第三章《圆》单元复习课 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

新版北师大数学九年级下册 第三章 圆 单元回顾与思考 复习目标 知识目标 能力目标 素养目标 梳理圆的基本性质、位置关系、相关计算三大板块知识，构建完整的知识网络 能综合运用垂径定理、圆周角定理、切线性质与判定解决几何证明与计算问题，提升几何推理与综合解题能力 体会数形结合、转化、方程、分类讨论等数学思想，发展几何直观与逻辑推理素养 目录 典例精选 知识网格 复习目标 思想方法 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 知识网格 1.举例说明圆的轴对称性和中心对称性在生活中的应用 2.举例说明垂径定理在现实生活中的应用 3.圆周角定理及其推论包含哪些内容？你是怎么证明这些结论的？ 4.怎样刻画点与圆、直线与圆的位置关系？ 5.你对圆内接正多边形有哪些认识？对作圆内接正方形和正六边形你有哪些经验？ 6.举例说明如何计算弧长，如何计算扇形的面积 7.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流 知识网格 典例精选 核心母题（课本复习题整合改编） 如图,AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在AB的延长线上，CF与⊙O相切于点C，连接AC、BC、OC.已知⊙O半径为5,CD=8 点与圆的位置关系 问题1:若点P到圆心O的距离分别为4、5、6，判断点P与⊙O的位置关系 ①题目来源：课本复习题第18题改编②考查知识点：点和圆的三种位置关系与数量特征 ⊙O半径r=5 d=4<5，点P在圆内 d=5=5，点P在圆上 d=6>5，点P在圆外 做题反思：点和圆的位置关系，本质是距离与半径的大小比较，体现数形对应思想 典例精选 问题2：已知CD⊥AB，CD=8，求BE的长和弦心距 题目来源：课本复习题第3题改编 考查知识点：垂径定理、勾股定理 解：连接OC ∵AB⊥CD，AB是直径 ∴CE=CD=4 在Rt△OCE中，OC=5 由勾股定理得：OE=3 ∴BE=2 做题反思：垂径定理常构造“半径+半弦+弦心距” 的直角三角形，用勾股定理建立方程求解 垂径定理的应用 典例精选 圆心角与圆周角 问题3：求∠CAB的度数，以及弧BC所对的圆心角度数 题目来源：课本复习题第7题改编 考查知识点：圆周角定理、直径对直角 解：∵AB是直径 ∴∠CEO=90° 在Rt△COE中，sin∠COE==， 可求对应角度∠COE=53° ∴∠ACB=26.5° 做题反思：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，直径所对圆周角是直角，是圆中角度计算的核心依据 典例精选 圆内接四边形 问题4:在圆上取一点D（与C在直径两侧）,四边形ACBD是圆内接四边形，若∠CAD=50°,求∠CBD的度数 题目来源：课本圆周角推论 考查知识点：圆内接四边形对角互补 解∵四边形ACBD内接于⊙O ∴∠CAD+∠CBD=180° ∵∠CAD=50° ∴∠CBD=130° 做题反思：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，是角度转化的常用工具 典例精选 切线的性质 问题5:CF是⊙O的切线，切点为C ①求证：OC⊥CF； ②若∠F=30°,求CF的长 解:∵CF是⊙O的切线,C是切点 ∴OC⊥CF（切线垂直于过切点的半径） 在Rt△OCF中，∠F=30°，OC=5 ∴OF=10，CF== 5 做题反思：见到切线，常连接切点与圆心，构造直角三角形，是圆中最常用的辅助线之一 典例精选 切线的判定 问题6：如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作AC的垂线,垂足为E,DE是⊙O的切线吗？为什么？ 解：DE是⊙O的切线，理由如下： 连接OD ∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C。 ∵ OB=OD，∴ ∠B=∠ODB ∴ ∠ODB=∠C，∴OD∥AC ∵ DE⊥AC，∴OD⊥DE 又D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线 做题反思：切线判定分两种思路：已知切点连半径证垂直，未知切点作垂直证半径 典例精选 切线长定理 问题7：连接FD,求证:FC=FD,且FO平分∠CFD 题目来源：课本切线长定理习题改编 考查知识点：切线长定理 证明：∵AB⊥CD ∴∠COE=∠DOE 在△COF与△DOF中 OC=OD, ∠COE=∠DOE,OF=OF ∴ △COF≌△DOF CF=DF，∠CF0=∠DFO 做题反思：从圆外一点引两条切线，切线长相等，连线平分夹角，常用来证线段相等、角相等 典例精选 三角形的外接圆与内切圆 问题8:Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4，BC=2 ，求它的外接圆半径和内切圆半径 题目来源：课本复习题第22题改编 考查知识点：三角形外接圆、内切圆半径计算 解： 外接圆：直角三角形外接圆直径为斜边，AB=10，外接圆半径R=5 内切圆：r=(AC+BC-AB)/2=(4 +2 -10)/2 =3 -5 做题反思：外接圆半径是斜边一半，内切圆半径可用面积法或切线长公式计算 巩固拓展 弧长与扇形面积 问题9:求弧BC的长度，以及扇形BOC的面积? 解:先求圆心角∠BOC，由sin∠BOC=4/5，设角度为53° 弧BC的长= 扇形BOC面积S== 题目来源：课本复习题改编 考查知识点：弧长公式、扇形面积公式 做题反思：扇形面积有两个公式，已知圆心角用第一个，已知弧长用第二个更简便 巩固拓展 圆内接正多边形 问题10:若⊙O半径为5，求它的内接正六边形的边长、中心角和边心距 解：连接OD ∵六边形ABCDEF为正六边形 ∴∠COD=360°÷6 =60° ∴△COD为等边三角形 ∴CD=OC=5 在Rt△COG中,OC=5,CG=BC=×5= ∴OG= 答：正六边形的中心角为60°，边长为5，边心距为. 做题反思：正六边形由六个等边三角形组成，边长等于半径，是最特殊的圆内接正多边形 巩固拓展 圆中常用辅助线 1.见弦：作弦心距，构造垂径定理直角三角形 2.见直径：连直径所对圆周角，构造直角 3.见切线：连切点与圆心，构造垂直证切线：有切点连半径证垂直，无切点作垂直证半径 4.两圆相切：连心线过切点 5.遇角度：转化为同弧所对的圆心角或圆周角 课外自学拓展知识： 1.圆的割线以及切割线定理 2.弦切角以及弦切角定理 3.相交弦定理 思想方法 1.数形结合思想位置关系与数量关系互推（点圆、线圆位置关系），图形性质与代数计算结合 2.方程思想垂径定理结合勾股定理列方程求半径、弦长，是圆中计算的核心方法 3.转化思想圆周角与圆心角互化、切线问题转化为直角三角形、弧长问题转化为比例问题 4.分类讨论思想点与圆、直线与圆的位置分类，弦在圆心同侧/两侧的多解情况 5.类比思想类比点和圆位置关系，研究直线和圆的位置关系；类比性质研究判定 当堂检测 当堂检测 1.如图,☉O是△ABC的外接圆,∠BAC的平分线交☉O于点D,交BC于点E,过点D作直线DF∥BC. 反思总结 1.本章我们学习了圆的哪些知识？你能画出完整的知识体系结构图吗？ 2.解决圆的综合题时，有哪些常用的辅助线？分别适用于什么场景？ 3.本章用到了哪些数学思想方法？对你解决几何问题有什么启发？ 作业设计 一、基础巩固作业： 复习题知识技能自选3题 二、素养类作业 1.细化绘制本章知识思维导图，梳理所有知识点与方法 2.整理3道你认为最经典的圆的题目，标注考点与解题反思 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. 解:(1)直线DF与☉O相切. 理由:连接OD.∵∠BAC的平分线交☉O于点D, ∴∠BAD=∠CAD,∴,∴OD⊥BC. ∵DF∥BC,∴OD⊥DF, ∴直线DF与☉O相切. (2)∵∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠C, ∴△ABD∽△AEC,∴, 即,解得BD=. (1)判断直线DF与☉O的位置关系,并说明理由; (2)若AB=6,AE=,CE=,求BD的长. $