精品解析：河北邢台市部分校2026～2027 学年 八年级上学期第一次学情自测数学试卷

八年级数学（J） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式的定义：若表示两个整式，中含有字母且，则形如的代数式为分式，根据分式的定义判断各选项即可． 【详解】解：A、是整式，不符合分式定义； B、的分母中含有字母，符合分式定义； C、的分母是常数，属于整式，不符合分式定义； D、是单项式，属于整式，不符合分式定义． 2. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等图形的定义．完全重合的两个图形叫做全等图形．根据定义，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、两个图形一个是圆形、一个是方形，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意； B、两个图形，一个是正六边形、一个是正五边形，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意； C、两个心形图案能完全重合，是全等图形，本选项符合题意； D、两个图形一大一小，不能完全重合，不是全等图形，本选项不符合题意； 故选：C． 3. 若是一个最简分式，则△可以是（　　） A. x B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式． 【详解】解：A. ，是最简分式，故该选项符合题意； B. ，不是最简分式，故该选项不符合题意； C.，不是最简分式，故该选项不符合题意； D. ，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键． 4. 下列定理有逆定理的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 直角都相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 对顶角相等 【答案】A 【解析】 【分析】分别写出下列定理的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是定理；故选项符合题意； B、直角都相等的逆命题是相等的角都是直角，为假命题，故选项不符合题意． C、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，为假命题，故选项不符合题意； D、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题． 5. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简公分母的定义，即各分母因式分解后所有不同因式的最高次幂的积；将两个分式的分母分别因式分解，然后找出所有不同因式的最高次幂的乘积作为最简公分母即可． 【详解】解：，， ∴ 最简公分母为 ， 故选： C. 6. 2026年乡村振兴新建户外光伏遮阳棚，安装工人在棚体支架之间加装一根斜向支撑杆，让整个棚架不易变形、更加稳固．这里用到的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 平行线间的距离处处相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：A、是线段长度的性质，故选项不符合题意； B、在棚体支架之间加装一根斜向支撑杆，是利用三角形的稳定性，故选项符合题意； C、是点到直线距离的性质，故选项不符合题意； D、是平行线的性质，故选项不符合题意． 7. 若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 8. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键；根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：甲：由不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：∵， 而丙图形中第三个角（未知的角）为：， ∴与丙图中有两角及其夹边对应相等， 由能判断两个三角形全等，故符合题意； 故乙和丙符合题意， 故选：B． 9. 如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，根据分式的性质进行化简，然后取特殊值即可求解． 【详解】解：∵且为正整数， 取时，， ， ∴表示的值的点落在段③， 故选：C． 10. 若关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 3或5 D. 3或7 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 整理得：， 情况1：若整式方程无解， 当一次项系数为时，整式方程无解， ， 解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足，即， 把代入，得，解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 11. 某村为解决部分居民饮水问题需铺设一条长4800米的管道，为尽量减少施工对居民生活造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（ ） A. 每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成 B. 每天比原计划少铺设15米，结果提前12天完成 C. 每天比原计划多铺设15米，结果延期12天才完成 D. 每天比原计划少铺设15米，结果延期12天才完成 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据分式方程的结构，原计划每天铺设的长度为实际每天铺设长度减去15米，原计划所用时间减去实际所用时间等于12天，说明实际提前12天完成． 【详解】解：设实际每天铺设管道米，则原计划每天铺设米． 原计划完成时间天，实际完成时间天． 方程表示原计划时间比实际多12天，即实际提前12天完成． 因此，实际每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成． 故选：A． 12. 如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵， ∴， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①， ∴， 解得：； ②， 则：， 解得：； ∴当与全等时，点Q的运动速度为或． 故选D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若分式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，根据该条件列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：分式有意义， 分母不等于，可得， 解得． 14. 化简时，应约去的分子分母的公因式是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，两者乘积即为分子分母的公因式． 【详解】解：∵ 分子为，分母为， 先确定系数部分：和的最大公约数是， 对字母：分子中的次数为，分母中的次数为，取最低次幂， 对字母：分子中的次数为，分母中的次数为，取最低次幂， 仅出现在分子中，不纳入公因式， ∴ 分子分母的公因式为． 15. 小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 【答案】有两边和其中一边的对角分别相等 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，在和中，为公共边，，，锐角三角形与钝角不全等，从而说明有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不能确定全等． 【详解】解：在和中，为公共边，，， 而与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故答案为：有两边和其中一边的对角分别相等． 16. 如图， 中，是 边上的中线，，，那么边长度的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使得，连接，则，然后证明，再由三角形的三边关系建立不等式组求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 延长至点，使得，连接，则 ∵是 边上的中线， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 解得． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知命题“对于任意实数，都有”． （1）写出这个命题的逆命题． （2）判断原命题的真假，并说明理由． 【答案】（1）若，则为实数 （2） 假命题．理由： 当时，，不满足，因此原命题为假命题； 【解析】 【分析】本题考查了命题的逆命题构造以及真假命题的判断，关键是理解原命题的条件与结论，以及特殊值法在判断命题真假中的应用． （1）先拆分原命题的结构：原命题“对于任意实数，都有”中，条件是“是实数”，结论是“”．再将条件与结论互换，即可得到逆命题． （2）原命题是全称命题，要证明它为假，只需找到一个满足条件(实数)但不满足结论()的例子．如取，此时，不满足，由此可判定原命题为假． 【小问1详解】 解：原命题“对于任意实数，都有”的条件为“是实数”，结论为“”，将条件与结论互换可得逆命题为“若，则为任意实数”； 【小问2详解】 略 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，，点在边上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质、外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质可得，，再由即可得解； （2）先由外角性质求出，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出、即可求解． 【小问1详解】 解：， ，， ； 【小问2详解】 解：是的外角， ， 又，， ， ， ，， ， ． 20. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及正确的解答过程，部分被污染和不透明的纸片覆盖了． （1）求被污染的整式“■”； （2）淇淇提出“当或时，原式的值相等”，请你通过计算判断淇淇的看法是否正确． 【答案】（1） （2）淇淇的看法不正确 【解析】 【分析】（1）将分式进行化简即可； （2）化简分式，然后代入求值，进行比较即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：原式 当时，原式 当时，原式 当或时，结果不一样 淇淇的看法不正确． 21. 综合与实践 图1是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形的生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），，是两条通往观景台的步行道．嘉嘉从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示： 所测量的数据 长度/m 嘉嘉将示意图抽象成如图2所示的几何图形，连接． （1）判断该广角灯的位置是否符合要求，并说明理由． （2）若，，，求该广角灯的照射角（）的度数． 【答案】（1） 该广角灯的位置符合要求，理由如下： ，， ． ，， ． 又， ， ， ∴该广角灯的位置符合要求． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． （1）利用证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （2）由全等三角形的性质可得、，易得，进而得到，再结合即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）由（1）可知，， ，． ， ， ∴，即． ， ， ∴该广角灯的照射角（）的度数为． 22. 下面是小颖和小轩同学解方程的过程： 小颖 小轩 解：去分母， 得………………第一步 去括号，得………………第二步 化简，得………………第三步 解： 移项，得………………第一步 分式相加，得………………第二步 提公因式，得………………第三步 约分，得………………第四步 请你任选一名同学的解题过程，回答下列问题： （1）你选择的是________同学，出错在第______步，错误的原因是________________； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）解：选择的是小颖同学，出错在第一步， 错误原因是去分母时，未把分子作为整体加括号． 或选择的是小轩同学，出错在第四步， 错误原因是约分时，分子分母同时除以，没有考虑是否为零． （2）解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验，把代入， 是分式方程的增根， 分式方程无解． 【解析】 【分析】（1）根据两位同学解分式方程的过程即可得出结果； （2）按去分母、去括号、求解、检验的步骤计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：选择的是小颖同学，出错在第一步， 错误原因是去分母时，未把分子作为整体加括号，导致符号错误； 选择的是小轩同学，出错在第四步， 错误原因是约分时未考虑； 【小问2详解】 略． 23. 【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引顾客问题时，发现可以用数学模型量化，其中表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万m）；表示购物中心到居民区的距离（单位：）；为常数且 【模型应用】 （1）已知当万时，次，则__________． （2）甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离． 【答案】（1）80 （2）甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为 【解析】 【分析】（1）代入已知条件求解常数； （2）根据距离比设参数，结合的数量关系列分式方程求解． 【小问1详解】 解：将，，代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：设甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为，已知， 则居民到甲的平均购物次数， 居民到乙的平均购物次数， 由题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解， 因此，， 答：甲购物中心到此居民区的距离为，乙购物中心到此居民区的距离为． 24. 【材料阅读】 嘉淇同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． （1）图1中，，求的长，请补充小明的过程． … （2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 【答案】（1）解：， ． ∵，， ，，． ． ． ∵，，， ∴． ． ∵，， ∴． （2）解：结论：．理由如下： ， ． ， ． ． ， ． ∵， ， ，． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到， ，，即可得到三者的数量关系； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中即可得到； （3）延长，过点C作于P，延长，过点C作于G，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，证四边形是平行四边形，则，代入面积公式得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：延长，过点C作于P，延长，过点C作于G，如图所示： ，， ． ， ， ， ，． ． ， ， ． ， ， ． 四边形是平行四边形． ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学（J） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 下列代数式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是一个最简分式，则△可以是（　　） A. x B. C. 3 D. 4. 下列定理有逆定理的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 直角都相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 对顶角相等 5. 分式与的最简公分母是（ ） A. B. C. D. 6. 2026年乡村振兴新建户外光伏遮阳棚，安装工人在棚体支架之间加装一根斜向支撑杆，让整个棚架不易变形、更加稳固．这里用到的数学原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 三角形具有稳定性 C. 垂线段最短 D. 平行线间的距离处处相等 7. 若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知六个元素，下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的是（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 只有乙 D. 只有丙 9. 如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（ ） A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 10. 若关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 3或5 D. 3或7 11. 某村为解决部分居民饮水问题需铺设一条长4800米的管道，为尽量减少施工对居民生活造成的影响，实施施工时“……”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为（ ） A. 每天比原计划多铺设15米，结果提前12天完成 B. 每天比原计划少铺设15米，结果提前12天完成 C. 每天比原计划多铺设15米，结果延期12天才完成 D. 每天比原计划少铺设15米，结果延期12天才完成 12. 如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若分式有意义，则实数的取值范围是________． 14. 化简时，应约去的分子分母的公因式是________． 15. 小数同学在探究三角形全等的条件时，设计了一个如图所示的数学实验，把两根木条的一端用螺栓固定点位置，然后固定木条，摆出．把木条转动一定角度后，点刚好落在直线上的处．此实验得到的结论是：_____的两个三角形不一定全等． 16. 如图， 中，是 边上的中线，，，那么边长度的取值范围是_________ 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知命题“对于任意实数，都有”． （1）写出这个命题的逆命题． （2）判断原命题的真假，并说明理由． 18. 计算： （1） （2） 19. 如图，，点在边上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）若，，求的度数． 20. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及正确的解答过程，部分被污染和不透明的纸片覆盖了． （1）求被污染的整式“■”； （2）淇淇提出“当或时，原式的值相等”，请你通过计算判断淇淇的看法是否正确． 21. 综合与实践 图1是某社区生态景观区的平面示意图．景观区建有一个四叶草形的生态水池及一座雕塑，水池内建有观景台，在观景台上安装了一盏广角灯（点D），，是两条通往观景台的步行道．嘉嘉从该社区了解到，为了凸显景观的层次感和立体感，达到理想的光影效果，要求．于是他利用身边仅有的一个卷尺根据现场条件进行测量，所得数据如表所示： 所测量的数据 长度/m 嘉嘉将示意图抽象成如图2所示的几何图形，连接． （1）判断该广角灯的位置是否符合要求，并说明理由． （2）若，，，求该广角灯的照射角（）的度数． 22. 下面是小颖和小轩同学解方程的过程： 小颖 小轩 解：去分母， 得………………第一步 去括号，得………………第二步 化简，得………………第三步 解： 移项，得………………第一步 分式相加，得………………第二步 提公因式，得………………第三步 约分，得………………第四步 请你任选一名同学的解题过程，回答下列问题： （1）你选择的是________同学，出错在第______步，错误的原因是________________； （2）请写出正确的解答过程． 23. 【问题背景】 某城市规划团队研究新建购物中心吸引顾客问题时，发现可以用数学模型量化，其中表示居民每季度的平均购物次数（单位：次），S表示购物中心的占地面积（单位：万m）；表示购物中心到居民区的距离（单位：）；为常数且 【模型应用】 （1）已知当万时，次，则__________． （2）甲、乙两个购物中心占地面积分别为2万和4.5万，它们到同一居民区的距离之比为，每季度居民到乙中心的平均购物次数比到甲中心多20次，求甲、乙两个购物中心到此居民区的距离． 24. 【材料阅读】 嘉淇同学在学习完全等三角形后，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板． 如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段上时，过点A作，垂足为M，过点C作，垂足为N． （1）图1中，，求的长，请补充小明的过程． … （2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为P，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若， 连接，请求出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $