精品解析：内蒙古包头市第四中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

包头四中2026—2027学年度第一学期月考 高三年级数学试题 考试时长120分钟 满分150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. ， B. ， C. 设，为向量，则“”是“”的必要不充分条件 D. “，”是“”的充分不必要条件 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则三角形的形状为 A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、多选题（每小题6分，共18分）} 9. 下列说法正确的有（ ） A. 当时，的最小值为 B. 函数恒过定点 C. 若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为 D. 函数的定义域为 10. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处取得极小值 B. 若在区间上单调递减，则 C. 当时，对任意，都有 D. 存在唯一的，使的极大值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知函数的导函数为，且，则_______． 13. 已知，，则___________. 14. 中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 四、解答题（5个大题，共77分） 15. 化简求值： （1）； （2）； （3）已知角的终边经过点，求的值． 16. 已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； （2）当，且时，求的值. 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角； （2）若，，求的面积； （3）若，求的取值范围． 18. 珠城陶山西麓，嘉年华主题乐园中的淮河之眼摩天轮曾被誉为“蚌埠地标”.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为108米，转盘直径为100米，设置有60个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系. （1）游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）坐上摩天轮转动一圈，当距离地面83米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感.小明能有多长时间感受这个过程？ （3）小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有14个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性与极值点； （2）当时， （i）证明：曲线关于中心对称； （ii）若过点可以作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头四中2026—2027学年度第一学期月考 高三年级数学试题 考试时长120分钟 满分150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 集合，， 所以，. 2. 设，，，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数函数的性质，求得，，再由对数函数的性质，得到，即可求解. 【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，， 由对数函数的性质，可得，所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质，求得的范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. ， B. ， C. 设，为向量，则“”是“”的必要不充分条件 D. “，”是“”的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】选项A：根据指数函数的值域性质判断；选项B：通过举特殊值的方法验证；选项C：根据平面向量数量积的公式，先推导的等价条件，再判断其与的充分性和必要性关系；选项D：结合不等式性质确定充分性和必要性. 【详解】对A，根据指数函数的性质，对任意实数，都有，不存在使得，A错误； 对B，取，此时，，不成立，B错误； 对C，由（为两向量夹角）， 若，则，即或，故； 反之若，则，满足，因此二者是充要条件，C错误． 对D，若，根据不等式性质显然可得，充分性成立； 反之无法推出，例如，满足但，必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件，D正确 . 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：定义域是，对称轴是，不满足偶函数定义，排除A. 选项B：定义域是，，满足偶函数定义，在上任取两个数. 假设，作差得， 其中，即，又，所以，即， 因此，即，故在上单调递增,符合题意. 选项C：是偶函数，但在是周期函数，不满足单调递增的要求，不符合题意，排除C. 选项D：函数定义域为，不满足偶函数的定义域要求，排除D. 5. 在中，，则三角形的形状为 A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 由，利用正弦定理以及二倍角的正弦公式可得，讨论两种情况，即可得结果. 【详解】∵， ∴根据正弦定理，得，即． ∵， ∴或，得或， 因此是等腰三角形或直角三角形，故选B． 【点睛】判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将的系数提出得,再根据左加右减进行平移变换,并结合诱导公式化简即可. 【详解】解：． 故选：A. 【点睛】方法点睛：向左（）或向右（）平移个单位得到的函数图像的解析式为： 7. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 8. 已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 二、多选题（每小题6分，共18分）} 9. 下列说法正确的有（ ） A. 当时，的最小值为 B. 函数恒过定点 C. 若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为 D. 函数的定义域为 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A：当时，， 当且仅当即时等号成立，所以A错误； 对于B：令，所以函数恒过定点，所以B正确； 对于C：若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径， 所以扇形的面积为，所以C正确； 对于D：令， 所以函数的定义域为，所以D错误. 10. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则或 B. 若点的坐标为，且是关于的方程的一个根，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】举反例可判断A；代入方程根据复数相等列方程组计算可得，进而可判断B；根据复数的概念可判断C；根据复数的几何意义利用两圆面积相减计算可判断D. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，点Z的坐标为，则， 又因为是关于的方程的一个根， 所以， 整理得， 所以，解得 所以，故B正确； 对于C，的虚部为，故C错误； 对于D，设 则， 所以，即， 圆的面积为，圆的面积为， 因为， 所以点的集合所构成的图形的面积为，故D错误. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在处取得极小值 B. 若在区间上单调递减，则 C. 当时，对任意，都有 D. 存在唯一的，使的极大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数结合分类讨论思想研究函数的单调性、计算极值、最值一一判定选项即可． 【详解】求导得， 令，解得，． 对于A，当时，，此时恒成立， 在上单调递减，无极值，故A错误． 对于B，若在上单调递减，则在上恒成立， 即，所以． 当时，，故只需， 即对任意恒成立， 所以，解得，故B正确． 对于C，当时，得，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 又，，所以当时，的最大值为， 即对任意，都有，故C正确． 对于D，当时，无极值， 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 为极大值点，极大值为， 令，解得，符合条件． 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 为极大值点， 极大值为，由，得． 令，因为，所以，方程化为． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以在时恒成立，方程无解． 故存在唯一的，使得的极大值为1，故D正确． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知函数的导函数为，且，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】由求导得， 令，则得，解得， 所以，. 13. 已知，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 将题中两个等式平方，相加后利用两角和的余弦公式可计算出的值. 【详解】由题意可得， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查两角和的余弦值的计算，解题时要结合等式的结构选择相应的公式来计算，考查计算能力，属于中等题. 14. 中，D为AB边中点，，则______（用，表示），若，，则_______ 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以 所以， 所以 ． 故答案为：；. 四、解答题（5个大题，共77分） 15. 化简求值： （1）； （2）； （3）已知角的终边经过点，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 【小问3详解】 原式， 因为角的终边经过点， 所以，所以原式. 16. 已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期及函数图象的对称轴； （2）当，且时，求的值. 【答案】（1）最小正周期为，对称轴为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的解析式，利用性质可得答案； （2）根据条件求出，，结合角之间的关系可求答案. 【小问1详解】 因为， 所以 ，所以. 最小正周期为，令,得， 即图象的对称轴为. 【小问2详解】 由得， 因为，所以，所以； . 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角； （2）若，，求的面积； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标，结合正弦定理建立方程，求解角. （2）先由余弦定理求得，再由面积公式求解. （3）先由余弦定理得，再由基本不等式求解取值范围． 【小问1详解】 因为向量，且，所以， 又由正弦定理得，因为，所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 因为中，，，由（1）知，由余弦定理， 即，所以，解得或（舍去）． 所以的面积． 【小问3详解】 由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的取值范围为． 18. 珠城陶山西麓，嘉年华主题乐园中的淮河之眼摩天轮曾被誉为“蚌埠地标”.游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图1，该摩天轮最高点距离地面高度为108米，转盘直径为100米，设置有60个座舱，摩天轮上的座舱运动可以近似地看作是质点在圆周上做匀速圆周运动，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要20分钟.如图2，设座舱距离地面最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系. （1）游客小明坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； （2）坐上摩天轮转动一圈，当距离地面83米及以上高度时游客就能俯瞰全景，大有“一览众山小”之感.小明能有多长时间感受这个过程？ （3）小明在摩天轮上发现朋友小华刚要入舱乘坐摩天轮，而且小华的座舱和自己的座舱之间还有14个座舱，求两人距离地面的高度差的最大值. 【答案】（1），， （2） （3）米 【解析】 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； （3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简，根据化简结果结合三角函数的最值求解出. 【小问1详解】 因为， 由题意知，解得， 又，解得， 所以， 因为，所以，所以，， 所以，，； 【小问2详解】 由（1）． 令，则，即， 因为，则，所以，解得， 所以小明坐上摩天轮能有（分钟）感受这个过程； 【小问3详解】 由题意知，两人间隔的弧度数为， 所以小明经过分钟后距离地面的高度为， 小华距离地面的高度为，； 则两人离地高度差 ， 当（或），即（或）时，的最大值为米． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性与极值点； （2）当时， （i）证明：曲线关于中心对称； （ii）若过点可以作曲线的三条切线，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增，无极值点；当时，在单调递增，在单调递减，是极大值点，是极小值点；当时，在单调递增，在单调递减，是极大值点，是极小值点 （2）（i）证明：当时, ，故. 因为， 所以曲线关于中心对称. （ii） 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，分类讨论求出函数单调性及极值点； （2）（i）根据函数图象中心对称的定义式证明即可； （ii）利用导数写出函数切线方程，根据过点有三条切线，代入坐标，则新的方程有三个解，构造函数，求函数单调性和极值点，推断有三个解的条件. 【小问1详解】 ， 当时，，在上单调递增，无极值点； 当时，由可得或，所以在单调递增， 由可得，所以在单调递减， 故是极大值点，是极小值点； 当时，由可得或，所以在单调递增， 由可得，所以在单调递减， 故是极大值点，是极小值点. 综上，当时，在上单调递增，无极值点； 当时，在单调递增， 在单调递减，是极大值点，是极小值点； 当时，在单调递增，在单调递减， 是极大值点，是极小值点. 【小问2详解】 （i）略 （ii）， 设切点坐标为，切线的斜率为. 则切线方程为，将点代入并整理得， 记， ，令，得或， 当或时，单调递减， 当时，单调递增， 所以时，的极大值为，当时，的极小值为， 当时，，时，， 由题意得，直线与曲线有三个不同的交点， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $