精品解析：陕西 宝鸡市第一中学西关校区2026-2027学年度上学期九年级数学第一次学情自测试题

2026-2027学年第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，已知，点为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形的对角线、相交于点，下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. ，， C. ， D. ， 6. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（  ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 7. 如图，过矩形的对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接、，若．．则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 关于 x 的一元二次方程，下列命题： ①若 a 、c 异号，则方程必有两个不相等的实数根； ②若，则方程有一个根为； ③若，则方程的两根互为相反数； ④若，由根与系数的关系可得， ； 其中真命题有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 10. 如图，已知菱形，，，则的长为________． 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 12. 某“县超”大区赛的每两个县队之间都要进行两场比赛，共要比赛场，如果设有个队参加比赛，根据题意，可列出方程为________． 13. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，若，菱形的面积为，则的长为__________． 14. 如图，正方形的边长为8，点在上且，是上的一动点，则的最小值是__________． 三、计算题：（本大题共1小题，共16分．） 15. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题：（本题共10小题，共62分，解答应写出文字说明，证明过程要验算步骤．） 16. 已知m是方程的一个根，求代数式的值． 17. 如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 18. 如图，四边形是矩形，请用尺规作图法作菱形，使点分别落在边上．（保留作图痕迹，不写作法）． 19. 已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长． （1）k取何值时，方程存在两个实数根； （2）当矩形的对角线长为时，求k的值． 20. 如图，在菱形中，E、F分别是和上的点，且．求证：． 21. 2025年，明水古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好．据统计，2023年明水古城全年接待游客量为100万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到144万人次． （1）求2023年到2025年这两年明水古城游客量的年平均增长率． （2）古城某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销．如果每件降价1元，平均每天可多售出2件．在每件纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每件纪念品应降价多少元？ 22. 阅读与思考：著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1 因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2 求的最小值． 解：原式 ． ， ∴ ，即时，的值最小，最小值为． （1）用配方法将因式分解； （2）用配方法求：当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 23. 某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入．设矩形场地的宽为米． （1）请你写出的长为______米．（用含的代数式表示） （2）若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽． 24. 如图，是矩形边的中点，是边上一动点，，，垂足分别为，． （1）当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形是矩形？请予以证明； （2）在（1）中，动点运动到什么位置时，矩形变为正方形？为什么？ 25. 问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究 （2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决 （3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且为整式方程进行判断． 【详解】解：选项A：展开方程，得，最高次数为4，不是一元二次方程； 选项B：方程中，若，则不是二次方程，因此不满足“一定是一元二次方程”的条件； 选项C：方程满足一元二次方程的定义，即仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程； 选项D：方程中，为分式，不是整式方程，因此不符合条件． 故选：C ． 2. 如图所示，已知，点为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，点为的中点， ， ， ． 3. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，则，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴, 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握是菱形的性质解题的关键． 4. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到、的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 5. 如图，四边形的对角线、相交于点，下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. ，， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案． 【详解】解：A、∵，∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； B、∵，，，∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、∵，，∴四边形是正方形，故本选项符合题意； D、由，，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的判定，掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键． 6. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（  ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理可推出所得四边形对边平行且相等，判定为平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，可推出平行四边形有一个内角为直角，利用矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设菱形为，，，，分别为，，，的中点，连接对角线、， ，，，分别是菱形四边的中点， 是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， 同理可证：， ，即， 平行四边形是矩形． 7. 如图，过矩形的对角线的中点作，交边于点，交边于点，分别连接、，若．．则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形性质和垂直平分线性质证明四边形是菱形，利用三角函数求出的长，进而得出的长，结合选项判断可能是求或的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ，是的中点， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中，， ． 8. 关于 x 的一元二次方程，下列命题： ①若 a 、c 异号，则方程必有两个不相等的实数根； ②若，则方程有一个根为； ③若，则方程的两根互为相反数； ④若，由根与系数的关系可得， ； 其中真命题有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系，判断命题的真假，根据根的判别式，方程的解，根与系数的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵异号， ∴ ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根；故①为真命题； ∵， ∴方程有一个根为；故②为真命题； ∵， ∴方程的两根之和为， ∴方程的两根互为相反数，故③为真命题； 若，由根与系数的关系可得，；故④为真命题； 故选D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 若是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 10. 如图，已知菱形，，，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟记菱形的性质并推出等边三角形是解题的关键． 先根据菱形的性质以及已知条件证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：3． 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，以及根的判别式．由定义可知，；由方程有实数根可知，，进而求出的取值范围即可．解题关键是掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根． 【详解】解：是一元二次方程， ， ， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 的取值范围是且， 故答案为：且． 12. 某“县超”大区赛的每两个县队之间都要进行两场比赛，共要比赛场，如果设有个队参加比赛，根据题意，可列出方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有个队参加比赛，则每队需要和其他个队进行比赛，再根据两队之间都要进行两场比赛，共要比赛场，列方程即可． 【详解】解：设有个队参加比赛，则每队需要和其他个队进行比赛， 根据两队之间都要进行两场比赛，共要比赛场， 可列方程． 13. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，过点作于点，若，菱形的面积为，则的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出对角线、，再在中由勾股定理求边长；菱形面积还可以用底乘高，列方程求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，． ， ． ∵， ∴， ． ． 在中， ， ， ， ， 解得． 14. 如图，正方形的边长为8，点在上且，是上的一动点，则的最小值是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】利用正方形的对称性得到关于对称推出，把转化为，当三点共线时值最小，再借助勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，． ∵正方形是轴对称图形，点与点是以直线为对称轴的对称点， ∴， ∴． 连接交于点． 当点运动到点时，，即的最小值为的长． ∵四边形为正方形，且边长为8， ∴，， ∴，所以， ∴． 故的最小值是10． 三、计算题：（本大题共1小题，共16分．） 15. 用适当的方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）． （2）． （3）． （4）． 【解析】 【分析】（1）整理后使用直接开平方法求解； （2）用配方法解方程即可； （3）直接套用一元二次方程求根公式求解； （4）先利用平方差公式变形，然后因式分解解方程即可； 【小问1详解】 解： 两边同时除以，得． 直接开平方，得． 解得． 【小问2详解】 解： 移项，得． 配方，两边加，，即． 开平方，得． 解得． 【小问3详解】 解： ． ， 解得． 【小问4详解】 解： 或 ． 解得． 四、解答题：（本题共10小题，共62分，解答应写出文字说明，证明过程要验算步骤．） 16. 已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 17. 如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得，再结合四边形是矩形，证明，即可作答． 【详解】略 18. 如图，四边形是矩形，请用尺规作图法作菱形，使点分别落在边上．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 如图所示， 【解析】 【分析】根据菱形的判定和性质即可求解． 【详解】解：尺规作图法作菱形，即对角线为， ∴（1）连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点； （2）连接，交于点，交于点； （3）连接，，交于点， ∵是线段的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形， ∴四边形即为所求图形． 【点睛】本题主要考查尺规作图，矩形的性质，菱形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 19. 已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长． （1）k取何值时，方程存在两个实数根； （2）当矩形的对角线长为时，求k的值． 【答案】（1）k≥；（2）2 【解析】 【分析】（1）由于x的方程，由此得到其判别式是非负数，这样就可以确定k的取值范围； （2）设方程的两根为x1，x2，依题意x12+x22=52，又根据根与系数的关系可以得到x1+x2=k+1，x1•x2=k2+1，而x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2，这样利用这些等式变形即可求解． 【详解】解：（1）要使方程有两个实数根，必须△≥0， 即[-（k+1）]2-4（）≥0， 化简得：2k－3≥0， 解之得：k≥． （2）设方程的两根为x1，x2，则有 x1+x2=k+1,x1•x2=， x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=（k+1）2-2（）=． 解之得：k1＝2，k2＝－6． 由（1）可知，k＝－6时，方程无实数根，所以，只能取k＝2． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是首先利用判别式是非负数确定k的取值范围，然后利用根与系数的关系确定k的值． 20. 如图，在菱形中，E、F分别是和上的点，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，通过菱形的性质证明，从而证明得到是解题的关键． 【详解】略 21. 2025年，明水古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好．据统计，2023年明水古城全年接待游客量为100万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到144万人次． （1）求2023年到2025年这两年明水古城游客量的年平均增长率． （2）古城某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20件，每件盈利40元．在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销．如果每件降价1元，平均每天可多售出2件．在每件纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每件纪念品应降价多少元？ 【答案】（1）这两年古城游客量的年平均增长率 （2）每个纪念品应降价10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023年到2025年这两年明水古城游客量的年平均增长率为，根据2023年明水古城全年接待游客量为100万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到144万人次，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． （2）设每件纪念品应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件，利用盈利每件的销售利润日销售量，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设这两年明水古城游客量的年平均增长率为， 则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴这两年古城游客量的年平均增长率； 【小问2详解】 设每件纪念品应降价元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，每件纪念品盈利30元，符合题意； 当时，每件纪念品盈利20元，不符合题意； ∴每件纪念品应降价10元． 22. 阅读与思考：著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛应用． 一、配方法在因式分解中的应用 例1 因式分解：． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 二、配方法在求最值问题中的应用 例2 求的最小值． 解：原式 ． ， ∴ ，即时，的值最小，最小值为． （1）用配方法将因式分解； （2）用配方法求：当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 【答案】（1） （2）当时，代数式的最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据配方法，把二次三项式配成完全平方式与常数的差，再利用平方差公式分解因式； （2）先提取二次项系数，对含的部分配方，利用平方的非负性求出代数式的最小值． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． ， ， ． 23. 某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入．设矩形场地的宽为米． （1）请你写出的长为______米．（用含的代数式表示） （2）若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽． 【答案】（1） （2）宽为16米 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）利用栏杆的总长度减去3个矩形的宽，再加上2个小门的宽即可得； （2）根据矩形的面积公式建立方程，解一元二次方程，再根据操场东北角的一面最大长度为36米的围墙确定x的值，由此即可得解． 【小问1详解】 解：∵矩形场地的宽为x米， ∴米， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：宽为16米． 24. 如图，是矩形边的中点，是边上一动点，，，垂足分别为，． （1）当矩形的长与宽满足什么条件时，四边形是矩形？请予以证明； （2）在（1）中，动点运动到什么位置时，矩形变为正方形？为什么？ 【答案】（1）当时，四边形是矩形，证明见解析； （2）在（1）中，动点运动到中点时，矩形变为正方形，证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可知当时，满足题意，证明，可得，根据可得，则，即可求解； （2）要使四边形是正方形，则,则在的角平分线上，根据等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 当时，四边形是矩形 证明：四边形是矩形， ， 是矩形边的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； 当时，四边形是矩形， 【小问2详解】 动点运动到中点时，矩形变为正方形， 证明：由（1）可知， 是等腰直角三角形， 要使四边形是正方形，则, ，， 在的角平分线上， ， ， 动点运动到中点时，矩形变为正方形． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 25. 问题提出 （1）如图1，在矩形中，，点P是矩形内一动点，且，则的最小值为______； 问题探究 （2）如图2，在菱形中，，E，F分别是边上的两个动点，且，连接，求证：； 问题解决 （3）如图3，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，．根据要求，现计划给该花园修建两条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为点D，出口E、F分别设在边和边上，且，为了节省成本，要求绿色长廊之和最短，试求的最小值．（长廊宽度忽略不计） 【答案】（1）； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由四边形是矩形及勾股定理可得，根据得到点P在线段的垂直平分线上，则得到，则当点共线时取得最小值，即可得到答案； （2）证明，即可得到结论； （3）证明四边形是正方形，则，连接，证明，则，，延长到点G，使得，连接，，证明，得到当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长，由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴点P到的距离相等， ∴点P在线段的垂直平分线上， ∴ ∴， 当点共线时取得最小值， 此时， 即的最小值为； 故答案为： （2）略 （3）∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点G，使得，连接，， ∵， ∴点D和点G关于成轴对称， ∴， ∴， ∵， 当点C、E、G三点共线时，取得最小值，即是的长， 在中，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了正方形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当辅助线和数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $