29.1.2 过三点的圆 第2课时 反证法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十九章 圆 29.1.2 过三点的圆 第2课时 反证法 目 录 1. 学习目标 4. 知识点 反证法 5. 课堂小结 6. 当堂小练 CONTENTS 7. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 通过实例体会反证法的含义，感悟数学论证的逻辑，发展推理能力. 学习目标 知识回顾 确定圆的条件 (2) 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. (1) 已知圆心、半径，可以确定一个圆 . 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形 . (1) 定义： 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心 . (2) 性质： 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于三角形外接圆的半径. 三角形的外接圆 三角形的外心  新课导入 我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆. 那么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？ A B C l 新课讲解 知识点 反证法 如图，假设经过同一条直线 l上的A，B，C三点可以作一个圆. 设这个圆的圆心为P， 那么点P 既在线段AB的垂直平分线l1上， 又在线段BC的垂直平分线l2上， 即点P为l1与l2的交点. 而l1⊥l，l2⊥l， 这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾. 所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆． l1 l2 P A B C l 这个证明过程与我们之前学习的有什么不同？ 它不是直接去证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设（即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆），再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 新课讲解 先提出与命题结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 这种方法叫作反证法. ② ③ ① 这也是用反证法证明命题的一般步骤. 反证法 反证法适用情形： (1) 当一个命题从正面不容易证明时，常常采用反证法； (2) 当原命题结论的反面不止一种情况时，必须把所有情况一一否定，才能得出原命题成立. 新课讲解 用反证法证明命题的一般步骤 (1) 否定结论：假设命题的结论不成立； (2) 推出矛盾：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； (3) 肯定结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确. 常见的有三种类型： 与定义、基本事实、定理、性质、推论相矛盾； 与已知条件相矛盾；自相矛盾(与假设相矛盾) 反证法中常用的结论词与反设词 结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 最多有一个 至少有两个 至少有n 个 最多有(n-1)个 最多有n 个 至少有(n+1)个 都是 不都是 一定是 不一定是 新课讲解 回顾之前学习的平行线的性质 “两直线平行，同位角相等”，由 “两直线平行” 直接推导 “同位角相等” 比较困难，可以采用反证法. 如图 ，我们要证明：如果AB∥ CD，那么∠1=∠2. 假设∠1≠∠2，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠2. 根据 “同位角相等，两直线平行”，可得A'B'∥ CD. 这样，过点O就有两条直线AB，A'B'都平行于CD， 这与基本事实 “过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行” 矛盾. 这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2. 新课讲解 例 1. 用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角. 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角. 求证：∠A，∠B，∠C是中不能有两个角是直角. 证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　， 设　　　　　　　　. 则　　　　　　　　　　. 这与　　　 　　　　　　相矛盾，所以假设不成立． 因此，　　　　　　　　　　　　　　　　　． ∠A，∠B，∠C中能有两个角是直角 ∠A=∠B＝90° 三角形的内角和为180° 一个三角形中不能有两个角是直角 ∠A+∠B+∠C >180° 新课讲解 例 正确的顺序应为 ( ) D A. ①②③ B. ①③② C. ③②① D. ③①② 2. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ，这与三角形的内角和为 相矛盾，所以 不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，， 中有两个直角，不妨设 . 新课讲解 练一练 三角形的三个内角都大于60° 1. 用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不大于60°”时，第一步应假设：_________________________ 新课讲解 练一练 2. 利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角. 证明：假设△ABC中有两个角是钝角，不妨设∠A，∠B为钝角，则∠A+ ∠B>180°，这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立. 因此，原命题成立. 课堂小结 反证法 先提出与命题结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 常见结论词的否定形式对照表 结论词 是 都是 大 (小) 于 能 相等 至少有一个 至多有一个 否定 形式 不是 不都是 不大 (小) 于 不能 不相等 一个也没有 至少有两个 当堂小练 D A. 假设三个外角都是钝角 B. 假设三个外角中至少有一个钝角 C. 假设三个外角中至多有两个钝角 D. 假设三个外角中至多有一个钝角 1. 用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是 ( ) 当堂小练 D A. B. 点在 的外部 C. 点在 上 D. 点在上或点在 的内部 2. 用反证法证明“若的半径为，点到圆心的距离 大于，则点在 的外部”，首先应假设 ( ) 当堂小练 B A. 两点确定一条直线 B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条 C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条 D. 垂直的定义 3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与 ( ) 矛盾. 当堂小练 4. 在△ABC中，AB=AC，求证：∠B<90°. (用反证法证明) 证明：假设∠B 90°. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∴∠C+∠B ≥180°. ∴∠A+∠B+∠C 180°，这与三角形内角和定理相矛盾. ∴假设不成立. ∴∠B 90°. 当堂小练 A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆外 5. 用反证法证明时，假设结论“点在圆内”不成立，那么点与圆的位置关系只能是 ( ) D 当堂小练 6. 用反证法证明命题“在中，，则” 时，首先应该假设 ( ) C A. B. 且 C. D. 且 解：反证法证明命题时，首先提出与命题的结论相反的假设. 原命题的结论为，相反的假设为， 首先应该假设 . 7. 如图，在同一平面内，已知 直线于点， 与直线相交（不垂直）于点. 求证：与 必相交. 证明：假设与 不相交，则____//____. ， ， 这与与直线 不垂直相矛盾. 假设与 不相交________. 与 ________. 当堂小练 不成立 必相交 解：已知：如图，，，都被 所截. 求证： . 证明：假设 . ， . ， ，这和平角为 矛盾. 假设 不成立，即 . 当堂小练 8. 用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补. 当堂小练 9. 如图，AB，CD是⊙O内两条非直径的弦. 求证：AB与CD不能互相平分. 证明：如图，设AB，CD相交于点P，连接OA，OB，OP. 假设AB与CD能互相平分. ∵在△OAB中，OA=OB，∴△OAB是等腰三角形. ∵AP=BP，∴OP⊥AB，同理OP⊥CD， 这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， ∴假设不正确，∴AB与CD不能互相平分. P 拓展与延伸 1. 设，，是不全相等的任意整数，若 ，，.求证：，， 中至少有一个大于零.（用反证法） 证明：假设，， . ，， ， . ，， ， ，， . ，这与，， 是不全相等的任意整数相矛盾. ，， 中至少有一个大于零. 拓展与延伸 2. 如图，在中，，是 的平分线，是边上的中线.用反证法证明点与点 不重合. 证明：假设点与点重合.如图，延长到 ，使，连接 . 是边上的中线， . 又， ， . ， 是的平分线， ，这与相矛盾. 点与点重合是错误的. 点 与点 不重合. $