29.1 第2课时三角形的外接圆&第3课时反证法-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十九章圆 第2课时」 三角形的外接圆 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.有下列命题：①经过三点可以作一个圆；②一个圆有且只有一个内接三角形；③一个三角形有 且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；⑤直角三角形的外心是 三角形斜边的中点.其中，真命题的个数是 () A.4 B.3 C.2 D.1 2.如图，点A,B,C,D均在直线L上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个 数为 （) A.4 B.6 C.8 D.12 P. 0 ABD一 (第2题) (第3题) 3.如图，⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O.若∠A=60°，∠B=75°，则AB的长为 4,如图，在5×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1. (1)画△ABC的外接圆圆心O. (2)求△ABC的外接圆的半径 (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长均为1，点A,O在格线的交点上. 若在方格纸格线的交点上存在B,C两点，使得△ABC的外心为点O,则BC 的长为 ( A.4 B.5 C.√10 D.25 (第5题) 6.若过平面直角坐标系中的三个点A(1,0),B(0,2),C(一1，m)能确定一个圆，则m≠ 7.易错题已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,半径OB=5cm,圆心O到BC的距离为3cm,求AB 的长 “答案与解析”见P52 85 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 第3课时 反证法 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.用反证法证明命题“已知在△ABC中，AB=AC,则∠B<90°”时，首先应该假设 () A.∠B≥90 B.∠B>90 C.AB≠AC D.AB≠AC且∠B≥90° 2.用反证法证明命题“如果a>b>0,那么√a>√b”的第一步应假设 3.用反证法证明“已知△ABC的三边长为a,b,c(a≤b<c),若a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三 角形”时，应先假设 4.用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 求证： (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 5,用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角不大于60”时，首先应假设这个三角形中() A.没有一个内角不小于60° B.没有一个内角不大于60° C.所有内角不大于60 D.所有内角不小于60° 6.用反证法证明“任意三角形的三个外角中至多有一个直角”时，应假设 7.如图，在△ABC中，点D,E分别在AC,AB上，BD,CE相交于点O.求证：BD和CE不可能互 相平分（用反证法）. (第7题) 且已知实数a,6cmn满足m十n-名m=会 (1)当a>0时，求证：b≥2c (2)若m,n为正整数，且十为奇数，请用反证法证明：m,m至少有一个为奇数 86 >“答案与解析”见P52述，∠OCP的度数为100°或20°. B ① ② (第10题) 第2课时三角形的外接圆 1.B经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故命题 ①是假命题：一个圆有无数个内接三角形，故命题②是假 命题；一个三角形有且只有一个外接圆，故命题③是真命 题；三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，故命 题④是真命题；直角三角形的外心是三角形斜边的中点， 故命题⑤是真命题.故真命题的个数是3. 2.B:不在同一直线上的三个点确定一个圆，∴.过以下 三点可以画出一个圆：A,B,P:A,C,P:A,D,P;B,C,P; B,D,P;C,D,P..最多可画出圆的个数为6 3.2√2在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=75°， ∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=45°.连接OA,OB, OC,则OA=OB=OC=2.∴.∠OAC=∠OCA,∠OBC ∠OCB.:'∠OCA+∠OCB=∠ACB=45°，.∠OAC+ ∠OCA+∠OBC+∠OCB=90°.又∠OAC+∠OAB+ ∠OBA+∠OBC+∠OCA+∠OCB=180°，.∴.∠OAB+ ∠OBA=90°..∠AOB=90°.∴.在Rt△AOB中，由勾股 定理，得AB=√OA2十OB2=2√2. 4.(1)如图，点O即为所求.(2)如图，过点O作OH⊥ BC于点H,连接OB.在Rt△OBH中，OH=2,BH= 号，由勾脱定里，得OB=昏.△A1议的外接圆的半 径为②6 2· -0 H (第4题) 5.D.△ABC的外心为点O,.OB=OC=OA..OA= √2+3=√10，∴.OB=OC=√10.B,C是方格纸格 线的交点，∴点B,C的位置如图所示.∴.C=√2十4平= 25. (第5题) 6.4A(1,0),B(0,2),∴.易知直线AB对应的函数解 析式为y=-2x十2..当x=-1时，y=-2×(-1)十 2=4.:不在同一条直线上的三个点确定一个圆，∴点C 不在直线AB上，即m≠4.∴.当m≠4时，过平面直角坐标 系中的三个点A(1,0),B(0,2),C(一1，m)能确定一个圆. 7.如图①，当△ABC是锐角三角形时，连接AO并延长， 交BC于点D.AB=AC,点O为△ABC的外心，.ADL BC.∴.OD=3cm.在Rt△BOD中，：OB=5cm,OD= 3cm,∴.BD=√OB2-OD=√52-3=4(cm).OA= OB=5cm,∴.AD=OA+OD=8cm.∴.在Rt△ABD中， 根据勾股定理，得AB=√BD+AD=√4？+8= 4W5(cm).如图②，当△ABC是钝角三角形时，连接AO交 BC于，点D.同理可得BD=4cm,AD=OA-OD=2cm, ∴.在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB=√BD+AD= √4+2=2√5(cm.综上所述，AB的长为25cm或 4√5cm. ① ② (第7题) 易错警示 圆内接三角形常见圆心位置疏漏 解决圆与圆内接三角形的综合应用题时，对于无图 类的问题，易因不分类讨论圆心与三角形的相对位置而 致错 第3课时反证法 1.A“∠B<90”的反面是“∠B≥90” 2.√a≤石“√a>b”的反面是“a≤b” 3.△ABC是直角三角形“△ABC不是直角三角形”的反 面是“△ABC是直角三角形”. 4.求证：∠ACD=∠A+∠B.证明：假设∠ACD≠∠A十 ∠B.∠ACD+∠ACB=180°，..∠ACD=180° ∠ACB.:∠A+∠B+∠ACB=180°，∴.∠A+∠B 180°-∠ACB..∠ACD=∠A+∠B.这与假设∠ACD≠ ∠A+∠B矛盾，故假设不成立.∴.∠ACD=∠A十∠B. 5.B“至少有一个内角不大于60”的反面是“没有一个内 角不大于60”. 6.三角形的三个外角中至少有两个直角“至多有一个直 角”的反面是“至少有两个直角”. 7.连接DE,假设BD和CE互相平分，∴.四边形EBCD 是平行四边形.∴.BECD.:在△ABC中，点D,E分别 在AC,AB上，∴.BE,CD相交于点A,即AB不可能平行 于AC,与BECD矛盾，故假设不成立.∴.BD和CE不可 能互相平分 8.(1)(m-n)2≥0，∴.m2-2mm十n2≥0..m2十 n2≥2m.么≥2X5.:a>0.b≥2c.(2)假设 a m,n都为偶数.不妨设m=2p,n=2g,则m2十n2=42+ 4g,m=4pg,.6+S=2+二=m2+n2+m=4p2+ 4g十4网.可知4p十4g+4加为偶数，即十为偶数，这 与十S为奇数相矛盾，故假设不成立.·m,n至少有一个 为奇数 29.2圆的有关性质 第1课时垂直于弦的直径 1.D连接OC.弦CD垂直平分半径OA,∴.AE= OE,AC=OC.,∴.OB=OA=2AE.,∴.BE=OB十OE= 3AE.故①正确.AB⊥CD,∴.CE=ED.故②正确， OC=OA,.△AOC是等边三角形.∴∠AOC=60°. OB=OC,∴.∠B=∠OCB..∠B+∠OCB=∠AOC= 60,∴∠B=30.∴在Rt△BCE中，CE=BC.·BC= 2CE.故③正确.∴.正确的个数是3. 2.C连接OA,设⊙O的半径是r,则OE=OD一DE= r一4.CD⊥AB,.AE=BE=8.,在Rt△AOE中， OA2=OE2+AE,.∴.r2=(r一4)2+82..∴.r=10..∴.CD= 2r=20. 5 3.3如图，过点O作OM⊥AB于点M,此时线段OM的 长最短，连接OA.:QMLAB,AM=AB=号×8= 4.∴.在Rt△AMO中，由勾股定理，得OM= √OA2-AM=√5-4=3.∴.线段OM长的最小值 为3. (第3题) 4.(1)OE⊥AB,.CF=DF.OA=OB,OE⊥AB, ∴AF=BF.∴.AF-CF=BF-DF,即AC=BD. (2)连接OC,设⊙0的半径是r..OF=2EF,OF+ EF-OEOCD-CF-CD :在Rt△COF中，OC2=CF2+OF2,∴.r2=42+ (侵)，架得r=125(负值舍去.小00的直径 5 是46 5· 方法归纳 垂径定理在基本图形计算中的 “四变量”“两关系 1.四变量：设弦长为a,圆心到弦的距离（弦心距） 为d,半径为r,孤的中点到弦的距离（弓形高）为h,这四 个变量知其中任意两个即可求其他两个. 2两关系：1)（受）+d2=2;(2)h+d=r 5.D如图，过点O作OK⊥AB于点K,连接OA,则AK= BK-2AB-12cm.AM-MN-BN-AB-8cm, .易得OK=MK=2MN=4cm..在R△A0K中，由 勾股定理，得OA=√AK2+OK=√12十4平= 4√10(cm)..该干果盘的直径为8√10cm. 0 (第5题)