3.2 函数与方程、不等式之间的关系知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.2 函数与方程、不等式之间的关系　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第三章（函数的概念与性质） 从「数」到「形」：函数的零点、三个等价、零点存在定理与二分法 图 1　本节知识地图：零点概念、三个等价、零点与判别式、图象法解不等式、零点存在定理、二分法与已学性质的联系 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解函数零点的概念，知道零点是一个实数，会求一次函数、二次函数等简单函数的零点； ② 掌握方程 f(x)=0 的实数根、函数的零点、函数图象与 x 轴的交点三者之间的等价关系； ③ 掌握二次函数的零点与判别式的三种关系，会用函数的观点解一元二次不等式； ④ 了解零点存在定理，会判断函数零点所在的大致区间； ⑤ 理解二分法的原理与步骤，会按给定精确度求零点的近似值。 重点 函数零点的概念与三个等价关系；用函数观点解一元二次不等式；二分法的步骤。 难点 零点存在定理的条件与结论（只能断定存在、不能确定个数）；二分法中精确度与区间长度的关系。 二、情境引入：从「数」到「形」 在初中，我们研究方程的根，侧重的是「数」的一面：解方程，把根求出来。本节换一个角度——把方程放进函数里，从「形」的角度，也就是从函数图象与 x 轴的交点，来研究根的存在性与个数。 尝试与发现：已知一次函数 ，它的定义域为 R。求出方程 的解集、不等式 与 的解集，并画出函数的图象。 方程 的解集为 {1}；不等式 的解集为 (1,+∞)， 的解集为 (−∞,1)。 对照图象看：解集 {1} 对应图象与 x 轴的公共点；(1,+∞) 对应图象在 x 轴上方的部分；(−∞,1) 对应图象在 x 轴下方的部分。 可见，函数关系给出了对定义域的一个「划分」：零点及其左右两侧，函数值分别等于 0、大于 0、小于 0。 顺着这个想法：下列方程是否有实根，有几个实根？(1) ；(2) 。 对于 (1)，因式分解得 ，实根为 −1 和 3。对于 (2)，，实根为 −1 与 ±，共 3 个。 画出 的图象：抛物线与 x 轴交于 (−1,0) 和 (3,0)，交点的横坐标正是方程的实根。「方程的根」与「图象的交点」在这里汇合了。 三、函数的零点：一个实数，三种等价说法 图 2　函数的零点与方程根、图象交点三者的等价关系 一般地，如果函数 在实数 α 处的函数值等于零，即 ，则称 α 为这个函数的零点。这时函数图象与 x 轴的公共点是 (α,0)。 关键词拆解： ① 零点是「数」不是「点」：(α,0) 是图象上的点，而零点指的是横坐标 α 这个实数； ② 求函数的零点，实质上就是解方程 ：方程的解集就是零点的集合； ③ 三者的个数总是一致的：方程实数根的个数 = 函数零点的个数 = 图象与 x 轴交点的个数； ④ 不是所有函数都有零点，例如 使函数值为零的实数不存在，它就没有零点。 把三者连起来：方程 有实数根，等价于函数 有零点，也等价于函数 的图象与 x 轴有交点。研究方程可以转而研究函数，研究函数又可以画出图象来看交点。 例 1　判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点。 (1) ；(2) ；(3) 。 解：(1) 令 ，即 ，得 或 ，所以函数的零点是 −2 和 3。 (2) 令 ，即 ，得 、 或 ，所以函数的零点是 −1、0 和 1。 (3) 令 ，即 ，任何实数的平方都不可能是负数，方程无实数解，所以函数没有零点。 四、从函数图象读方程与不等式的解集 图 3　从函数图象读方程与不等式的解集（实心点为变号零点，空心点为不变号零点） 有了零点，图象与 x 轴的交点就清楚了；再看图象在 x 轴上方还是下方，就能写出相应不等式的解集。 例 2　已知函数 y=f(x) 的图象如图 3 所示，写出方程 f(x)=0 的解集以及不等式 f(x)>0、f(x)≤0 的解集。 解：图象与 x 轴的公共点的横坐标为 −5、−3、−1、2、4、6，所以方程 的解集为 {−5,−3,−1,2,4,6}； 图象在 x 轴上方的部分对应的 x 是 (−5,−3)∪(2,4)∪(4,6)，这是不等式 的解集； 不等式 的解集还要包含函数值等于 0 的点，为 [−6,−5]∪[−3,2]∪{4,6}。 变号零点与不变号零点： 函数的图象通过零点时，如果穿过 x 轴（零点两侧的函数值异号），这样的零点称为变号零点； 如果不穿过 x 轴（图象在零点处与 x 轴相碰，两侧函数值同号），这样的零点称为不变号零点。 对照图 3：−5、−3、2、6 是变号零点；−1 和 4 是不变号零点。 这个区别很有用：二分法只能求变号零点的近似值。 读图写解集分三步：先找零点（写出方程的解集），再看正负（图象在 x 轴上方为大于 0，下方为小于 0），最后写解集——注意端点的开与闭、多个区间用「∪」连接。 五、二次函数的零点与一元二次不等式 图 4　二次函数的零点与一元二次不等式（判别式的三种情形） 对于二次函数 （），它的零点就是一元二次方程 的实数根，可以由求根公式求出，也可以由判别式 判断个数。 判别式 方程的解 函数的零点 图象与 x 轴 两个不相等的实数根 、 两个零点 、 两个公共点 (,0)、(,0) 两个相等的实数根 一个（二重）零点 一个公共点 (,0) 没有实数根 没有零点 没有公共点 反过来也成立：知道零点的情况，就能说出方程的根和图象的交点——三个「二次」（二次方程、二次函数、一元二次不等式）通过零点联系在一起。 用函数的观点解一元二次不等式：f(x)>0 的解集，就是使二次函数值为正数的自变量 x 的集合，也就是图象在 x 轴上方的部分对应的 x；f(x)<0 的解集，就是图象在 x 轴下方的部分对应的 x。 一般步骤（可记为「一看、二算、三画、四写」）： 一看：把原不等式化成 （或 <0、≥0、≤0，a≠0）的标准形式，注意 a 的符号； 二算：解对应的方程 ，求出零点； 三画：根据 a 的符号与零点，画出抛物线的草图； 四写：对照图象写出解集，带等号的要取端点。 例 3　利用函数求下列不等式的解集。 (1) ；(2) ；(3) 。 解：(1) 设 。令 ，即 ，零点为 −2 和 3；二次项系数 1>0，抛物线开口向上， 在零点的外侧，所以解集为 (−∞,−2)∪(3,+∞)。 (2) 设 。令 ，即 ，零点为 2 和 3；二次项系数 −1<0，抛物线开口向下， 在两个零点之间，所以解集为 (2,3)。 (3) 设 ，即 。令 ，得 （二重零点）；抛物线开口向上且不在 x 轴下方，所以 只在 时成立，解集为 {2}。 第 (2) 题也可以先把二次项系数化为正： 就是 ，解集同样是 (2,3)。化正以后按「大于取两边、小于取中间」书写更省心。 六、零点的存在性：零点存在定理 例 1 中的函数都能通过解方程求出零点。但有些方程没有现成的求解公式，例如 ；它的函数图象也不容易准确画出。还有没有办法判断它有没有零点、零点大致在哪里？ 零点存在定理：如果函数 在区间 [a,b] 上的图象是一条连续不断的曲线，并且有 ，即区间两个端点处的函数值异号，那么函数 在区间 (a,b) 中至少有一个零点，即存在 ∈(a,b)，使得 。 直观理解：自变量从 a 连续变到 b，函数值从正数连续变到负数（或从负数连续变到正数），中间必定要经过 0。 使用定理的四点注意： ① 两个条件缺一不可：图象连续不断，且两端点函数值异号； ② 由这个条件可以断定零点存在；但条件不满足时，也可能有零点。例如 在 [−1,1] 上图象连续，且 ，不满足异号条件，但 确实是它的零点； ③ 定理只能断定「至少有一个零点」，不能确定零点的个数。要确定个数，还要借助单调性等性质（单调函数至多有一个零点）； ④ 两端点异号时，端点本身不会是零点；若某个端点的函数值为 0，它当然是零点，但这不属于定理研究的内容。 思考与讨论（教材）： ① 定理中为什么要求函数的图象不间断？为什么只能得出「至少有一个零点」的结论？请画图说明； ② 为什么条件不满足时也可能有零点，即这个结论反过来并不成立？ ③ 这个性质对寻找函数的零点有什么作用？ ④ 如何进一步判断方程的根的个数？ 例 4　(1) 求证函数 至少有一个零点；(2) 判断函数 的零点个数。 (1) 证法一（解方程）：，所以 和 都是它的零点，故至少有一个零点。 证法二（用定理）：，，函数图象在 [−3,0] 上连续不断，由零点存在定理，函数在 (−3,0) 内至少有一个零点。 (2) 在 R 上单调递增（3.1.2 已学：两个增函数的和仍是增函数）。又 ，，由定理知 (−1,0) 内有零点，由单调性知至多有一个零点，所以 有且只有一个零点。 七、二分法：求零点的近似值 图 5　零点存在定理与二分法：区间逐次减半，端点逐步逼近零点 由零点存在定理可以断定零点在某个区间内。如果不断把这个区间一分为二，保留函数值异号的那一半，区间长度就逐次减半，两个端点逐步逼近零点。按这个思路求零点近似值的方法，称为二分法。 二分法的定义：对于在区间 [a,b] 上图象连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法，称为二分法。 由函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求方程的根是等价的，所以也可以用二分法求方程 的近似解。 近似值要精确到什么程度，由精确度决定：如果近似值 与真实零点 满足 ，就说 满足给定的精确度。 用二分法求零点近似值的步骤： 第一步　检查 是否成立。如果成立，取 ，计算结束；如果不成立，转到第二步。 第二步　计算区间 [a,b] 的中点对应的函数值。若 ，取 ，计算结束；若不等于 0，转到第三步。 第三步　若 ，把中点的值赋给 b，回到第一步；否则必有 ，把中点的值赋给 a，回到第一步。 为什么区间长度不超过精确度的 2 倍时，取中点就可以了？因为零点在 (a,b) 内，中点与零点的距离不超过区间长度的一半，即 ，正好满足精确度。 例 5　求函数 的一个正零点的近似值（精确到 0.1）。 解：计算两端点的函数值：，，且函数图象连续不断，所以零点在区间 (1,2) 内，取 [1,2] 作为初始区间。 精确度为 0.1。用二分法逐次计算： 区间 [a,b] 区间中点 中点函数值 保留的区间 [1, 2] 1.5 −2.6250 [1.5, 2] [1.5, 2] 1.75 0.2344 [1.5, 1.75] [1.5, 1.75] 1.625 −1.3027 [1.625, 1.75] 此时 ，不超过精确度 0.1 的 2 倍，达到要求，取中点 。 因此，函数的一个正零点精确到 0.1 的近似值为 1.7。如果继续二分到区间 [1.71875, 1.734375]（长度 0.015625），区间内各数精确到 0.1 都近似为 1.7，与上面的结果一致。 例 6　用二分法求函数 在区间 [1, 1.5] 内的一个零点的近似值（精确到 0.1）。 解：，，零点在 (1, 1.5) 内。 取中点 1.25：，与 异号，保留 [1.25, 1.5]；再取中点 1.375：，与 异号，保留 [1.25, 1.375]。 此时 ，达到精确度要求，取中点 。因此零点精确到 0.1 的近似值为 1.3。 二分法的注意： ① 二分法只能求变号零点的近似值；不变号零点的两侧函数值同号，无法用「保留异号的一半」来缩小范围； ② 初始区间要尽量小，两端点的函数值要好算；没有特别要求时，常取相邻的两个整数作为端点； ③ 终止看区间长度与精确度的关系：区间长度不超过精确度的 2 倍时，取中点作为零点的近似值； ④ 计算量大且步骤重复，可借助计算器或计算机完成，也可以设计程序让计算机自动执行。 八、零点个数的判断与综合应用 方法 适用情形 要点 直接法 方程容易解（因式分解、求根公式） 令 f(x)=0 解方程，实数根的个数就是零点的个数 定理法 方程不容易解 找到两端异号的区间断定存在；结合单调性断定唯一 图象法 函数图象容易画出 数图象与 x 轴交点的个数，二重零点只算一个 性质法 已知奇偶性、单调性 奇函数的零点关于原点对称，和常为 0；单调函数至多一个零点 例 7　已知函数 f(x) 是定义域为 R 的奇函数，−2 是它的一个零点，且 f(x) 在 (0,+∞) 上是增函数。这个函数有几个零点？这些零点的和等于多少？ 解：由奇函数的性质，，且 ，所以 2 和 0 都是零点。 又 f(x) 在 (0,+∞) 上递增且 ：当 x>2 时 ，当 0<x<2 时 ，所以正半轴上只有 2 这一个零点。 奇函数的零点成对出现（x 与 −x），负半轴上只有 −2。综上，函数共有 3 个零点：−2、0、2，它们的和为 0。 例 8　若函数 没有零点，求实数 a 的取值范围。 解：函数没有零点，等价于方程 没有实数根，即判别式 ，解得 。所以实数 a 的取值范围是 a>1。 九、本节小结与易错辨析 要点 内容 零点的概念 使 的实数 x 叫做函数的零点；零点是数，不是图象上的点 三个等价 方程 有实数根，等价于函数有零点，等价于图象与 x 轴有交点 零点与判别式 Δ>0 时有两个零点；Δ=0 时有一个（二重）零点；Δ<0 时无零点 解不等式 f(x)>0（或 <0）的解集 = 图象在 x 轴上方（或下方）部分对应的 x；带等号要取端点 零点存在定理 图象连续不断且 f(a)·f(b)<0，则 (a,b) 内至少有一个零点 二分法 取中点、判异号、保留一半、循环；区间长度不超过精确度的 2 倍时取中点作近似值 与已学性质的联系 单调性判断零点个数（至多一个）；奇函数的零点关于原点对称，和常为 0 易错点 错因 对策 把零点当作点 认为零点是 这样的点 零点是使 的实数 α；(α,0) 是图象上的点 端点同号就判无零点 把定理的条件当成了判定依据 条件不满足也可能有零点，要画图或借助单调性另判 由异号断定只有一个零点 忽略定理中的「至少」二字 个数要结合单调性：递增或递减至多一个零点 解不等式符号出错 移项、乘负常数后忘记变号 先化成标准形式，再看二次项系数的符号（开口方向） 对不变号零点用二分法 不变号零点两侧函数值同号 二分法只适用于变号零点 终止判据不清 把精确度与区间长度的关系搞混 区间长度不超过精确度的 2 倍时，中点与零点的误差不超过精确度 十、巩固练习 题号 题目 1 求函数 的零点。 2 求函数 的零点。 3 函数 有几个零点？ 4 若函数 ，求不等式 的解集。 5 若函数 ，求不等式 的解集。 6 若函数 ，求不等式 的解集。 7 函数 在区间 (−2,−1) 内是否有零点？说明理由。 8 函数 在 R 上有几个零点？ 9 用二分法求函数 的一个正零点的近似值（精确到 0.1）。 10 判断：若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上图象连续，且 ，则 f(x) 在 (a,b) 内一定没有零点。（ ） 11 函数 的零点为　　　　　　　　。 12 若函数 没有零点，求实数 a 的取值范围。 13 已知函数 f(x) 是定义域为 R 的奇函数，且共有 5 个零点，则这些零点的和等于　　　　　　　　。 14 函数 的零点为　　　　　　　　。 15 判断：任意函数的零点都可以用二分法求出近似值。（ ） 十一、参考答案 1. 令 ，即 ，所以零点是 1 和 4。 2. 令 ，即 ，所以零点是 −2、0 和 2。 3. ，方程无实数根，函数没有零点（0 个）。 4. 零点为 −2 和 3，抛物线开口向上， 在零点外侧，解集为 (−∞,−2)∪(3,+∞)。 5. 令 ，即 ，零点为 1 和 3；抛物线开口向下， 在零点外侧，解集为 (−∞,1)∪(3,+∞)。 6. ，二重零点为 2； 只在 时成立，解集为 {2}。 7. ，，两端异号且图象连续不断，由零点存在定理，函数在 (−2,−1) 内至少有一个零点。 8. ，只有 使函数值为 0，所以有 1 个零点。 9. ，，取 [1,2]；f(1.5)=−2.625<0，保留 [1.5, 2]；f(1.75)=−0.1406<0，保留 [1.75, 2]；f(1.875)=1.3418>0，保留 [1.75, 1.875]。区间长度 0.125 不超过 0.2，取中点 =1.8125，精确到 0.1 的近似值为 1.8。 10. （×）。取 ，在 [−1,1] 上 ，但 是零点。 11. 令 ，得 ，零点是 −1 和 1。 12. 无零点等价于方程 无实数根，即 ，所以 。 13. 奇函数的零点关于原点对称，除 0 以外成对出现且和为零，所以 5 个零点的和为 0。 14. 令 得 ；注意 使分母为零，不在定义域内，不是零点。所以零点是 −1。 15. （×）。二分法只能求变号零点的近似值；不变号零点两侧函数值同号，无法用二分法。 十二、方法归纳 任务 步骤 关键句式 求函数的零点 令 f(x)=0 解方程；检验根是否为实数 “令 f(x)=0，即 (x−3)(x+2)=0，解得 x=−2 或 x=3，所以零点是 −2 和 3” 判断零点所在区间 计算两端点函数值，看是否异号 “f(a)=……，f(b)=……，异号且图象连续，所以 (a,b) 内有零点” 判断零点个数 直接解方程 / 定理加单调性 / 数图象交点 “在 R 上递增，至多一个零点；又 f(−1)f(0)<0，故有且只有一个零点” 图象法解一元二次不等式 一看二次项系数，二算对应方程的根，三画草图，四写解集 “零点为 −2 和 3，开口向上，所以 f(x)>0 的解集为 (−∞,−2)∪(3,+∞)” 二分法求近似解 定初始区间 → 取中点 → 判异号 → 保留一半 → 判精确度 “区间长度 0.125 不超过 0.2，取中点 1.6875，精确到 0.1 为 1.7” 代数变形的三招（化简 f(−x)、构造 F(x)=f(x)−g(x) 时常用）：提公因式、因式分解、通分。 求方程 的根，可以构造函数 ，函数 的零点就是方程的根——这又是「三个等价」的一个直接用法。 本节边界：本节用「零点」把方程、函数、图象三个视角统一起来，并学会一种求近似值的计算方法。函数的应用（如利用函数模型解决实际问题）以及后续各类具体函数的性质，将在后续章节学习；近似计算、逐步逼近的思想，还能迁移到查找、搜索等其它领域。 学科网（北京）股份有限公司 $