29.1.2 过三点的圆（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册 **29.1.2 过三点的圆** 专项练习（约1500字） --- ## 一、知识梳理 **1. 过一点的圆：** 过平面内**一个点**可以作**无数个**圆（圆心在该点以外的任意位置，半径即圆心到该点距离）。 **2. 过两点的圆：** 过平面内**两个点**也可以作**无数个**圆。这些圆的圆心都在**两点连线段的垂直平分线**上（因为圆心到两点的距离必须相等）。 **3. 过三点的圆（核心定理）：** - **过不在同一直线上的三个点**，有且**只有一个**圆（圆心是这三点所连线段**两两垂直平分线的交点**，即**三角形外心**）； - **过在同一直线上的三个点**，**不能**作圆（因为三点共线时，无法找到到三点距离都相等的点）。 **4. 三角形的外接圆与外心：** - 经过三角形三个顶点的圆叫**三角形的外接圆**； - 外接圆的圆心叫**外心**，它是三角形**三条边垂直平分线的交点**； - 外心到三角形**三个顶点的距离都相等**（都等于外接圆半径）； - **锐角三角形**外心在三角形**内**，**直角三角形**外心在**斜边中点**，**钝角三角形**外心在三角形**外**。 **5. 确定一个圆的条件：** 已知**圆心**和**半径**；或已知**不在同一直线上的三个点**。 --- ## 二、基础过关（概念判断） **1. 填空：** （1）过一点可以作____个圆，过两点可以作____个圆； （2）过不在同一直线上的三点____（“能”或“不能”）确定一个圆； （3）三角形外接圆的圆心叫____，它是三角形____的交点。 **2. 判断下列说法是否正确：** （1）过任意三点都能确定一个圆； （2）过两点的所有圆的圆心都在两点连线的垂直平分线上； （3）直角三角形外心在斜边中点上。 **3. 过 A、B 两点作圆，这样的圆的圆心在____上；若要求半径最小，圆心应在____处。** --- ## 三、能力提升（找外心） **4. 如图，△ABC 为锐角三角形。作出它的外心，并说明外心是三角形哪三条线的交点，外心到三个顶点的距离有什么关系。** **5. 已知点 A(0, 0)、B(4, 0)、C(2, 3)，求经过这三点（不在同一直线）的圆的圆心坐标。** **【点拨】** 圆心 O′ 是 AB、AC 垂直平分线的交点。AB 中垂线：x = 2。设 O′(2, y)，由 O′A = O′C 得 √(4+y²) = √((2−2)²+(y−3)²) = |y−3|，即 4+y² = (y−3)² = y²−6y+9，得 4 = −6y+9，y = 5/6。故圆心 (2, 5/6)。 **6. 判断下列三角形的外心位置：** （1）锐角三角形：外心在____； （2）直角三角形：外心在____； （3）钝角三角形：外心在____。 --- ## 四、综合应用（外接圆与半径） **7. 一个直角三角形两直角边分别为 6 cm、8 cm，求它的外接圆半径。** **【点拨】** 直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径 = 斜边的一半。斜边 = √(36+64) = 10 cm，故半径 = 5 cm。 **8. 已知等边三角形 ABC 的边长为 6，求它的外接圆半径。** **【点拨】** 等边三角形外心即重心，外接圆半径 R = 边长/√3 = 6/√3 = 2√3。 **9. 如图，矩形 ABCD 的四个顶点是否共圆？若是，求该圆的圆心和半径（矩形长 8、宽 6）。** --- ## 五、易错辨析（改错） **10. 指出错误并改正：** 小明说：“三点确定一个圆，所以过任意三个点一定有且只有一个圆。” **答：** 错误。只有过**不在同一直线上**的三个点才能确定（有且只有一个）圆；若三点**在同一直线上**，则不能作圆。漏掉“不共线”这一前提是常见错误。 **11. 判断：三角形的外心一定在三角形内部。是否正确？为什么？** **12. 判断：任意一个矩形一定有外接圆吗？说明理由。** --- ## 六、挑战题（压轴） **13. 已知 △ABC 中，AB = AC = 5，BC = 6。求它的外接圆半径。** **【点拨】** 等腰三角形外心在底边高线上。设外心 O 在 BC 的垂直平分线上。BC 中点 D，AD⊥BC，AD = √(25−9) = 4。设外接圆半径 R，则 R² = 3² + (4−R)² = 9 + 16 −8R + R²，得 8R = 25，R = 25/8。 **14. 求证：过三角形的三个顶点一定可以作一个圆（不共线三点确定圆）。请写出证明思路。** **15. 综合题：** 正方形 ABCD 边长为 4，求它的外接圆半径。若四边形任意四个顶点是否一定共圆？说明理由。 --- ## 参考答案 1.（1）无数、无数；（2）能；（3）外心，三条边垂直平分线。 2.（1）错，须不共线；（2）对；（3）对。 3. AB 的垂直平分线；圆心在 AB 中点处（此时半径 = AB/2 最小）。 4. 外心是三条边垂直平分线交点，外心到三个顶点距离相等（都等于外接圆半径）。 5. 圆心 (2, 5/6)。 6.（1）内；（2）斜边中点；（3）外。 7. 半径 = 5 cm。 8. R = 2√3。 9. 共圆（矩形对角线交点即圆心，半径 = 对角线一半 = 5）。 11. 不一定。锐角三角形外心在内，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外，故外心不一定在内部。 12. 有外接圆。矩形对角线交点到四个顶点距离相等，该交点即外心，半径 = 对角线一半。 13. R = 25/8。 14. 思路：设三点不共线，任取两边作垂直平分线交于 O，由垂直平分线性质 O 到三点距离相等，故 O 为外心，可作唯一圆。 15. 正方形外接圆半径 = 对角线一半 = 2√2；任意四边形四顶点不一定共圆（只有对角互补等特殊条件才共圆）。 --- **说明：** 本练习紧扣 29.1.2「过三点的圆」——过一点/两点/三点的圆的情况、不共线三点确定圆的定理、三角形外心及其位置、外接圆半径的计算，基础到综合共 15 题、约 1500 字。第 13 题等腰三角形外接圆半径为重点题。需要我把「确定圆的条件」「外心位置与三角形类型」整理成表，或继续下一节内容吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 29.1.2 过三点的圆 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第29章 圆 问题1 经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？ · · · · · 以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径画圆即可； 可作无数个圆. A 探究新知 过不共线三点作圆 知识点 1 生活情境 小明不小心家里的圆形瓷盘打破了，想要买个同样大小的盘子，因此小明想复原完整的圆形瓷盘，需要确定原来圆的圆心和半径，小明该如何做呢？ 小明知道画圆需要的两个条件 ①圆心确定位置 ②半径确定大小 因为圆上的点到圆心距离相等，可不可以在破损边缘取几个点，通过找点确定圆心，进而复原圆？ A B C 几个点可以呢？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 出示破损圆形瓷盘图片 3 环节一：探究过1个点作圆的规律 学习活动 ①在平面内任取一点A，尝试作经过点A的圆，能作多少个？ · · · · · 画图方法： 以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到 A 点的距离为半径画圆即可； A 可作出无数个圆. 圆心可以是平面内任意一点， 只要到点A的距离等于半径即可. 这些圆的圆心有什么规律？ 思考 1. 返回 下列条件中，不能确定一个圆的是(　　) A．圆心和半径 B．直径和圆心 C．平面上的三个点 D．三角形的三个顶点 C 举一反三 5 返回 2. [邢台信都区调研] 如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C 举一反三 返回 3. 【情境题 生活应用】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是________．(填序号) ① 举一反三 环节二：探究过2个点作圆的规律 学习活动 ②在平面内任取两点A、B，尝试作经过点A、B的圆，能作多少个？ A B 所在圆的圆心有什么特点？ 思考 因为圆心与A、B两点距离相等， 所以圆心在AB的垂直平分线上 l ● O1 ● O2 ● O3 画图方法： 在AB的垂直平分线上任取一点为圆心，以这个点到 A 点（或B点）的距离为半径画圆即可； 可作出无数个圆. ● O4 过A、B两点的圆的半径是否相等？圆心位置有什么规律？ 半径不相等，圆心始终在两点线段的垂直平分线上移动。 讨论 O 环节三：探究过三点作圆 学习活动 ③取不在同一直线上的三点A、B、C，尝试作经过点A、B、C的圆，如何做？能作多少个？ A B C 所作圆的圆心满足什么条件？ 思考 条件① 经过 A，B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上. 条件② 经过 B，C 两点的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上. ◑ 经过 A，B，C 三点的圆的圆心在这两条垂直平分线的交点 O 的位置. ∟ B A C 作法：（1）连结 AB，BC. （2）分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧相交于 D，E 两点； E D F G O （4）以 O 为圆心，以 OA（或 OB，OC ）的长为半径作圆. ⊙O 就是所要求作的圆. l₁ l₂ 环节三：探究过三点作圆 尺规作图：已知不在同一直线上的三点A、B、C， 求作⊙O，使得⊙O经过A、B、C三点 （3） 过D，E 两点作线段 AB的垂直平分线l₁；同理，过F，G 两点作线段 BC的垂直平分线l₂， l₁与 l₂相交于点 O. 环节三：探究过三点作圆 O A B C ∟ 讨论 线段 AB 与线段BC的垂直平分线的交点有几个？能确定吗？ 所以⊙O的圆心是确定的，进而其半径也是确定的．因此，经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作一个并且只可以作一个圆． 由作法可知，线段AB，BC的垂直平分线有且只有 一个交点 不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 圆的确定定理 有且只有 位置关系 方法： 在破损圆弧上取三个不共线的点，作其中两条线段的垂直平分线，交点即为圆心，圆心到点的距离为半径，即可复原圆。 B A C O 环节三：探究过三点作圆 请帮小明复原完整的圆形瓷盘，确定原来圆的圆心和半径 ∟ ∟ （1）任意一个三角形的三个顶点能否在同一个圆上？ B A C O l₁ l₂ 环节四：探究三角形的外接圆与外心 讨论 三角形三个顶点不共线，可确定唯一一个圆。 （2）如何确定过任意一个三角形的三个顶点的圆的圆心与半径？ 圆心是三角形三边垂直平分线的交点 三角形三边垂直平分线的交点与顶点的距离是这个圆的半径 （3）三角形的外接圆与三角形外心 ∟ ∟ 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 O 环节四：探究三角形的外接圆与外心 学习活动 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置 不同三角形外心分别在三角形的什么位置？ 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等 O O B A C B A C 锐角三角形的外心位于三角形内. 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点. 钝角三角形的外心位于三角形外. B A C 三角形外心性质 （2）在中，，，，则它的外接圆的直径为_______．  例1.（1）如图，确定弧所在圆的圆心． 5cm 解：（1）在上任取一点C，连接AC、BC． 作弦AC、BC的中垂线，他们的交点即为圆心O． C ∟ ∟ O ∵直角三角形的外接圆圆心在斜边上 ∴外接圆的直径=AB=5CM 解：由勾股定理得： 斜边AB==5 例2.中，，，求其外接圆的半径 G ∟ O 解:过A作AG⊥BC，垂足为G， ∵ AB=AC ∴ AG垂直平分BC ∴外接圆的圆心在AG上，设为O点，连结OC BG=6 ∴AG==8 设外接圆半径为x，由勾股定理得： 解得： = 返回 4. 如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(　　) A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE B 举一反三 在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则Rt△ABC外接圆的半径为(　　) A．3 B．4 C．5 D．不确定 返回 5. C 举一反三 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，点B(2，1)，点C(2，－3)，则△ABC的外接圆的圆心坐标是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(－1，－1) D．(0，－1) 返回 6. A 举一反三 返回 7. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC边上的中线AD＝12. (1)请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆(保留作图痕迹，不写作法)； 解：如图所示，⊙O即为所求． 举一反三 返回 (2)求△ABC的外接圆的半径． 解：如图，连接OB， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°， ∵AB＝AC＝13，AD＝12，∴BD＝ 设OA＝OB＝x，则OD＝12－x， 在Rt△OBD中，OD2＋BD2＝OB2，∴(12－x)2＋52＝x2， 举一反三 返回 8. 用反证法证明时，假设的结论“点在圆内”不成立，那么点与圆的位置关系只能是(　　) A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆外 D 举一反三 返回 9. 用反证法证明：如果a＋b>0，那么a，b中至少有一个大于零． 证明：假设a，b都不大于零，即a≤0，b≤0， 因为两个非正数相加还是非正数，所以a＋b≤0， 这与已知条件a＋b>0矛盾，所以假设不成立． 所以a，b中至少有一个大于零． 举一反三 23 返回 10. [石家庄期中]如图，已知点O是△ABC的外心，连接OA，OB，OC.若∠1＝40°，则∠BAC的度数为(　　) A．20° B．30° C．40° D．50° D 举一反三 24 返回 11. 平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆n个，则n的值不可能为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 C 举一反三 25 返回 12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，6)，点B为平面内不在y轴上的一点，且AB＝10，△ABO外接圆圆心的坐标为C(x，y)． (1)若点B恰在x轴的正半轴上，则点C的坐标为__________； (2)x的取值范围是______________． (4，3) x≥4或x≤－4 举一反三 26 13. 如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C(小正方形的边长均为1)． (1)请求出该圆弧所在⊙P的圆心坐标和半径； 返回 解：连接AB，BC，分别作出AB与BC的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心．如图所示： 由图可知P(2，－1)． 在Rt△AEP中，AE＝2，PE＝4，由勾股定理可知， 举一反三 (2)判断点M(－1，1)与⊙P的位置关系． 返回 解：连接PM，∵点M(－1，1)， 举一反三 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 1.圆的确定 存在性：总能找到两条垂直平分线的交点O，以O为圆心到任意一点的距离为半径画圆，该圆经过三个点. 唯一性：两条垂直平分线的交点唯一，因此这样的圆只有一个. 课堂小结与知识梳理 2.三角形外接圆、外心 一个三角形有一个外接圆 而一个圆有无数个内接三角形， 过圆上任意三点都能画一个三角形 外心：三边垂直平分线交点 谢谢观看 THANKS ＝＝5， ∴x＝，即△ABC的外接圆的半径为. AP＝＝2 .即⊙P的半径为2 . ∴PM＝＝， ∵<2 ，∴点M在⊙P内． $