精品解析：河北省衡水市部分学校2025-2026学年八年级上学期第三次月考数学试卷

2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教版八年级上册第十一章10%，第十二章15%，第十三章30%，第十四章40%，第十五章5%． 5．难度系数：0.8． 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A. 2、2、4 B. 2、6、3 C. 8、6、3 D. 11、4、6 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC的延长线于点D，BE⊥AC交AC的延长线于点E ，CF⊥BD交AB于点F．下列线段是△ABC的高的是（ ） A. BD B. BE C. CE D. CF 5. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么该多边形的一个外角是（ ） A. 30° B. 36° C. 60° D. 72° 6. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A. 2a﹣2＝2（a+1） B. （a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C. x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D. x2+6x+8＝x（x+6）+8 7. 如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（　　） A. 60° B. 30° C. 90° D. 80° 8. 如图，在中，垂直平分，若，，则的周长等于（ ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 9. 多项式是完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分（）的面积等于（ ） A. B. C. D. 12. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点在第______象限． 14. 因式分解：______． 15. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 16. ＝______． 17. 已知，，则______． 18. 如图，在的边上取点，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是6，则的长是 _______． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，请从，0，1，2中选一个你认为合适的x值，代入求值． 21. 在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上． （1）画出关于y轴对称的； （2）求的面积． （3）在y轴上找出点Q，使的周长最小． 22. 如图，平分，于点，．求证：． 23. 如图，在中，是上一点，，是外一点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． （1）当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 25. 阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以． 解决问题： （1）若x满足，求的值； （2）如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是7，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 26. 在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． （1）如图①，求证：； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，连接． ①若，求证：． ②当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：人教版八年级上册第十一章10%，第十二章15%，第十三章30%，第十四章40%，第十五章5%． 5．难度系数：0.8． 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ) A. 2、2、4 B. 2、6、3 C. 8、6、3 D. 11、4、6 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】根据三角形的三边关系，知 A、2+2=4，不能组成三角形； B、3+2=5＜6，不能组成三角形； C、3+6＞8，能够组成三角形； D、4+6＜11，不能组成三角形． 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，本选项不合题意； B、，本选项不合题意； C、，本选项不合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方运算法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方等于乘方的积． 4. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC的延长线于点D，BE⊥AC交AC的延长线于点E ，CF⊥BD交AB于点F．下列线段是△ABC的高的是（ ） A. BD B. BE C. CE D. CF 【答案】B 【解析】 【分析】在三角形中,从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高,简称为高.直接利用三角形高的定义分析得出答案． 【详解】解：从题中图可看出,只有线段BE是△ABC的边AC上的高． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的高线,正确把握相关高线定义是解题关键． 5. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么该多边形的一个外角是（ ） A. 30° B. 36° C. 60° D. 72° 【答案】B 【解析】 【分析】设这个多边形为n边形，根据多边形内角和公式立方程求出n的值，再根据多边形外角和为360度即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形为n边形， 由题意得，， ∴， ∵， ∴该多边形的一个外角是36°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和和外角和，熟知多边形内角和公式是解题的关键． 6. 下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（　　） A. 2a﹣2＝2（a+1） B. （a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C. x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D. x2+6x+8＝x（x+6）+8 【答案】C 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可． 【详解】解：A．2a-2=2（a-1），故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，解题时注意因式分解与整式乘法是相反的过程，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式． 7. 如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（　　） A. 60° B. 30° C. 90° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠CFE=∠EBA=60°，再由三角形的外角性质可得∠CFE=∠E+∠D，从而得解． 【详解】解：∵AB∥CD，∠EBA=60°， ∴∠CFE=∠EBA=60°， ∵∠EBA是△DEF的外角， ∴∠E+∠D=∠EBA=60°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质和平行线的性质． 8. 如图，在中，垂直平分，若，，则的周长等于（ ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得出，再利用即可得到答案，此题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长等于， 故选：C． 9. 多项式是完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】解： ∴， ∴. 故选：C． 10. 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案． 【详解】解：解：根据图甲可得阴影面积为， 根据图乙可得阴影面积为， ∴可以验证等式， 故选：C． 11. 如图所示，在中，、、分别为、、的中点，且，则阴影部分（）的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线把面积分成相等的两部分是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵、、分别为、、的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 12. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请根据上述规律，则展开式中含项的系数是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类、杨辉三角等知识，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题 【详解】解：由题意可得展开式中含项为第二项， ∵展开式中的第二项系数为1， 展开式中的第二项系数为2， 展开式中的第二项系数为3， 展开式中的第二项系数为4， ……， ∴以此类推，根据杨辉三角形展开式中，第二项的系数为， 的展开式中含项的系数是2023， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 在平面直角坐标系中，点在第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的特征．根据各个象限的点坐标的特征进行作答即可． 【详解】解：由题意知，在第三象限， 故答案为：三． 【点睛】 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】提公因式与平方差公式相结合解题． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，涉及提公因式与平方差公式，是重要考点，难度较易，掌握相关是解题关键． 15. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 16. ＝______． 【答案】 【解析】 【分析】将看成，然后再使用积的乘方的逆运算即可求解． 【详解】原式＝ = ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，计算过程中细心，属于基础题． 17. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键； 利用已知条件求出和的值，代入原式计算即可． 【详解】解：由，，得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在的边上取点，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是6，则的长是 _______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，作于，于，于，连接，由角平分线的性质结合的面积是2可得，再由的面积是6可得，从而得到，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，于，于，连接， ， 平分，，， ， 同理可得：， ， ，的面积是2， ， ， ， 的面积是6， ， ， ， 故答案为：8． 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式利用平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； （2）直接利用整式的除法的运算法则求解即可求得答案． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 【点睛】此题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则． 20. 先化简，再求值：，请从，0，1，2中选一个你认为合适的x值，代入求值． 【答案】，当时，；当时， 【解析】 【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据分式有意义的条件，选择合适的x的值，最后将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 当时，原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及分式有意义的条件是分母不为0，是解题的关键． 21. 在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上． （1）画出关于y轴对称的； （2）求的面积． （3）在y轴上找出点Q，使的周长最小． 【答案】（1）解：如图，即为所求． （2） （3）解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、点坐标与轴对称变化等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得； （2）直接利用割补法求得面积即可； （3）连接，交轴于点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积； 【小问3详解】 理由：由轴对称的性质得：， 的周长为， 当取最小值时，的周长最小， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值， 则与轴的交点即为所求． 22. 如图，平分，于点，．求证：． 【答案】 证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，首先过点作，交的延长线于点，可证，根据可证，所以可得，等量代换可证结论成立． 【详解】略 23. 如图，在中，是上一点，，是外一点，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， 在和， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件证即可求证； （2）根据全等三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ， . 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质．掌握相关定理是解题关键． 24. 如图，在等腰中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于点E． （1）当时，　　　°；点D从点B向点C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1）；小 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，三角形内角和定理； （1）由三角形内角和定理得，，由点D从点B向点C运动时，越来越大，即可求解； （2）当时，由可判定，即可求解； （3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，即可求解； 掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定，能由等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：，， ； 点D从点B向点C运动时，越来越大， 越来越小； 故答案：；小； 【小问2详解】 解：当时，， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ()； 【小问3详解】 解：当为或时，是等腰三角形， ①当时， ， ； ②当时， ， ， 此时，点与点重合，不合题意； ③当时， ， ， ， ； 综上所述：当为或时，是等腰三角形． 25. 阅读理解： 若x满足，求的值． 解：设，，则，，所以． 解决问题： （1）若x满足，求的值； （2）如图，正方形的边长为x，，，长方形的面积是7，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）29． 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式在几何图形中的应用； （1）设，，可得，，再利用，再代入计算即可；熟记完全平方公式的变形是解本题的关键； （2）由图形可得，，求得，设，，利用矩形面积公式结合完全平方公式计算可得答案． 【小问1详解】 解：设，， 则，， ； 【小问2详解】 解：正方形的边长为x，，， ，， 四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，长方形的面积是7， ，， ，，， ， 设，，则，， 阴影部分的面积 ， ，即， 解得：， ，即阴影部分的面积为29． 26. 在平面直角坐标系中，点，，点C为x轴正半轴上一动点，过点A作交y轴于点E． （1）如图①，求证：； （2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且，连接． ①若，求证：． ②当时，求的值． 【答案】（1） 证明：由题意知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴； （2） ①证明：解法I：∵，， ∴， ， 又∵， ∴， 解法II：∵， ∴， ∴， 如图2，作于，于， ∵， ∴，， ∴，解得， ∵，， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②2 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，则，证明即可； （2）①解法I：由，，根据等角的余角相等即可得出结论．解法II：证明是的平分线，再利用三角形内角和和外角的性质，进而计算转化可证； ②如图3，在上截取，使，证明，由，可得，进而可求，，然后计算求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ①略． ②解：如图3，在上截取，使， 由①可知，是的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $