3.3《直线和圆的位置关系》第2课时 课件2026-2027学年北师大版数九年级下册

第三章 圆 第3课 直线和圆的位置关系 新版北师大数学九年级下册 第2课时 切线的判定和三角形的内切圆 学习目标 1.通过绕半径端点旋转直线的操作探究，经历切线判定定理的生成过程，体会逆向思维与数形结合思想 2.通过对切线判定例题的推理分析，总结切线证明的两种常用思路，运用判定定理完成切线的推理证明 3.通过在三角形中裁最大圆的操作思考，经历三角形内切圆的探究过程，认识内心的概念与性质，掌握三角形内切圆的尺规作图方法 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 如何准确判定一条直线是圆的切线，怎样在三角形中裁出面积最大的圆，并解决相关的实际加工问题？ 工厂车间里有两个加工问题： 1.打磨圆形零件时，如何判断直线型打磨工具与圆形工件恰好相切？ 2.一块三角形铁片，要裁出一个面积尽可能大的圆形零件，该怎么确定圆的位置和大小？ 带着这两个问题，我们先从切线的判定开始探究 问题构建 问题1:圆的切线有什么性质？ 圆的切线垂直于过切点的半径 如图，BC是圆O的切线，OA是圆O的半径 BC⊥OA 追问1：如果一条直线过半径的外端，并且垂直于这条半径，它是不是圆的切线？ 如图，OA是圆O的半径，BC⊥OA，BC是圆O的切线吗？ 追问2：类比之前的几何学习，研究图形的位置关系，通常会同时研究哪两个方向的结论？ 性质与判定.由位置关系推特征是性质，由特征判断位置是判定，二者互为逆命题. 问题构建 探究问题：AB是⊙O的直径,直线经过点A,与AB的夹角为∠α,当绕点A旋转时 问题2:随着∠α的变化,点O到的距离d如何变化？直线与⊙O 的位置关系如何变化？ ∠α从0°逐渐增大到90°时,d逐渐变大,直线从相交逐渐变为相切 追问1：在这个过程中,d的最大值是多少？ d的最大值等于半径OA的长度 问题构建 追问2：当∠α等于多少度时，点O到直线的距离d等于半径r？ ∠α=90°时,d=OA=r 追问3:此时直线与⊙O有怎样的位置关系？为什么？ 相切.因为圆心到直线的距离等于半径，根据直线与圆相切的数量判定，d=r时直线和圆相切 追问4:此时的直线满足了哪两个关键条件？ ①经过半径OA的外端点A；②垂直于半径OA 问题构建 切线的判定定理 文字语言： 过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 图形语言 符号语言： ∵OA是⊙O的半径，直线⊥OA，垂足为A ∴ 直线是⊙O的切线 要点提醒： 定理的两个条件缺一不可： ①经过半径的外端点 ②垂直于这条半径 协作破冰 切线判定证明 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，半径为CA的⊙C交AB于点D，点E为BC上一点，且BE=DE.DE是⊙C的切线吗？为什么？ 解：DE是⊙C的切线.理由如下： 连接CD,∵CA=CD ∴∠A=∠ADC ∵BE=DE ∴∠B=∠BDE 又∵∠ACB=90° ∴∠A+∠B=90° ∴∠ADC+∠BDE=90° ∴∠CDE=90°,即DE ⊥ CD ∵CD是⊙C的半径 ∴DE是⊙C的切线（过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线） 协作破冰 变式训练：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC=30°，过点C作直线MN交AB的延长线于点N,若BC=BN.求证：MN是⊙O的切线. 证明：连接OC ∵OA=OC ∴∠OCA=∠A=30° ∵AB是直径 ∴∠ACB=90°,∠B=60° 又∵OB=OC ∴△OBC是等边三角形,∠OCB=60° ∵BC=BN ∴∠BCN=30° ∴ ∠OCN=∠OCB+∠BCN=90° ∴ OC⊥MN ∴ MN是⊙O的切线 问题构建 切线证明的两种思路 证明一条直线是圆的切线，根据已知条件不同，有两种常用思路，分别适用于什么情况？ 结论梳理： 1.已知公共点：连半径，证垂直. 直线与圆的公共点已知时，连接圆心和公共点，证明直线与这条半径垂直 2.未知公共点：作垂直，证半径 直线与圆的公共点未明确时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径 问题构建 三角形里的最大圆 用一张三角形的纸片，你能裁出一个面积尽可能大的圆吗？ 问题3：什么样的圆才是三角形里尽可能大的圆？ 圆和三角形的三条边都刚好相切，再大就会超出三角形边界 追问1：这样的圆存在吗？它的圆心需要满足什么条件？ 存在,圆心到三角形三边的距离必须都相等，这样才能保证和三边都相切 追问2：到三角形两条边距离相等的点，在什么线上？ 在这两条边夹角的角平分线上 协作破冰 追问3：到三角形三边距离都相等的点,是几条角平分线的交点？ 任意两条角平分线的交点即可.因为三角形三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离都相等 追问4:这个交点在三角形的内部还是外部？你怎么确认的？ 一定在三角形内部，因为三角形的内角平分线都在三角形内部 尺规作三角形内切圆 1.分别作∠B，∠C的平分线BE，CF，两线相交于点I 2.过点I作BC的垂线，垂足为D，以I为圆心，以ID的长为半径作圆 ⊙I就是所要作的圆 已知:△ABC 求作:⊙I,使它与△ABC的三边都相切 教师示范 内切圆与内心概念 概念： 和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 核心性质： 1.三角形的内心到三角形三边的距离相等 2.任意一个三角形都有且只有一个内切圆 3.内心一定在三角形的内部 教师示范 问题4： 分别画出锐角、直角、钝角三角形的内切圆和外接圆，对比内心和外心的位置差异 名称 定义 位置 性质 外心 三边垂直平分线交点 锐角在内、直角在斜边中点、钝角在外 到三个顶点距离相等 内心 三条角平分线交点 都在三角形内部 到三条边距离相等 巩固拓展 判断下列说法是否正确，并说明理由 垂直于半径的直线是圆的切线 过半径外端的直线是圆的切线 三角形的内心到三个顶点的距离相等 三角形的内心一定在三角形内部 每个三角形都有且只有一个内切圆 1.错误.还要经过半径的外端点 2.错误.还要垂直于这条半径 3.错误.内心到三边距离相等，到顶点距离相等的是外心 4.正确.三角形内角平分线都在内部，交点也在内部. 5.正确.三条角平分线只有一个交点，因此内切圆唯一. 巩固拓展 内切圆半径计算 在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,求△ABC内切圆的半径 解:设内切圆半径为r，圆心为I 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5 △ABC的面积=1/2×AC×BC=1/2×3×4=6 △ABC的面积也可以拆分为三个小三角形面积之和： S△ABC=S△IAB+S△IBC+S△ICA =1/2×AB×r+1/2×BC×r+1/2×AC×r =1/2×(3+4+5)×r=6r ∴ 6r=6，解得r=1 即内切圆半径为1 当堂检测 1.过半径外端且______于这条半径的直线是圆的切线 2.三角形的内切圆的圆心是三角形______的交点，叫做三角形的______，它到三角形______的距离相等 3.下列关于三角形内心的说法，正确的是（ ） A. 内心可能在三角形外部 B. 内心到三个顶点距离相等 C. 内心是三边垂直平分线的交点 D. 内心到三角形三边距离相等 1.垂直 2.三条角平分线；内心；三边 3.D 当堂检测 2.如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　) A．40° B．55° C．65° D．70° 解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70° ∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F， ∴∠OEA＝∠OFA＝90° ∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°， ∴∠EDF＝∠EOF＝55°. B 反思总结 1.判定一条直线是圆的切线有哪两种常用方法？分别适用于什么情况？ 2.什么是三角形的内切圆和内心？内心有什么核心性质？它和外心有哪些区别？ 3.本节课我们从切线的性质逆向思考得到了判定定理，这种逆向思维的研究方法，对你学习几何知识有什么启发？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第70页 第1,2题 二、素养类作业 1.用三角形纸片折出它的内心，画出内切圆，验证内心到三边距离相等 2.找一个三角形的生活物品，设计在上面绘制最大圆的操作方案作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $