29.1.1 圆的有关概念 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册 **29.1.1 圆的有关概念** 专项练习（约1500字） --- ## 一、知识梳理 **1. 圆的定义：** 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一端点 A 所形成的图形叫做**圆**。定点 O 叫**圆心**，线段 OA 叫**半径**。也可理解为：**到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的集合**。 **2. 圆的相关概念（必记）：** - **弦**：连接圆上任意两点的线段； - **直径**：经过圆心的弦（是**最长的弦**，等于半径的 2 倍）； - **弧**：圆上任意两点间的部分。**优弧**（大于半圆）、**劣弧**（小于半圆）； - **半圆**：直径的两个端点分圆成的两条弧； - **等圆**：半径相等的圆（能完全重合）； - **等弧**：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧； - **同心圆**：圆心相同、半径不同的圆。 **3. 点与圆的位置关系：** 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d： - 点**在圆内**：d < r； - 点**在圆上**：d = r； - 点**在圆外**：d > r。 **4. 弦与弧的关系易混点：** 直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆。 --- ## 二、基础过关（概念识别） **1. 填空：** （1）圆上任意两点间的部分叫做____； （2）经过圆心的弦叫做____，它是____的 2 倍； （3）半径相等的两个圆叫做____。 **2. 判断下列说法是否正确：** （1）直径是弦，弦也是直径； （2）半圆是弧； （3）等弧一定在等圆中； （4）以定点为圆心、定长为半径的圆有无数个。 **3. 下列图形中，表示圆的是（　）** A. 一段弯曲的线　B. 封闭的圆环　C. 圆周上的若干点　D. 以上都不对（须所有点到圆心距离相等） --- ## 三、能力提升（点与圆的位置关系） **4. 已知圆的半径为 4 cm，点 P 到圆心的距离 d 分别为：** （1）d = 3 cm，点 P 在圆的____； （2）d = 4 cm，点 P 在圆的____； （3）d = 5 cm，点 P 在圆的____。 **5. 已知 ⊙O 的半径为 5，点 A 到圆心 O 的距离 OA = 5，则点 A 在⊙O 的____；若 OB = 6，则点 B 在⊙O 的____；若 OC = 4，则点 C 在⊙O 的____。** **6. 判断：若一个点到圆心的距离等于半径，则该点一定在圆上。是否正确？为什么？** --- ## 四、综合应用（概念应用与计算） **7. 如图，⊙O 的直径为 10 cm，弦 AB = 8 cm，求圆心 O 到弦 AB 的距离。（提示：作弦心距构造直角三角形）** **【点拨】** 连接 OA，作 OC⊥AB 于 C，则 C 是 AB 中点，AC = 4 cm；OA = 5 cm。在 Rt△OAC 中，OC = √(OA²−AC²) = √(25−16) = 3 cm。 **8. 已知 ⊙O 的半径为 6，点 P 在圆内，则 OP 的取值范围是____；点 P 在圆上，则 OP = ____；点 P 在圆外，则 OP ____。** **9. 圆的半径为 r，其直径是____；若直径为 12，则半径 r = ____。** **10. 判断：优弧和劣弧的分界是什么？半圆是优弧还是劣弧？** --- ## 五、易错辨析（改错） **11. 指出错误并改正：** 小明说：“直径是最长的弦，所以所有直径都相等。” **答：** 前半句正确，后半句不严谨。同一圆（或等圆）内，所有直径都相等；但**不同圆**的直径一般不相等。应强调“在同圆或等圆中，直径相等”。 **12. 判断：弦、弧、直径、半径中，既属于弦又属于直径关系的是哪个？半圆是弦吗？** **13. 判断：圆心相同但半径不同的两个圆，是不是同心圆？等圆和同心圆有什么区别？** --- ## 六、挑战题（压轴） **14. 已知 ⊙O 的半径为 5，点 A 在圆上，点 B 在圆内，且 OA⊥OB，OB = 3。求弦 AB 的长，并判断点 A、B 与圆的相对位置。** **15. 如图，在⊙O 中，直径 AB = 10，弦 AC = 8，求弦 BC 的长。（提示：AB 是直径，∠ACB = 90°，用勾股定理。）** **16. 综合题：** 平面上有到点 O 距离等于 4 cm 的所有点组成的图形是什么？到点 O 距离小于 4 cm 的点组成的区域是什么？等于 5 cm 呢？ --- ## 参考答案 1.（1）弧；（2）直径，半径；（3）等圆。 2.（1）错，弦不一定是直径（只有过圆心的弦才是直径）；（2）对；（3）对；（4）对（以同一圆心、同一半径只能作一个圆，但不同圆心可作无数个）——第（4）题注意：定点、定长确定唯一一个圆，故“有无数个”错误，正确答案应为“只能确定一个圆”。 3. D（圆是到圆心距离都等于半径的所有点，须说明）。 4.（1）内；（2）上；（3）外。 5. A 在圆上；B 在圆外；C 在圆内。 6. 对，这正是圆的定义（圆上点满足 d=r）。 7. OC = 3 cm。 8. 0 ≤ OP < 6；OP=6；OP > 6。 9. 直径 = 2r；r = 6。 10. 分界是直径（直径的两个端点把圆分成两条弧，即两个半圆）；半圆既不是优弧也不是劣弧，它等于圆的一半。 11. 见点拨：应强调“同圆或等圆中直径相等”。 12. 直径既是弦又是最长的弦，但它是直径（特殊弦）；半圆是弧，不是弦。 13. 是同心圆；等圆要求半径相等（圆心可不同），同心圆要求圆心相同（半径不同）。 14. 连接 OA=5，在 Rt△OAB 中 AB = √(25+9) = √34；点 A 在圆上（OA=5），点 B 在圆内（OB=3<5）。 15. 由 AB 为直径，∠ACB=90°，BC = √(AB²−AC²) = √(100−64) = 6。 16. 到 O 距离等于 4 cm 的点组成圆（半径 4）；小于 4 cm 的组成圆内区域（不含圆周）；等于 5 cm 的组成半径为 5 的另一个圆。 --- **说明：** 本练习紧扣 29.1.1「圆的有关概念」——圆的定义、弦/直径/弧/优弧劣弧/等圆等弧/同心圆、点与圆的位置关系，基础到综合共 16 题、约 1500 字。第 2 题第（4）小题特意设计为易错辨析。需要我把圆的概念、点与圆位置关系做一张总结表，或继续下一节内容吗？ 人教版（新教材）数学九年级上册 29.1.1 圆的有关概念 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/18 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第29章 圆 观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形. 导入新知 骑车运动 看了此画，你有何想法? 导入新知 【思考】车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可以吗？ 还记得如何用圆规画圆吗？试一试 环节一 探究圆的定义 圆规的两脚一个固定不动，另一个绕着固定点旋转一周，这样就画出了圆。 固定不动的点是圆的圆心， 圆规两脚间的距离是半径 O 半径 在画的过程当中需要注意什么？ 如果没有圆规，但有一根钉子，一段棉线和一支铅笔，你能用这三样工具画圆吗？试一试 环节一.探究圆的定义 方法：将棉线一段系在钉子上并固定，棉线另一端系在铅笔上，拉紧棉线，让铅笔绕着钉子旋转一周，这样就画出了圆 钉子要固定表示圆心， 棉线要拉直表示半径 O 半径 一个线段，固定一个端点，线段绕其另端点旋转一周形成封闭曲线 固定的点是圆心， 固定线段是半径； 圆的定义 组织学生动手操作，用圆规画圆，老师用棉线演示画图过程，引导学生观察画圆的过程 5 环节一.探究圆的定义 归纳 动态 O · A 在一个平面内，一条线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。 圆的旋转定义 圆的表示 以点O为圆心的圆， 记作“⊙O”，读作“圆O” 二是半径， 半径确定其大小 确定圆的要素 一是圆心， 圆心确定其位置 环节一.探究圆的定义 ♦点A、B、C、D、E是圆O上点，这些点到圆心的距离有什么特点？ O A B C D E ♦如果点F与O点距离等于半径，点F在圆上吗？ →OA=OB=OC=OD=OE=半径 →圆O上点到圆心的距离都等于半径 F →点F在圆上 →到圆心的距离都等于半径的点都在圆O上 学习活动 测量圆上点到圆心的距离 活动结论: 将圆看为无数个点组成的图形，那么这些点到圆心的距离相等，到圆心距离相等的点在圆上 学生测量圆上点到圆心的距离， 7 圆的集合定义的要点 归纳 静态 平面内到定点 (O) 的距离等于定长 (r) 的所有点组成的点的集合是以定点O为圆心，定长r为半径的圆. 圆的集合定义 ♦圆上各点到定点的距离等于定长 ♦到定点的距离等于定长的点都在圆上 O 环节一.探究圆的定义 A r 圆心 半径 环节一.探究圆的定义 圆是一条封闭的曲线，而不是“圆面”，圆上的点”指的是“圆周上的点” 圆面 圆周 圆周上的点 注意 环节一.探究圆的定义 众多记载表明，我们的祖先很早就能从具体事物中抽象出纯粹的形的几何概念，并会用规和矩这些工具绘制它们．如战国时的《墨子》中记载着 “圆，一中同长也”，即圆上各点到圆心的距离都相等；还记载着 “圆，规写交也”，即用圆规画图，使其两端相交便形成一个圆． 圆的定义溯源 《墨子》科学几何内容简介 1.给出圆、正方形、直线、平面等最早的定义； 2. 涉及点、线、面、体等基础几何元素； 3. 还有小孔成像、杠杆原理等物理学成果，是我国先秦少有的自然科学文献。 墨子 1. 返回 下列条件中，能确定唯一一个圆的是(　　) A．以点O为圆心 B．以3 cm长为半径 C．以点O为圆心，3 cm长为半径 D．经过已知点A C 举一反三 11 返回 2. 【新考向 传统文化】战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离都________． 相等 举一反三 返回 3. [教材P115例题变式]如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A，B，C，D四点在同一个圆上． 证明：连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD， 则OA＝OC＝ AC. 又∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴ ∴OB＝OA＝OC＝OD， ∴A，B，C，D四点在同一个圆上． 举一反三 O r 环节二：点与圆的位置关系 ♦观察：平面上画了圆后，平面被圆分成几部分，相应地，平面内的点与圆有几种位置关系？ 平面被圆分成三部分 圆外 圆内 圆上 平面内的点与圆有三种位置关系 点C在圆内 点A在圆上 点B在圆外 B C A OC ＜ r OA = r OB ＞ r 环节二：点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 归纳 设O的半径为r， 任意一点P到圆心的距离OP=d， 类似于用点到圆心的距离刻画点在圆上，可以用点到圆心的距离刻画点在圆外、点在圆内 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 d d d r P d P r d P r d ＜ r r = ＞ r 环节二：点与圆的位置关系 点和圆的位置关系 归纳 设O的半径为r， 任意一点P到圆心的距离OP=d， 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ r P d P r d P r d d ＜ r d r = d ＞ r 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 点和圆的位置关系 归纳 设O的半径为r， 任意一点P到圆心的距离OP=d， 环节二：点与圆的位置关系 r P d P r d P r d d ＜ r d r = d ＞ r 点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外 符号“⇔ ”读作“等价于”， 它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 环节三：认识圆的基本线段元素 如图，A、B、C圆上三点， O C B A ＊连接圆上任意两点的线段叫做弦. ＊特别的，经过圆心的弦叫做直径. 连接圆上两点A、C，所得线段成为弦AC 1.圆的基本线段——弦与直径 注意： 1. 弦和直径都是线段； 2. 直径是特殊的弦，它经过圆心，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径. 3.直径作法：过圆心画直径AB 直径 连接圆上两点A、B，且过圆心O所得线段成为直径AB. 18 环节三：认识圆的基本线段元素 直径和弦的关系是什么？一条直径对应几条半径？同圆中直径和半径的数量关系？ ＊直径是特殊的弦，弦不一定是直径； ＊直径是圆内最长的弦； ＊ 1条直径=2条半径； ＊同圆中直径长度是半径的2倍。 思考 O C B A 判断 ： ①弦是直径. （ ） ②直径是最长的弦.（ ） ①错误，只有过圆心的弦才是直径； ②正确，圆内所有弦中直径最长。 环节四：认识圆的弧类元素 （1）弧的定义： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 O A C B 以 A、B 为端点的弧记作 读作“圆弧 AB”或“弧 AB” 2. 弧的类型 （2）半圆 直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做优弧． 小于半圆的弧（用两个字母表示，如图中的 　 ）叫做劣弧． （3）优弧与劣弧 思考 半圆是优弧或劣弧吗？优弧和劣弧的区别是什么？ 半圆既不是优弧也不是劣弧； 劣弧长度小于半圆，优弧长度大于半圆，书写字母数量不同。 结合圆形教具，演示圆上两点间的曲线部分， 20 环节四：认识圆的弧类元素 3.等圆、等弧概念： 等圆： 能够完全重合的两个圆是等圆（半径相等）； 注意：等圆只与半径的大小有关,与圆心的位置无关. 等弧： 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧。 思考 长度相等的弧是等弧吗？ 如图，如果弧AB 和弧CD 的拉直长度都是 10 cm，移动并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？ 注意： 等弧是全等的，而不仅仅是弧长相等； 等弧的弧长相等，但弧长相等的弧不一定是等弧. “等弧”≠“长度相等的弧”  例题讲解 例1 矩形ABCD的对角线AC，BD，相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上. 证明：∵ 四边形ABCD为矩形 ∴ OA=OC= AC，OB=OD= BD，AC=BD ∴ OA=OC=OB=OD ∴ A，B，C，D四个点在以点O为圆心， OA为半径的圆上.  例题讲解 例2 如图，两个等圆和相交于A，B两点，的延长线交于点C，若，求的度数 解：连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 返回 4. .已知⊙O的半径OA的长为2，若点O，B间的距离为3，则得到的图形可能是(　　) A 举一反三 已知⊙O的半径为4 cm，A为线段OP的中点，当OP＝6 cm时，点A与⊙O的位置关系是(　　) A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定 返回 5. A 举一反三 已知⊙O的半径为4，若点P在⊙O内，则OP ______ 4.(填“＞”“＝”或“＜”) 返回 6. ＜ 举一反三 返回 7. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD是高线． (1)以点A为圆心，3为半径作⊙A，则点B，D，C与⊙A的位置关系如何？ 解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4∴BC＝5. ∵S△ABC＝ ∴AD＝ .∵半径r＝3，∴AB＝r，AD＜r，AC＞r， ∴点B在⊙A上，点D在⊙A内，点C在⊙A外． 举一反三 返回 (2)若以点A为圆心作⊙A，使点D在圆内，点C在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 解：∵点D在圆内，点C在圆外， ∴AD＜r＜AC， 由(1)知AD＝ . 又∵AC＝4，∴ ＜r＜4. 举一反三 返回 8. 下列由实线组成的图形中，为半圆的是(　　) B 举一反三 返回 9. 如图，点A，O，D，点C，D，E以及点B，O，C 分别在一条直线上，则图中弦的条数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 A 举一反三 30 返回 10. 下列说法正确的是(　　) A．优弧的长一定大于劣弧的长 B．以圆心为一个端点的线段是半径 C．半径相等的两个半圆是等弧 D．不同的圆中，不可能有相等的弦长 C 举一反三 31 返回 11. 如图，在⊙O中，AB是直径，C，D，E三点都在⊙O上，则： (1)OC______OD______OE； (2) (3)弦CD所对的弧有____________． ＝ ＝ ＜ ＝ 举一反三 32 返回 12. 在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法不正确的是(　　) A．当a<5时，点B在⊙A内 B．当1<a<5时，点B在⊙A内 C．当a<1时，点B在⊙A外 D．当a>5时，点B在⊙A外 A 举一反三 33 13. 如图，点A，N在半圆O上，四边形ABOC、四边形DNMO均为矩形，BC＝a，MD＝b，则a，b的关系为(　　) A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a≤b B 返回 举一反三 14. 如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，那么AP＝(　　) A．2.5 B．5 C 返回 举一反三 15. 如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点，若点A，B关于原点O对称，则AB的最大值为(　　) A．13 B．14 C．12 D．28 D 返回 举一反三 16. 已知：如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD的中点，AF与BE交于点G. (1)线段AF与BE有何关系？说明理由； 返回 解：AF＝BE且AF⊥BE. 理由如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝AB，∠BAD＝∠D＝90°. ∵E，F分别是AD，CD的中点， ∴AE＝ AD，DF＝ CD，∴AE＝DF， 举一反三 ∴△ABE≌△DAF(SAS)， ∴BE＝AF，∠AEB＝∠AFD. 易得∠DAF＋∠AFD＝90°， ∴∠DAF＋∠AEB＝90°， ∴∠AGE＝90°，∴AF⊥BE. 返回 举一反三 (2)若延长AF，BC交于点H，则B，D，G，H这四个点是否在同一个圆上？说明理由． 返回 解：B，D，G，H这四个点在同一个圆上． 理由如下：如图，连接CG. 易知∠D＝∠FCH＝90°，DF＝CF，∠AFD＝∠HFC， ∴△ADF≌△HCF(ASA)，∴AD＝CH. 又∵AD＝BC，∴BC＝CH. 举一反三 易知△BGH是直角三角形． 在Rt△BGH中，GC＝ BH，∴CB＝CG＝CD＝CH， ∴B，D，G，H这四个点在以点C为圆心，BC的长为半径的 圆上，即点B，D，G，H这四个点在同一个圆上． 返回 举一反三 1.圆的定义 圆的集合定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 圆的旋转定义：在平面内，线段 OA绕着它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA的长 r 叫做半径．以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O” 读作“圆 O”. 课堂小结与知识梳理 位置关系 点在圆内 点在圆上 点在圆外 图示 对应关系 点在圆内 d < r 点在圆上 d = r 点在圆外 d > r 2.点与圆的位置关系 课堂小结与知识梳理 有关 概念 直径是圆中最长的弦 弧 半圆是特殊的弧 劣弧 半圆 优弧 弦（直径） 3.与原有关的元素 课堂小结与知识梳理 谢谢观看 THANKS OB＝AC，OD＝AC. AD·BC＝AB·AC， 和 ______，______；　 C．10－5 D．10 －5 $