3.1《圆的有关性质》第4课时 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第三章 圆 第1课 圆的有关性质 新版北师大数学九年级下册 第4课时 圆周角定理 学习目标 1.通过足球射门张角的情境分析，经历圆周角概念的抽象过程，明确圆周角的两个核心特征 2.通过度量猜想与分类证明，经历圆周角定理的完整探究过程，体会从特殊到一般、分类讨论的数学思想 3.通过对同弧所对圆周角的比较推导，生成圆周角定理的推论，梳理同弧、等弧对应的圆周角等量关系 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 如何利用圆中角的性质，解释足球射门中的张角规律，并解决圆内角度计算与实际判定问题？ 足球射门时，我们经常会听见解说员遗憾的说到：打高了、打偏了，这里的高和偏从数学的角度分析都和某些特定的角的大小有关. 我们先来认识一类顶点在圆上的特殊角——圆周角 问题构建 问题1:什么是圆心角？在同圆或等圆中，圆心角和它所对的弧、弦有什么关系？ 顶点在圆心的角叫做圆心角；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 追问:我们之前分别从轴对称、旋转两个角度研究了圆的性质，今天研究顶点在圆上的角，可以遵循怎样的研究路径？ 现实情境 抽象概念 探究关系 归纳定理 实际应用 问题构建 在射门游戏中,球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关.当球员在B，D，E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC. 问题1:观察图中∠ABC、∠ADC、∠AEC的顶点B、D、E，它们分别处于圆的什么位置？ 角的顶点在圆上 追问1:再看这些角的两边（如AB与BC、AD与DC、AE与EC），它们与圆有怎样的位置关系？ 角的两边是圆的弦（即两边除顶点外，另一端点也在圆上，与圆相交） 问题构建 追问2:结合前两个问题的发现,∠ABC、∠ADC、∠AEC这类角有什么共同的结构特点? ①顶点在圆上②两边都与圆相交 像∠ABC、∠ADC、∠AEC这样，顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角，叫做圆周角. 圆周角的两个核心特征： ①角的顶点在圆上②角的两边都与圆相交（两边各有一个除顶点外的交点） 判断下列角是不是圆周角，并说明理由：①顶点在圆内的角 ②顶点在圆上、一边与圆无第二个交点③顶点在圆外的角④顶点在圆上、两边都与圆相交 只有④是圆周角，圆周角必须同时满足两个核心特征 问题构建 问题2:在⊙O上取一段，画出所对的几个不同的圆周角，度量它们的度数，你发现了什么规律？ 同一段弧所对的所有圆周角，大小都相等 追问1:改变的位置和长度，重复操作，这个结论还成立吗？ 追问2：你认为圆周角的大小和圆中哪个元素直接相关？ 和弧对应的圆心角相关 协作破冰 我们发现所对的圆心角是唯一的，而它所对的圆周角却有无数个.数学中我们经常采用分类研究来解决此类问题. 问题3:观察右图的圆心角∠AOB，劣弧AB所的圆周角有无数个，画出一个你认为位置比较特殊的圆周角？并说出你的理由. 圆周角∠ACB与圆心角∠AOB有一条边重合 追问:这两个角有怎样的数量关系，你能证明吗？ 在△BOC中，OB=OC ∴∠ACB=∠OBC ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC ∴∠AOB=2∠ACB 猜想：同一条弧所对的圆心角是圆周角的二倍. 协作破冰 实际上，延长BO交圆O于D，也能很快得到类似的结论.仔细观察右图，回答问题: 问题4: 以之外的圆周来看，直径BD和AC把它分成了几个区域？ ①点D和点C ②上 ③上 追问:你能画出类型②③的图吗？这种分类研究的思路你在哪个知识当中使用过？ 可以.研究平行线与相交线的过程中，研究三个角之间和差关系时，使用过相同的方法. 问题构建 你能独立完成以上图示中，两个角的关系证明吗？请你动手试一试. 说一说你发现的结论和猜想是否一致？证明的过程体现了哪种数学思想方法？ 问题构建 过点C作直径CD,将∠ACB拆分为∠ACD和∠BCD两部分.由特殊情况结论可得： ∠ACD=∠AOD，∠BCD= ∠BOD 两式相加:∠ACD+∠BCD= (∠AOD+∠BOD) 即∠ACB= ∠AOB 过点C作直径CD.由特殊情况结论可得：∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD 两式相减:∠ACD-∠BCD=(∠AOD - ∠BOD)即∠ACB=∠AOB 协作破冰 文字语言：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半 图形语言 符号语言： ∵∠ACB 和∠AOB 都是所对的角 ∴∠ACB=∠AOB 方法总结：证明过程分三种情况：圆心在角的一边上、圆心在角内部、圆心在角外部，体现了分类讨论和从特殊到一般的数学思想. 教师示范 问题5:球员在 B、D、E处射门时，三个张角∠ABC、∠ADC、∠AEC的大小有什么关系？用圆周角定理证明你的结论 ∠ABC=∠ADC=∠AEC 它们都是所对的圆周角，根据圆周角定理，都等于所对圆心角的一半，因此彼此相等 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等 符号语言：∵ = ∴ ∠ACB = ∠CAD 教师示范 例1 如图，在⊙O中，∠AOB=80°，求所对的圆周角∠ACB的度数 解：∵∠ACB是所对的圆周角，∠AOB 是所对的圆心角 ∴∠ACB=∠AOB= × 80°=40° 变式训练：若圆周角∠ACB=35°，求它所对的圆心角∠AOB的度数 ∠AOB= 70° 巩固拓展 判断下列说法是否正确，并说明理由. 顶点在圆上的角是圆周角. 圆周角的度数等于圆心角的一半. 相等的圆周角所对的弧一定相等. 同弧所对的圆周角都相等. 1.错误.还需要两边都与圆相交 2.错误.必须是同一条弧所对的圆周角和圆心角 3.错误.缺少“同圆或等圆中”的前提条件. 4.正确.符合同弧圆周角的推论. 巩固拓展 例2:如图，点A、B、C是圆O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　） A．12.5° B．15° C．20° D．22.5° 巩固拓展 解析：连接OB， ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴OC=AB，又OA=OB=OC， ∴OA=OB=AB， ∴△AOB为等边三角形， ∵OF⊥OC，OC∥AB， ∴OF⊥AB， ∴∠BOF=∠AOF=30°， 由圆周角定理得∠BAF=∠BOF=15°， 故选：B． 当堂检测 1.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是(　　) A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD D 反思总结 1.什么样的角是圆周角？它和圆心角最核心的区别是什么？ 2.圆周角定理的内容是什么？证明过程中我们分了哪几种情况？用到了哪些数学思想？ 3.到本节课为止，我们从哪些角度研究了圆的性质？你能梳理出圆的性质知识框架吗？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第56页 第1,2题 二、素养类作业 观察生活中圆周角的应用实例（如拱形桥、圆形表盘、球场标线等），选取1个例子用本节课的知识解释其中的原理 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $