内蒙古赤峰二中2027届高三年级9月第一次月考数学试题

赤峰二中2027届高三年级9月第一次月考试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，其中是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“函数在区间上有零点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的不等式在区间上有解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且、、，则、、的大小关系（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 已知函数，若，则 C. 函数的值域是 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 在直三棱柱中，，，，点在棱上，，是的中点，则（ ） A. 三棱柱的侧面积为 B. 三棱柱外接球的表面积为 C. ∥平面 D. 平面 11. 设直线、分别是函数在点处的切线，若，且、分别与轴相交于点，则（ ） A. B. C. D. 直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的常数项为___________． 13. 已知函数在处取得极小值，则__________． 14. 设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求和实数的值； （2）当时，若满足，求实数的取值范围. 16. 已知数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有5层小木块，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木块后都等可能地向左或向右落下，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内. （1）如图，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，设小球落入球槽的号码为X，求X的分布列与数学期望. （2）现小禹同学对高尔顿板进行改进，小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过4次碰撞后，最后掉入编号为1、2、…、5的球槽内.将80个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问2号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 18. 已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l与C交于不同于A的两点M，N. （1）求C的方程； （2）若，求面积的最大值； （3）记直线AM，AN的斜率分别为，，若，证明：以MN为直径的圆过定点，并求出定点坐标. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对于任意的，恒成立，求的最大值； （3）证明：. 赤峰二中2027届高三年级9月第一次月考试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）0；2 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） X 1 2 3 4 5 P （2）7个或8个 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 若直线l的斜率不存在，设，，， 可得，可得， 这与相矛盾，不合题意； 可知直线l的斜率存在，设直线，，， 可得， 整理可得， 则， 且，则，可得，解得， 设以MN为直径的圆过定点， 则，， 可得， 则， 整理可得， 则， 可得， 注意到上式对任意的k均成立，则，解得， 所以以MN为直径的圆过定点. 【19题答案】 【答案】（1） 当时，在上单调递减， 当时，在区间单调递减，在区间上单调递增； （2） （3） 要证： 证： 即证：， 只需证：， 即证：，即证：， 令 证： ， 令在上单调递增， ∴，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $