，．求证：． 20．（7分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 21．（7分）喜迎国庆，西安市第三中学开展“摊”玩计划，万市大“集”校园创意市集活动，小华负责的摊位主题是：“探索科学·科技改变未来”．活动开展前，小华到科技园区了解到一款独特的交互功能智能摆件．根据以下素材，探索完成任务． 背景素材 素材 每个智能摆件的成本价为元，当售价为元时，平均每天可以售出件． 素材 当售价每降低元时，平均每天就能多售出件． 问题解决 任务 当降价元时，求平均每天销售智能摆件的利润？ 任务 当每天获得的利润达到元并且优惠力度最大时，求智能摆件的销售价？ 22．（8分）如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 23．（8分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： 的最小值是． （1）求代数式的最小值： （2）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 24．（12分）【问题提出】 如图①，已知在平行四边形中，对角线、相交于点，，． （1）若，则的长为________； （2）若点在线段上，过点作，垂足为，连接，若为等腰直角三角形，且，试探究、与之间存在的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，校园内有一块平行四边形花坛，，，花坛两条对角线、交于点，园丁要在对角线上选一处动点，从点向点修一段步道，再以为边长，在下方修建一块等边三角形小型花圃，现要规划路线，使得步道最短，请求出此时的占地面积． 学科网（北京）股份有限公司 $