精品解析：河北衡水市第十五中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027八年级上学期数学 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 嘉嘉不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块，她将第4块带去商店，就能配一块与原来相同的三角形玻璃，她依据的是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵、、块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的， ∴她依据的是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等， 故选：． 2. 下列分式是最简分式的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式，分式的基本性质，掌握最简分式，分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行约分，化出最简分式即可进行判断． 【详解】解：选项A中，，不能约分，故选项A符合题意； 选项B中，，故选项B不符合题意； 选项C中，，故选项C不符合题意； 选项D中，，故选项D不符合题意． 故选：A． 3. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则（ ）． A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用网格证明，得出对应角，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 可知：，，， ∴， ∴， 则． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键． 4. 已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用作差法比较两个分式的大小，作差法比较大小的方法是：如果，那么；如果，那么；如果，那么． 根据可得，从而得到P最大，然后用作差法比较的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴P最大； ， ∴， ∴， 故选D． 5. 如图，∠ABC＝∠DCB，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ） A. AB＝CD B. AC＝DB C. ∠A＝∠D D. ∠ABE＝∠DCE 【答案】B 【解析】 【分析】全等三角形的判定方法有SAS，AAS，根据定理逐个判断即可． 【详解】已知在和中，，， A．∵，由，可证得，故本选项不符合题意； B．∵， 由，无法证得，故本选项符合题意； C．∵， 由，可证得，故本选项不符合题意． D．∵，， ∴， 由，可证得，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 6. 若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，熟练掌握其运算方法是解题的关键．先去分母，整理得到，那么可知，然后解二元一次方程组即可． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， ， ， 故选：B． 7. 题目：如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上运动速度为，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P，Q运动到某处时，有与全等，求相应的x，t的值，其答案为：丽丽的答案：；轩轩的答案；笑笑的答案：，则下列说法正确的是（　　） A. 只有丽丽的答案正确 B. 轩轩和笑笑的答案合在一起才完整 C. 丽丽与轩轩的答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 【答案】C 【解析】 【分析】分，两种情况进行讨论，求出x、t的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：，，， 当时，，， ∴， 解得：； 当时，，， ∴， 解得：； 综上分析可知，丽丽与轩轩的答案合在一起才完整，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟记全等三角形的性质，并注意分类讨论． 8. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容： 如图，已知，，，，求的度数．（　　） 解：在和中：（已知），（已知），， ，（全等三角形的___________◇___________相等）． ，， ． ． A. ◇代表对应边 B. ※代表 C. @代表 D. 代表 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质补充求解过程，推出各符号分别表示的对象并判断，即可解题． 【详解】解：在和中：（已知），（已知），， ，（全等三角形的对应角相等）． ，， ． ． 故可得◇代表对应角，※代表，@代表，代表． 9. 已知关于的方程无解，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式方程的解法步骤，结合分式方程无解列式求解即可得到答案． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得， ， 关于的方程无解， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查根据分式方程解得情况求参数，熟练掌握分式方程的解法是解决问题的关键． 10. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断． 【详解】解：A.由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； B.由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等， 故本选项不符合题意； C. 如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE， ∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE， ∴∠FEC＝∠BDE， 所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3， 所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意； D. 如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE， ∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE， ∴∠FEC＝∠BDE， ∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C， ∴△BDE≌△CEF， 所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意； 由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形， 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意三角形边和角的对应关系是关键． 11. 已知关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 25 B. 28 C. 30 D. 33 【答案】B 【解析】 【详解】解：解分式方程， 去分母得， 解得， ∵方程的解为正数，且分母不为0， ∴且， 即且， 解不等式组， 由得， 由得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 综上，且， 满足条件的整数为3，4，6，7，8，和为． 12. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（13-15每小题3分，16题4分，共13分） 13. 已知，则的值是________ 【答案】## 【解析】 【分析】利用整体代入法，对所求分式变形，结合完全平方公式计算即可，无需单独求解的值． 【详解】解：先求所求分式的倒数：， 根据完全平方公式变形得：， 将代入得：， 因此， 两边取倒数得：． 14. 如图，在中，，，D为线段上一动点，连结，将绕点A 顺时针旋转至，交直线于点F，若则_____ 【答案】6 【解析】 【分析】过点E作于点G，证明，得到，；再证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点E作于点G， ∴， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 15. 在中，是边上的中线，，若的长为整数，的长为___________ 【答案】1或2 【解析】 【分析】延长到点E，使得，连接，证明，，据此求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由三角形三边的关系可得， ∴，即， ∴， ∵的长为整数， ∴的长为1或2． 16. 已知： ，，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． （1）如图1，线段之间的数量关系是___________________； （2）如图2，，则阴影部分的面积_______________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）一线三垂直模型中可证，得，故 ； （2）同理可证，，再根据 求出，结合三角形面积公式求解． 【详解】解：（1） ，，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 故； （2），，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 则阴影部分的面积为． 三、解答题（17-24题共71分） 17. 有甲乙两名采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料，两次购买饲料价格分别为m元/千克和n元/千克，且m≠n，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料. (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？(用字母m、n表示) (2)谁的购货方式更合算？ 【答案】（1），（2）乙的购货方式更合算 【解析】 【分析】⑴两次购买价格不同，m≠n，根据购买饲料的平均单价等于总价格除以购买的饲料总价，列出甲、乙所购饲料的平均单价的代数式，化简即可. ⑵由⑴化简后的代数式，可得甲乙平均单价之差的表达式，化简并将分子转化为完全平方式，根据完全平方式的非负性，判断代数式的正负，可得甲的平均单价高，所以乙更合适. 【详解】（1）解：甲两次购买饲料的平均单价为 ， 乙两次购买饲料的平均单价为  （2）解：甲、乙两次购买饲料的平均单价的差是： ∵m、n是正数，且m≠n ∴＞0， 即 ＞， ∴乙的购货方式更合算． 【点睛】本题主要考查了分式的化简和完全平方公式. 18. 复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用字母A代替了原题目的一部分： （1）求代数式A，并将其化简； （2）当时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据被除式=商×除式，被减式=差+减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算，即可解答； (2)利用(1)的结论可得，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答． 【小问1详解】 ．解：由题意得： 【小问2详解】 解：当时，， 去分母，得， 解这个整式方程，得 经检验，是原分式方程的解， 故当时，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19. 证明：角平分线上的点到角两边的距离相等 （1）按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用数学语言补全内容，并写出证明过程） 已知：如图1，平分，O为上任意一点，① ，，求证：② ③ 证明： （2）写出以上命题的逆命题④ （3）如图2，若，，，则⑤ ， 四边形面积⑥ 【答案】（1）已知：如图1，平分，O为上任意一点，，，求证：． 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）到角两边距离相等的点在该角的平分线上 （3）2；32 【解析】 【分析】（1）根据题意补充已知，再证明，即可证明． （2）把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可； （3）证明，得到，，再求出的长，证明，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 20. 某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务． （1）求原计划每小时播种多少万平方米？ （2）若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？ 【答案】（1）原计划每小时播种8万平方米 （2）甲播种机至少要播种20小时 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验． （1）设原计划每小时播种万平方米，根据题意列出方程解答即可; （2）设甲播种机播种小时，根据题意列出不等式解答即可． 【小问1详解】 解：设原计划每小时播种x万平方米， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解， 答：原计划每小时播种8万平方米． 【小问2详解】 解：设甲播种机播种a小时， 则乙播种机播种小时， 根据题意得 解得 答：甲播种机至少要播种20小时． 21. 如图，点在的边上，且，平分交于， 交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的周长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ； （2）10 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，由角平分线的定义得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，由线段的和差得到，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ， ， 的周长． 22. 发现：（1）；（2）；（3）… 尝试：直接写出第n个式子____________________________；（用含n的代数式表示） 论证：请证明你在“尝试”中猜想的等式成立； 应用：请利用上述规律解方程： 【答案】尝试：； 论证：右边左边， ∴； 应用：原方程无解 【解析】 【分析】尝试：根据所给式子可发现规律，得出第n个式子； 论证：证明右边等于左边即可； 应用：运用上述规律解方程即可． 【详解】尝试：∵（1）；（2）；（3）… ∴第n个式子为：， 故答案为：； 论证：略 应用：解方程： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 经检验：当时，或， 所以，原方程无解 【点睛】本题主要考查了数字规律，分式运算以及解分式方程，正确找出规律是解答本题的关键． 23. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1） （2） 仍成立，理由：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3） ，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 24. 阅读下列素材，完成任务． 如何设计水果的购进方案 素材1 某水果店计划用9600元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售，已知“左优红”的进价比“晨香”高4元/千克，用1800元能购进的“左优红”和用1200元能购进的“晨香”一样多． 素材2 根据该水果店所定的售价，每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄利润的1.25倍，同样获得120元的利润，需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的“左优红”葡萄多3千克． 问题解决 任务1 确定进价：求两种葡萄每千克的进价； 任务2 确定利润：求两种葡萄每千克的利润； 任务3 确定购进方案：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄多少千克？ 【答案】任务1：“左优红”葡萄的进价为12元/千克，“晨香”葡萄的进价为8元/千克； 任务2：“左优红”葡萄的利润为10元/千克，“晨香”葡萄的利润为8元/千克； 任务3：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄300千克． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，寻找等量关系或不等关系是解题的关键； （1）设“左优红”葡萄的进价为元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可； （2）设“晨香”葡萄的利润为元/千克，根据题意，列分式方程，解方程即可； （3）设购进“左优红”葡萄千克，根据题意，列不等式，解不等式即可． 【详解】解：任务1：设“左优红”葡萄的进价为元/千克，则“晨香”葡萄的进价为元/千克． 由题意，得， 解得，经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则． 答：“左优红”葡萄的进价为12元/千克，“晨香”葡萄的进价为8元/千克． 任务2：设“晨香”葡萄的利润为元/千克，则“左优红”葡萄的利润为元/千克． 由题意，得，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，则． 答：“左优红”葡萄的利润为10元/千克，“晨香”葡萄的利润为8元/千克． 任务3：设购进“左优红”葡萄千克，购进“晨香”葡萄千克， 由题意，得， ， 若要使利润不低于9000元，则，即， 解得， 的最大值为300． 答：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄300千克． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027八年级上学期数学 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 嘉嘉不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块，她将第4块带去商店，就能配一块与原来相同的三角形玻璃，她依据的是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2. 下列分式是最简分式的（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则（ ）． A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 4. 已知，，，，则P、Q、R的大小关系是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，∠ABC＝∠DCB，添加下列条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ） A. AB＝CD B. AC＝DB C. ∠A＝∠D D. ∠ABE＝∠DCE 6. 若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 题目：如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上运动速度为，它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P，Q运动到某处时，有与全等，求相应的x，t的值，其答案为：丽丽的答案：；轩轩的答案；笑笑的答案：，则下列说法正确的是（　　） A. 只有丽丽的答案正确 B. 轩轩和笑笑的答案合在一起才完整 C. 丽丽与轩轩的答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整 8. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容： 如图，已知，，，，求的度数．（　　） 解：在和中：（已知），（已知），， ，（全等三角形的___________◇___________相等）． ，， ． ． A. ◇代表对应边 B. ※代表 C. @代表 D. 代表 9. 已知关于的方程无解，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 不存在 10. 如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是( ) A. B. C. D. 11. 已知关于x的分式方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 25 B. 28 C. 30 D. 33 12. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（13-15每小题3分，16题4分，共13分） 13. 已知，则的值是________ 14. 如图，在中，，，D为线段上一动点，连结，将绕点A 顺时针旋转至，交直线于点F，若则_____ 15. 在中，是边上的中线，，若的长为整数，的长为___________ 16. 已知： ，，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． （1）如图1，线段之间的数量关系是___________________； （2）如图2，，则阴影部分的面积_______________ 三、解答题（17-24题共71分） 17. 有甲乙两名采购员去同一家饲料公司分别购买两次饲料，两次购买饲料价格分别为m元/千克和n元/千克，且m≠n，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料. (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？(用字母m、n表示) (2)谁的购货方式更合算？ 18. 复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用字母A代替了原题目的一部分： （1）求代数式A，并将其化简； （2）当时，求x的值． 19. 证明：角平分线上的点到角两边的距离相等 （1）按下列步骤证明上述命题（根据所画图形，用数学语言补全内容，并写出证明过程） 已知：如图1，平分，O为上任意一点，① ，，求证：② ③ 证明： （2）写出以上命题的逆命题④ （3）如图2，若，，，则⑤ ， 四边形面积⑥ 20. 某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务． （1）求原计划每小时播种多少万平方米？ （2）若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？ 21. 如图，点在的边上，且，平分交于， 交于点． （1）求证：； （2）若，，，求的周长． 22. 发现：（1）；（2）；（3）… 尝试：直接写出第n个式子____________________________；（用含n的代数式表示） 论证：请证明你在“尝试”中猜想的等式成立； 应用：请利用上述规律解方程： 23. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 24. 阅读下列素材，完成任务． 如何设计水果的购进方案 素材1 某水果店计划用9600元购进“左优红”和“晨香”两种葡萄进行销售，已知“左优红”的进价比“晨香”高4元/千克，用1800元能购进的“左优红”和用1200元能购进的“晨香”一样多． 素材2 根据该水果店所定的售价，每千克“左优红”葡萄的利润是每千克“晨香”葡萄利润的1.25倍，同样获得120元的利润，需要出售的“晨香”葡萄比需要出售的“左优红”葡萄多3千克． 问题解决 任务1 确定进价：求两种葡萄每千克的进价； 任务2 确定利润：求两种葡萄每千克的利润； 任务3 确定购进方案：若要使总利润不低于9000元，则最多能购进“左优红”葡萄多少千克？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $