2.2 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，课堂导入通过复习回顾已学二次函数顶点式的顶点坐标、对称轴和最值，以表格呈现并设置一般式问题，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生探究一般式转化为顶点式的方法。 其亮点在于以问题链驱动探究，如“怎样配方”“平移规律”等合作探究问题，培养数学思维中的推理能力与运算能力。通过配方法推导、a/b/c与图象关系表格等，用数学语言表达规律，形成模型意识。学生能提升运算和推理能力，教师可借助结构化实例与中考链接优化教学。

第二章 二次函数 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 2.2 二次函数的图象和性质 九年级下册数学（北师版） 顶点坐标 对称轴 最值 y = -2x2 y = -2x2 - 5 y = -2(x + 2)2 y = -2(x + 2)2 - 4 y = (x - 4)2 + 3 y = -x2 + 2x y = 3x2 + x - 6 (0，0) y 轴 0 (0，-5) y 轴 -5 (-2，0) 直线 x = -2 0 (-2，-4) 直线 x = -2 -4 (4，3) 直线 x = 4 3 ? ? ? ? ? ? 复习回顾 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 1 猜想：通过组合平移 y = ax² (a≠0) 的图像能否得到 y = ax² + bx + c (a≠0) 的图像？ y = ax² 通过上下左右平移 y = a(x−h)2+k y = ax²+bx+c 是否有关系？ 相互转化 (1) x2 − 12x + 36 = (x____)2； 填一填 (2) x2 − 12x = (x____)2 −____. − 6 36 − 6 探究新知 合作探究 问题1 怎样将 y=2x² - 4x + 5化成 y = a(x − h)2 + k 的形式？ 想一想：配方的方法及步骤是什么？ y = 2x² - 4x + 5 (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 提示：配方后的解析式通常称为顶点式. = 2(x² - 2x) + 5 = 2(x² - 2x + 1² - 1²) + 5 = 2(x - 1)² + 3 问题2 你能说出 y = 2(x - 1)² + 3 的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线 x = 1，顶点坐标是 (1，3). 问题3 二次函数 y = 2(x - 1)² + 3 可以看作是由 y = 2x² 怎样平移得到的？ 答：平移方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 1 个单位得到的； 平移方法 2：先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到的. 问题4 如何用描点法画二次函数 y = 2x² - 4x + 5 的图象？ 3 2 1 0 -1 x 解：先利用图形的对称性列表； 11 5 3 5 11 然后描点画图，得到图象 如右图. y=2(x-1)²+3 1 2 x 1 y O -1 -1 3 6 2 5 3 4 7 8 9 10 11 问题5 结合二次函数 y = 2x² - 4x + 5 的图象，说出其增减性. 当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞1 时，y 随 x 的增大而增大. 试一试 你能用上面的方法讨论二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 的图象和性质吗？ 1 2 x 1 y O -1 -1 3 6 2 5 3 4 7 8 9 10 11 因此，二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴是直线 x = 2，顶点坐标为 (2,-1)，当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大. 解： 例1 求二次函数 y = 2x2 - 8x + 7 图象的对称轴、顶点坐标和增减性. 典例精析 y = 2x2 - 8x + 7 = 2(x2 - 4x) + 7 = 2(x2 - 4x + 4) - 8 + 7 = 2(x - 2)2 - 1 做一做 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) y = 3x2 - 6x + 7； (2) y = 2x2 - 12x + 8. y = 3x2 - 6x + 7 = 3(x2 - 2x) + 7 = 3(x2 - 2x + 1 - 1) + 7 = 3(x - 1)2 + 4 y = 2x2 - 12x + 8 对称轴：x = 1 顶点坐标：(1，4) = 2(x2 - 6x) + 8 = 2(x2 - 6x + 9 - 9) + 8 = 2(x - 3)2 - 10 对称轴：x = 3 顶点坐标：(3，-10) 我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x - h)2 + k？ y = ax² + bx + c 归纳总结 因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 对称轴是直线 ， . 1.一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x - h)2 + k 的形式，即 . 二次函数 y = ax2 + bx + c 的顶点式 y = ax2 + bx + c = 如果 a＜0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大； 当x＞ 时，y 随 x 的增大而减小. 如果 a＞0，当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＞ 时，y 随 x 的增大而增大. (1) (2) x y O x y O 归纳总结 典例精析 例1 已知二次函数 y＝x2﹣6x + 5． (1) 将 y＝x2﹣6x + 5 化成 y＝a(x﹣h)2 + k 的形式； (2) 求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (3) 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ (3) ∵ 抛物线的开口向上，对称轴是 x＝3， ∴ 当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小． 解：(1) y＝x2﹣6x + 5＝(x﹣3)2﹣4. (2) 二次函数的图象的对称轴是 x＝3，顶点坐标是 (3，-4). 2 二次函数的图象与系数的关系 想一想，对于二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) 图象性质中，字母 a，b，c 所起的作用. 开口方向 一般研究哪几种性质？ 顶点坐标 对称轴 增减性 a 决定 a，b 共同决定 开口方向，对称轴 a，b 共同决定 c 决定什么？ 合作探究 x y O 问题 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空： a1 ___0 b1 ___0 c1 ___0 a2 ___0 b2 ___0 c2 ___0 ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ ＝ x = 0 时 y = c. y2 = a2x2 + b2x + c2 y1=a1x2+b1x+c1 x y O a3 ___ 0 b3 ___ 0 c3 ___ 0 a4 ___ 0 b4 ___ 0 c4 ___ 0 ＜ ＝ ＞ ＜ ＞ ＜ x = 0时 y = c. y4 = a4x2 + b4x + c4 y3 = a3x2 + b3x + c3 字母符号 图象的特征 a＞0 开口___________ a＜0 开口___________ b = 0 对称轴为_____轴 a、b 同号(ab＞0) 对称轴在 y 轴的____侧 a、b 异号(ab＜0) 对称轴在 y 轴的____侧 c = 0 经过原点 c ＞ 0 与 y 轴交于_____半轴 c ＜ 0 与 y 轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 二次函数图象与 a、b、c 的关系 归纳总结 链接中考 1. (浙江)如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为直线 x＝-1，下列结论： ①abc＜0；②3a＜-c； ③若 m 为任意实数，则有 a - bm＜am2 + b； ④若图象经过点(-3，-2)，方程 a2 + bx + c + 2 = 0 的两根为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )，则 2x1－x2 = 5. 其中正确的结论的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　 　C．3　　　D．4 O x = -1 1 x y 【解析】解：①：由图象可知：a＜0，c＞0， ， ∴ b = 2a＜0，∴ abc＞0，故 ① 错误； ②：当 x = 1 时，y = a + b + c = a + 2a + c = 3a + c＜0， ∴3a＜-c，故 ② 正确； ③：∵ x = -1 时，y 有最大值， ∴ a - b + c≥am2 + bm + c ( m 为任意实数)， 即 a - b≥am2 + bm，即 a - bm≥am2 + b. 故 ③ 错误； O x = -1 1 x y ④：∵二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0) 图象经过点 (-3，-2)，方程 ax2＋bx＋c＋2 = 0 的两根 为 x1，x2 ( | x1 |＜| x2 | )， ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的一个交点 为 (-3，-2). ∵抛物线的对称轴为直线 x＝-1， ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与直线 y = -2 的 另一个交点为 (1，-2)，即 x1 = 1，x2 = -3. ∴2x1－x2 = 2－(-3) = 5，故 ④ 正确． 所以正确的是 ②④. O x = -1 1 x y 做一做 如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛物线关于 y 轴对称. 按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以 表示. (1) 钢缆的最低点到桥面的距离是多少? (2) 两条钢缆最低点之间的距离是多少? 顶点坐标(-20，1) (1) 1 m. (2) 40 m. 顶点： 对称轴： y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) (一般式) 配方法 公式法 (顶点式) 当堂小结 1.已知二次函数 y = ax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 3 y 5 1 -1 -1 1 A. y轴 B. 直线 x= C. 直线 x=2 D. 直线 x= 则该二次函数图象的对称轴为( ) D 课堂练习 2. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值： 直线 x=3 直线 x=8 直线 x=1.25 直线 x= 0.5 最小值-5 最大值1 最小值 最大值 O y x –1 –2 3 3.已知二次函数 y = ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b 同号； （2）当 x = –1和 x = 3 时，函数值相等； （3） 4a+b = 0； （4）当 y = –2 时，x 的值只能取 0； 其中正确的是 . 直线x=1 （2） 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $