3.3《直线和圆的位置关系》第3课时 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第三章 圆 第3课 直线和圆的位置关系 新版北师大数学九年级下册 第3课时 切线长定理 学习目标 1.通过过圆外一点作圆的两条切线的操作与证明，经历切线长定理的探究过程，体会轴对称与全等的几何推理方法 2.通过对切点位置的分析与尺规作图实践，梳理过圆外一点作圆的切线的方法，理解作图背后的几何原理 3.通过对直角三角形内切圆半径的推导与计算，运用切线长定理解决线段长度问题，完善切线相关的知识体系 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 如何利用切线间的关系解决圆中线段计算问题，并用尺规准确作出过圆外一点的圆的切线？ 工厂里用两根钢条从同一点固定一根圆形钢管，两根钢条都与钢管外表面相切 思考： 1.两根钢条的长度有什么关系？ 2.加工时，如何用尺规准确确定钢条与钢管的接触点（切点）？ 带着这些实际问题，我们继续深入研究圆的切线相关性质与作图方法 问题构建 问题1:圆的切线有什么核心性质？判定一条直线是圆的切线有哪些方法？ 性质：圆的切线垂直于过切点的半径； 判定： ①圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切； ②过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 追问1：过圆上一点，能作几条圆的切线？怎么作？ 1条.过该点作对应半径的垂线即可 追问2：猜一猜：过圆外一点，能作几条圆的切线？ 2条 问题构建 切线长的定义 概念：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 如图，过圆外一点A作圆O的两条切线，得到射线AB和AC，线段AB、AC的长度叫切线长 问题2:“切线长”和“切线”是一回事吗？有什么本质区别？ 不是一回事.切线是直线，无限延伸，无法度量长度；切线长是线段的长度，可以度量 问题构建 追问1：过圆外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A、B，先猜想一下PA和PB的长度有什么关系？ 猜想PA=PB 追问2:度量后，PA和PB的长度相等吗？ 追问3：∠APO 和∠BPO 的大小相等吗？ 问题构建 切线长定理证明 已知：PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B. 求证：PA=PB，∠APO=∠BPO 证明过程： 连接OA、OB ∵PA、PB是⊙O的切线 ∴OA⊥PA，OB⊥PB（切线的性质） ∴∠OAP=∠OBP=90° 在Rt△OAP和Rt△OBP中 ∵OA=OB，OP=OP ∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL） ∴PA=PB，∠APO=∠BPO 协作破冰 切线长定理归纳 文字语言： 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等 图形语言 补充结论： 这一点和圆心的连线,平分两条切线的夹角,且垂直平分两个切点之间的线段 符号语言： ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B ∴PA=PB，∠APO=∠BPO 协作破冰 圆外切四边形:四边形的四条边都与某个圆相切，这个四边形可以叫做圆外切四边形 问题3：四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？ 对边之和相等：AB+CD=AD+BC 追问：你能用切线长定理证明这个结论吗？ 设四边切点分别为M、N、P、Q，由切线长定理得AM=AQ，BM=BN，CN=CP，DP=DQ， 因此 AB+CD=AM+BM+CP+DP=AQ+BN+CN+DQ=AD+BC 问题构建 尺规作切线的方法 问题4：我们已经知道过圆外一点有两条切线，如何用尺规准确作出这两条切线？ 追问1：确定圆的切线还需要哪个点？这个点应该满足什么条件？ 需要确定切点；切点既要在圆上,又要满足半径与切线垂直,即切点对线段OP的张角是直角 追问2：回顾之前的知识，什么情况下线段所对的圆周角是直角？ 当线段是圆的直径时,它所对的圆周角是直角.因此切点应该在以OP为直径的圆上. 问题构建 尺规作图步骤 已知：⊙O和圆外一点P,求作：过点P的⊙O的切线 作法： 连接OP 作线段OP的垂直平分线,垂足为C 以点C为圆心,以CP的长为半径作弧,交⊙O于点A,B 作直线PA,PB 直线PA,PB就是所要作的切线. 协作破冰 作图原理分析 问题5：为什么这样作出的PA、PB就是圆的切线？ 证明： ∵OP是辅助圆C的直径 ∴∠OAP=∠OBP=90°（直径所对的圆周角是直角） ∴OA⊥PA，OB⊥PB 又∵OA、OB 是⊙O的半径 ∴PA、PB 是⊙O的切线（过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线） 核心思路：利用“直径对直角”构造垂直关系，再用切线判定定理验证 教师示范 问题6:还有其他的作图方法吗？ ①连接OP,设⊙O的半径为r ②先构造直角三角形:任作一个直角,在一条直角边上截取长度r,以该直角边的端点为圆心、OP长为半径画弧，交另一条直角边于一点,得到的这条线段长就是切线长L ③回到原图,以点P为圆心、L为半径画弧，与⊙O 交于A、B两点.作直线PA、PB,即为所求的两条切线. 教师示范 如图3-31,在△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=24,⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F,求⊙O的半径 解：连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF=r 在Rt△ABC中,AC=10,BC=24 ∴AB=26 ∵⊙O分别与AB,BC,AC相切于点D，E，F ∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF 又∵∠C=90° ∴四边形OECF为正方形 ∴CE=CF=r ∴BE=24-r,AF=10-r ∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r,而AB=26 ∴34-2r=26 ∴r=4即⊙O的半径等于4 巩固拓展 直角三角形内切圆半径公式总结 直角三角形内切圆半径公式 r=(a+b-c)/2 （a、b为直角边，c为斜边） 推导：由切线长定理，AB=(a - r)+(b - r) =a+b-2r=c，整理可得公式. 根据上节课等积法求内切圆半径公式可得： 任意三角形内切圆半径通用公式： r=2S/(a+b+c) （S为三角形面积，a、b、c为三边长） 推导：将三角形拆分为三个小三角形，面积之和等于总面积 巩固拓展 变式拓展 变式1：已知直角三角形的两直角边分别为 6和8，求它的内切圆半径？ 斜边为10，r=(6+8-10)/2=2 变式2：一个等腰三角形的三边长分别为5、5、6，求它的内切圆半径 先求三角形面积为12，周长为16，代入通用公式得r=2×12/16=1.5 当堂检测 判断下列说法是否正确,并说明理由. 过圆外一点可以作两条切线，切线长就是切线的长度 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等 圆外切四边形的对边相等 过圆外一点作圆的切线，只能作出1条 错误.切线是直线，没有长度，切线长是线段的长度 正确.符合同一点引出的两条切线长相等 错误.圆外切四边形是对边的和相等，不是对边长度相等 错误.过圆外一点可以作2条切线 当堂检测 如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点D在线段AB的延长线上,∠BAC=∠BCD.DC是⊙O的切线吗？为什么？ 解：DC是⊙O的切线，理由如下：连接OC ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角） ∴∠BAC+∠ABC=90° ∵OC=OB（同圆的半径相等） ∴∠OCB=∠ABC 又∵∠BAC=∠BCD（已知） ∴∠BCD+∠OCB=∠BAC+∠ABC= 90°即∠OCD=90° ∴OC⊥DC 又∵OC是⊙O的半径 ∴DC是⊙O的切线（过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 弦切角基本性质总结： 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 反思总结 1.什么是切线长？切线长定理的内容是什么？我们是通过什么方法证明的？ 2.用尺规过圆外一点作圆的切线，核心思路是什么？用到了之前学过的哪些定理？ 3.回顾直线和圆的位置关系这几节课，我们围绕 “切线” 学习了哪些内容？它们之间有怎样的逻辑联系？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第73页 第1题 二、素养类作业 1.用尺规作图，画出过圆外一点的两条切线，标注切点，验证切线长相等 2.找一个生活中切线长定理应用的实例，用本节课的知识解释其原理作方案 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $