2.2 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = a(x-h)^2 + k\)的图象与性质，通过复习回顾\(y = ax^2\)等基础形式的开口方向、对称轴等性质，以问题链搭建学习支架，引导学生从已知函数平稳过渡到新函数形式，构建知识脉络。 其亮点在于通过列表描点画图培养几何直观，归纳性质表格发展推理意识，平移规律“左加右减、上加下减”建立模型意识。例如探究新知中绘制\(y = 2(x + 3)^2 - \frac{1}{2}\)图象并分析性质，典例精析结合点坐标求参数强化推理。学生能直观理解函数特征与平移关系，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第二章 二次函数 第4课时 二次函数 y = a(x-h)2+k 的图象与性质 2.2 二次函数的图象和性质 九年级下册数学（北师版） 1. 说出下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点、最值和增减变化情况: (1) y = ax2 (2) y = ax2+c (3) y = a(x -h)2 y y y y x x x x O O O O y y y y x x x x O O O O y y x x O O 复习回顾 y = 2x2 - 2. 请说出二次函数 y = 2x2 的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值？ 3. 把 y = 2x2 的图象 向下平移 个单位 向左平移3个单位 y = 2(x + 3)2 4. 请猜测一下，二次函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象是否可以由 y = 2x2 平移得到？ 例1 画出函数 y = 2(x + 3)2 - 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 1.5 -0.5 1.5 7.5 17.5 31.5 49.5 解：先列表： y=2(x+3)2 - 二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质 1 探究新知 2 4 x -2 4 y O -2 -4 6 8 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：___________ ___________________ __________________________. 再描点、连线. 向上 直线 x = -3 (−3，−0.5) 当 x＜-3 时， y 随 x 增大而减小； 当 x＞-3 时，y 随 x 增大而增大 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ y=2(x+3)2 - 试一试 画出二次函数 的图象，并填空. 开口方向： ； 对称轴： ； 顶点坐标是 ； 增减性：___________ ___________________ ______________________________. 2 4 x -2 -4 -6 y O -2 -4 向下 直线 x = -1 (−1，−1) 当 x＜-1 时， y 随 x 增大而增大； 当 x＞-1 时，y 随 x 增大而减小 想一想：函数 y = a(x - h)2 + k (a＜0) 的性质是什么？ 归纳总结 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线 x = h 直线 x = h (h，k) (h，k) 当 x = h 时，y最小值 = k 当 x = h 时，y最大值 = k 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而减小；x＞h 时，y 随 x 的增大而增大 当 x＜h 时，y 随 x 的 增大而增大；x＞h 时，y 随 x 的增大而减小 例2 已知抛物线 y＝a(x − 3)2 + 2 经过点 (1，− 2)． (1) 指出抛物线的对称轴； (2) 求 a 的值； 解：(1) 由 y＝a(x﹣3)2 + 2 可知其顶点为 (3，2)， 对称轴为直线 x＝3. (2) ∵ 抛物线 y＝a(x﹣3)2 + 2 经过点(1，-2)， ∴ -2＝a(1 - 3)2 + 2， ∴ a＝-1. 典例精析 (3) 若点 A(m，y1)、B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 试比较 y1 与 y2 的大小． ∴ y1＜y2. 解：∵ y＝﹣(x﹣3)2 + 2， ∴ 此函数的图象开口向下， 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大. ∵ 点 A(m，y1)，B(n，y2) (m＜n＜3) 都在该抛物线上， 2 二次函数 y=a(x + h)2+k 与 y=ax2(a≠0) 的关系 y=2x2怎样移动可以得到y=2(x + 3)2- ？ 画一画，填出下表： 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2x2 函数 y = 2x2- y = 2(x+3)2 y=2(x+3)2- 向上 向上 向上 向上 x = 0 x = 0 x = -3 x = -3 (0,0) (0,-) (-3,0) (-3,-) 2 4 x -1 2 y O -2 -4 6 y = 2x2 y = 2x2- y = 2(x+3)2 y=2(x+3)2- 平移方法1 向左平移3个单位长度 个单位长度 向下平移 例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线 y = 2(x + 3)2 - ？ y = 2x2 y = 2x2- y=2(x+3)2- 2 4 x -1 2 y O -2 -4 6 8 平移方法2 向下平移 个单位长度 例3 怎样移动抛物线 y = 2x2 就可以得到抛物线 y = 2(x + 3)2 - ？ y = 2x2 y =2(x+3)2 y=2(x+3)2- 向左平移 3 个单位 2 4 x -1 2 y O -2 -4 6 8 归纳总结 y = ax2 y = ax2±k y = a(x±h)2 y = a( x±h )2±k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为： 上下平移， 常数项上加下减； 左右平移， 自变量左加右减. 二次项系数 a 不变. 二次函数 y = ax2 与 y = a(x±h)2±k 的关系 链接中考 1. (哈尔滨)将抛物线 y =﹣5x2 + 1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 ( ) A．y =﹣5(x + 1)2﹣1 B．y =﹣5(x﹣1)2﹣1 C．y =﹣5(x + 1)2 + 3 D．y =﹣5(x﹣1)2 + 3 A 试着画出二次函数 y = a(x - h)2 + k 不同情况下的大致图象. ( 按 a，h，k 的正负分类 ) a＞0， h＜0 a＞0， h＞0 a＜0， h＜0 a＜0， h＞0 例4 已知二次函数 y＝a(x－1)2－k 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax＋k 的大致图象是 (　　) 解析：根据二次函数开口向上得 a＞0，根据 －k 是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出 k＞0，故一次函数 y＝ax＋k 的图象经过第一、二、三象限．故选 A. A 归纳总结 结论：① a 决定开口方向. ② (h，k) 决定顶点坐标. h 决定对称轴 (直线 x = h). h＜0，对称轴在 y 轴的左侧；h＞0，对称轴在 y 轴的右侧； k＞0，顶点在 x 轴的上侧；k＜0，顶点在 x 轴的下侧. ③ a，h(对称轴) 决定函数的增减性. 说一说，对于二次函数 y = a(x - h)2 + k (a≠0) 图象性质中，字母 a，h，k 所起的作用. 一般地，抛物线 y = a( x - h )2 + k (a≠0) 与 y = ax2 (a≠0) 的形状相同，位置不同. 二次函数 y = a(x - h)2 + k (a ≠ 0) 的图象和性质 图象特点 当a＞0，开口向上；当a＜0，开口向下. 对称轴是 x = h， 顶点坐标是 (h，k) 平移规律 左右平移：自变量左加右减； 上下平移：常数项上加下减. 当堂小结 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = 2(x + 3)2 + 5 向上 ( 1, －2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , －6 ) 向上 直线 x=－3 直线 x = 1 直线 x = 3 直线 x = 2 (－3, 5 ) y =－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y =－5(2－x)2－6 1. 完成下列表格: 课堂练习 2. 已知函数 y＝﹣(x﹣4)2﹣1. (3) 怎样移动抛物线 y＝﹣x2，就可以得到抛物线 y＝﹣(x﹣4)2﹣1? (1) 指出函数图象的开口方向是　 　，对称轴是 　 　 ，顶点坐标为　 　 ； (2) 当 x　 　 时，y 随 x 的增大而减小； 向下 直线 x＝4 (4，﹣1) ＞4 解：将抛物线 y＝﹣x2 向右平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位就可以得到抛物线 y＝﹣(x﹣4)2﹣1. 3. 已知二次函数 y＝a(x－1)2－4 的图象经过点 (3，0)． (1) 求 a 的值； (2) 若 A(m，y1)、B(m＋n，y2) (n＞0) 是该函数图象上的两点，当 y1＝y 2 时，求 m、n 之间的数量关系． (1) 将 (3，0) 代入 y＝a(x－1)2－4， 得 0＝4a－4， (2) 方法一:根据题意，得 y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵ y1＝y2， ∴ (m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即 (m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵ n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得 2m＋n＝2. 解： 解得 a＝1. 方法二： ∵ 抛物线 y＝a(x－1)2－4 的对称轴是直线 x = 1， ∴ 当 y1＝y 2 时，A、B 两点关于直线 x = 1 对称. ∴ ，化简，得 2m＋n＝2. 要点归纳：对于抛物线 y＝a(x－h)2 + k(a≠0) 上的两个不同点 M(x1，y1)，N(x2，y2)，若 y1 = y2，则必有 ，即 x1 + x2 = 2h. 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $