3.1《圆的有关性质》第5课时 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第三章 圆 第1课 圆的有关性质 新版北师大数学九年级下册 第5课时 圆周角定理推论及圆内接四边形 学习目标 1.通过对直径所对圆周角的度量与证明，经历圆周角定理特殊推论的生成过程，明确直径与直角圆周角的互推关系 2.通过对圆上四点组成四边形的角度探究，抽象出圆内接四边形的概念，推导对角互补的性质 3.通过对圆内接四边形外角的观察与推导，总结外角与内对角的等量关系，完善圆内接四边形的性质体系 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 如何利用圆周角的特殊推论快速判断直径与直角，借助圆内接四边形的性质解决圆中角度计算与实际检测问题？ 工厂质检车间里，工人师傅只用一把直角尺，就能快速检测一个半圆形工件是否合格？ 思考： 1.你知道工人师傅是怎么操作的吗？背后是什么数学原理？ 2.如果一个圆周角是直角，它所对的弦有什么特殊性？ 带着这个问题，我们继续探究圆周角定理的特殊推论 问题构建 问题1：圆周角定理的内容是什么？同弧所对的圆周角有什么关系？ ①一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半； ②同弧或等弧所对的圆周角相等 追问1：若一段弧是半圆，它所对的圆心角是多少度？据此猜想，半圆所对的圆周角是多少度？ 半圆所对的圆心角是180°； 猜想:半圆所对的圆周角是90°,也就是直角 问题构建 追问2：BC是⊙O 的直径，它所对的圆周角∠BAC有什么特点？度量验证你的猜想 追问3：你能结合圆周角定理，解释为什么直径所对的圆周角是直角吗？ ∠BAC=90°，是直角 直径BC对应半圆，所对的圆心角是平角∠BOC=180°；根据圆周角定理，圆周角∠BAC等于圆心角的一半，即90° 追问4:除了圆周角定理，你还有别的证明方法吗？ 问题构建 已知：BC是⊙O的直径，点A是⊙O上任意一点 求证：∠BAC=90° 证明：连接OA ∵OB=OA=OC（同圆的半径相等） ∴∠OAB=∠B，∠OAC=∠C ∵∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和为180°） ∴∠OAB+∠OAC+∠B+∠C=180° 即2 (∠OAB+∠OAC)=180° ∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=90° 追问5:从刚才的证明过程中，你还能发现过去学习过的哪个定理？ 在一个三角形中，如果某条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 问题构建 问题2:反过来，如果圆周角∠BAC=90°,那么它所对的弦BC是直径吗？为什么？ 弦BC是直径 理由：根据圆周角定理，90°的圆周角所对的圆心角是180°，说明圆心角是平角，因此弦BC经过圆心，是直径. 追问：这个结论和“直径所对的圆周角是直角”之间是什么关系？ 二者是互逆的结论，条件和结论可以互换，能够双向推导 协作破冰 文字语言： 推论1：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 图形语言 符号语言： ①∵BC是⊙O的直径 ∴∠BAC= 90° ②∵∠BAC=90°∴BC是⊙O的直径 重要提示： 见到直径，常构造直径所对的圆周角，得到直角三角形；见到直角圆周角，可联想到对应的弦是直径 协作破冰 问题3：小明继续研究刚才的图形,如图,他得到了一个四边形ABCD,请你和小明一起研究这个四边形，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ ∠BAD+∠BCD=180°,两角互补. 理由:BD是直径,∠BAD=∠BCD=90° 四边形内角和360° 因此∠BAD+∠BCD=360°-90°-90°=180° 所以∠ABC+∠ADC=180° 追问:如果点B的位置变化，BD不再是直径，∠BAD与∠BCD的关系还成立吗？ 问题构建 任意四边形ABCD，它的四个顶点都在圆周上,求证:∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 证明：连接OB，OD ∵∠A对应,∠C对应 根据圆周角定理： ∠A=∠BOD（劣弧对应的圆心角），∠C=∠BOD（优弧对应的圆心角） ∵优弧与劣弧对应的圆心角之和为360° ∴∠A+∠C=×360°=180° 同理可得∠B+∠D=180° 问题构建 概念：四边形的四个顶点都在同一个圆上，这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 推论2：： 圆内接四边形的对角互补 符号语言： ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 协作破冰 探究问题： ∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？ 解：∠A=∠DCE 理由:∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠A+∠BCD=180°（对角互补） 又∵∠BCD+∠DCE=180°（邻补角定义） ∴∠A=∠DCE（同角的补角相等） 性质补充：圆内接四边形的任意一个外角，等于它的内对角（和外角相邻内角的对角） 教师示范 判断下列说法是否正确，并说明理由. 直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径 圆内接四边形的四个角都相等 圆内接四边形的外角等于它的对角 所有的四边形都有外接圆 1.错误.应表述为“90°的圆周角所对的弦是直径”，任意直角不一定对应直径 2.错误.只有对角互补，四个角不一定都相等 3.正确.外角等于内对角，即相邻内角的对角 4.错误.只有四个顶点共圆的四边形才有外接圆 教师示范 例1：圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2:3:4，求∠D的度数 解:∵四边形ABCD内接于圆 ∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180° 设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x 则2x+4x=180°，解得x=30° ∴∠B=3×30°= 90° ∴∠D=180°-90°= 90° 解决本例的过程中你使用了哪种数学思想？ 巩固拓展 例2：如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O， ∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E， ∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 巩固拓展 知识梳理・圆周角体系整合 1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 2.圆周角定理推论 推论①：同弧或等弧所对的圆周角相等 推论②：直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径 推论③：圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角 研究方法回顾：从一般到特殊、分类讨论、逆向思维 当堂检测 1.如图，AB是⊙O的直径, C 、D是圆上的两点,∠ABD=42°,则∠BCD=＿＿＿_. 48° A B O C D 2.如图，∠A=50°,∠ABC=60°,BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ） A.70° B.110° C.90° D.120° B A C B O D E 当堂检测 3.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁.如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”.当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角∠α与“危险角”有怎样的大小关系？ E 如图所示：∠ACB=∠AEB ∠AEB＞α 所以∠ACB＞α 反思总结 1.本节课我们学习了圆周角定理的两个推论，分别是什么？它们各自有什么典型应用场景？ 2.什么是圆内接四边形？它有哪些核心性质？ 3.回顾圆的性质这几节课，我们从哪些维度研究了圆？你能说说研究几何图形的一般思路吗？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第58页 第1,2,3题 二、素养类作业 1.用直角尺检测身边的圆形物体边缘是否为半圆，记录检测过程与结果 2.画出一个圆内接四边形，用量角器验证对角互补的性质 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $