2.2.4 均值不等式及其应用知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

2.2.4 均值不等式及其应用　知识清单 人教B版（2019）　必修第一册　第二章（等式与不等式） 从赵爽弦图到“两个正数的平均值”：同一个不等式，既比较大小，又求最值 图 1　本节知识地图：重要不等式、算术平均值与几何平均值、均值不等式及其在求最值中的应用 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习 目标 ① 理解重要不等式 （R）的代数意义与面积意义，会用作差法证明，并记住“当且仅当 时取等”； ② 理解算术平均值与几何平均值的概念，掌握均值不等式 （）及其常用变形； ③ 会用均值不等式求简单的最值，理解“和定积最大、积定和最小”； ④ 掌握“一正、二定、三相等”的判断方法，能识别并纠正常见错误； ⑤ 会用均值不等式解决围栏、用料等简单的实际问题，答案回到实际意义。 重点 均值不等式的形式、取等条件与最值应用；“一正、二定、三相等”的检验 难点 取等条件是否成立；拼凑定值（如把 x(5−2x) 配成 2x 与 5−2x 的和为定值） 2.2.1 与 2.2.2 讲不等式的性质，2.2.3 讲一元二次不等式的解法，都是“给定一个不等式，求 的取值范围”。本节换一个方向：两个正数的和与积之间本身就有确定的大小关系，把这个关系用熟了，就能在“和固定”或“积固定”时求出最大（小）值。 二、情境引入：赵爽弦图与会标 2002 年 8 月，第 24 届国际数学家大会在北京召开，会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”。这个图案由 4 个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间留下一个小正方形。设直角三角形的两条直角边分别为 、（），斜边为 。 同一块面积，可以有两种算法。 算法一：大正方形的边长是斜边 ，由勾股定理 ，所以大正方形的面积等于 。 算法二：4 个三角形的面积之和是 ，中间小正方形的边长是 ，面积是 。两部分相加，得到。 两种算法量的是同一个大正方形，于是 。而小正方形的面积不会为负，即 ，所以 ，并且只有当小正方形缩成一个点（即 ）时，等号才成立。 想一想把 4 个三角形换得更“扁”一些（ 与 相差更大），中间的小正方形会变大还是变小？此时 比 大得多还是差不多？当 时两种算法给出的面积相等——这就是“取等”的几何含义。 三、重要不等式 重要不等式如果 都是实数，那么，当且仅当 时，等号成立。 证明（作差法）因为，所以 ；当且仅当 ，即 时等号成立。 作差法的三步要写完整：作差（左边减右边）→ 变形（配成完全平方）→ 判号（平方非负）。这三步和 2.2.1 比较两个实数大小的方法完全一致，只是这里的“差”恰好是一个完全平方。 照“作差法”的规范格式，把上面的证明完整地写一遍就是： 求证：（a、b 都是实数）。 证明：因为 ， 所以 。 当且仅当 ，即 时，等号成立。 三步各管什么，对照下表就清楚了： 步骤 要 求 本例中的体现 第一步　作差 左边减右边，写出一个差式 第二步　变形 配成完全平方（或通分、因式分解） 第三步　判号 由平方非负判符号，写出取等条件 用几个数体会一下这个“差”：取 ，差为 ；取 ，差为 ；取 ，差为 。两数相差越大，差就越大，它恰好等于 ，也就是两数距离的平方；相差为 0 时差也为 0，这正是“取等”的由来。 图 2　赵爽弦图的面积账本：大正方形面积等于四个三角形与中间小正方形面积之和，由此得到重要不等式 由重要不等式还可以直接得到两个常用的结论（都只要把 式子变形后套用一次）： 形式 条件 取等条件 说明 a,b∈R a=b 两边都是实数就能用 a,b∈R a=b 把左边换成两数和的平方展开 a,b∈R a=b 两项平方和不小于和的一半的平方 第三条也可以这样看：，而 ，所以 。当 、 一正一负、或都取 0 时，这几条同样成立——重要不等式对任意实数都成立，没有“正数”的要求。这一点和下一节的均值不等式不同，要分清。 四、算术平均值、几何平均值与均值不等式 给定两个正数 、： 两个平均值数 叫做 与 的算术平均值；数 叫做 与 的几何平均值。 均值不等式如果 都是正数，那么，当且仅当 时，等号成立。用文字说：两个正数的几何平均值不大于它们的算术平均值。 证明仍用作差法。把两边的差算出来，通分后正好配成一个完全平方： ，所以 。当且仅当 ，即 时取等。 三点说明：① 条件 不能少——、 中有负数时 可能没有意义，两边的大小关系也可能反过来。② 条件放宽为 时，均值不等式仍然成立（此时 有意义）。③ 有的教材把这条不等式叫做“基本不等式”，名称不同，内容一致。 图 3　均值不等式的几何意义：以 a+b 为直径作半圆，半径 OD 是算术平均值，半弦 CD 是几何平均值，直角边不大于斜边 这个半圆模型值得记牢：以 为直径作半圆，圆心为 ，直径上取点 ，使 、；过 作直径的垂线交半圆于 。则半径 ，而由相似三角形的性质可得 ，即 。在直角三角形 中，直角边不大于斜边，所以 。当 时点 与 重合，半弦与半径重合，等号成立。 另一个几何解释是“周长一定的矩形中，正方形的面积最大”：周长固定为 时，矩形面积 不超过边长为 的正方形面积 。 五、均值不等式的常用变形 把均值不等式两边同乘 2，得到（）；两边平方，得到（）。这两种写法各管一头：前者把“和”留在左边，用来求和的最小值；后者把“积”留在左边，用来求积的最大值。取等条件都是 。 形式 条件 取等 主要用途 a,b>0 a=b 比较两个平均值的大小 a,b>0 a=b 积为定值时求和的最小值 a,b>0 a=b 和为定值时求积的最大值 六、用均值不等式求最值 把上面的变形反过来读，就是求最值的两条结论。设 ： 积定和最小若 （ 为定值），则 ，当且仅当 时， 取得最小值 。 和定积最大若 （ 为定值），则 ，当且仅当 时， 取得最大值 （即 ）。 用之前必须过三关，口诀是“一正、二定、三相等”：① 一正——参与运算的两项都是正数；② 二定——它们的和或积是定值；③ 三相等——等号确实能取到。三关缺一不可，图 4 把两种模型并排画在一起。 图 4　两种最值模型：周长（和）不变时正方形面积最大，面积（积）不变时正方形周长最小 例 1（积定求和的最小值） 已知 ，求 的最小值，并求取得最小值时 的值。 解：因为 ，所以 ，两项都为正，且积 为定值。由均值不等式 ，当且仅当 ，即 时等号成立。所以 的最小值为 2，此时 。 提醒如果 ，则 ，既没有最小值，也不能套用上面的结论。所以“一正”是第一道关口，答题时要先写明“因为 ”。 例 2（先判断符号，再用均值不等式） 已知 ，求证 ，并指出等号成立的条件。 证明：因为 ，所以 、 同号，从而 ，。由均值不等式 ，当且仅当 ，即 时等号成立。又 、 同号，所以等号成立的条件是 。 例 3（两个几何最值） （1）已知矩形的面积为 100 平方米，长与宽各为多少时，它的周长最短？最短周长是多少？ 解：设长为 米（），则宽为 米。周长为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，此时宽也是 10 米。答：长与宽都是 10 米时周长最短，最短周长是 40 米。 （2）已知矩形的周长为 36 米，长与宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 解：设长为 米（），则宽为 米。由和定积最大， ，当且仅当 ，即 时等号成立。答：长与宽都是 9 米时面积最大，最大面积是 81 平方米。 七、拼凑定值：让和或积成为常数 例 1、例 3 里的“定值”是现成的：，长与宽的和是 18。更多题目没有这么整齐，需要先变形——或者提出一个系数，或者把某一项拆开。凑的原则只有一条：让两项的积（或和）成为常数，同时保证两项都是正数。 例 4（先配系数，再求和为定值） 求 （）的最大值。 分析：两项 与 的和是 ，不是定值；积也不是定值，不能直接套。若把 写成 ，则 与 的和恰好是 5，是定值。 解：因为 ，所以 ，，且 为定值。于是 ，当且仅当 ，即 时等号成立。所以最大值为 。 回代检验： 时，，；取 时值为 3，小于 ，与结论相符。 例 5（实际应用：靠墙围菜园） 用 24 米长的篱笆靠墙围一个矩形菜园，墙足够长，墙作为矩形的一条边。怎样围面积最大？最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为 米，则平行于墙的边长为 米。由边长都是正数，得 。菜园面积 。因为 ，，且 为定值，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，此时 。答：垂直于墙的边长为 6 米、平行于墙的边长为 12 米时面积最大，最大面积是 72 平方米。 这道题与 2.2.3 课后巩固第 11 题是同一个模型：那一题用判别式判断出“面积不能超过 80 平方米”，本节用均值不等式进一步算出上限其实是 72 平方米，还顺带知道了怎样围。同一个实际问题，两种工具，后一种更直接。 八、实际应用的一般步骤 四步走① 设变量、写表达式：把要求最值的量用含 的式子表示，并把 的取值范围写清楚（边长大于 0、另一边也大于 0）； ② 定类型：看两端的“和”是定值还是“积”是定值，决定用求最大值还是求最小值的那一条； ③ 用不等式：写出 或 ，并验证等号能否取到（取等时的 是否落在取值范围内）； ④ 作答：把 换回实际量，写清单位与“最大（小）”字样。 例 6（由最值反求参数） 已知 ，。若 的最小值为 4，求 的值。 解：因为 ，，所以 ，且 为定值。由均值不等式 ，当且仅当 ，即 ， 时等号成立。所以最小值为 。由题意 ，得 ，所以 。 检验： 时，，当 时取等号，最小值确为 4，符合题意。 九、易错辨析 均值不等式本身不难，错都错在条件上。下表把四种最常见的错解与正确做法摆在一起，图 5 用左右对照的形式再强调一遍。 错误类型 典型错解 错在哪里 正确做法 忽视“一正” 对任意 ，都有 取 时左边等于 ，小于 2 先说明 ，再套公式 忽视“二定” 求 的最小值时直接套公式 两项的积 不是定值 先变形，凑出积（或和）为定值 忽视“三相等” 当 时， 的最小值为 2 取等需 ，不在 内 等号取不到，2 不是最小值 取等条件写错 认为 当且仅当 取等 应为 ，即 由 得 图 5　“一正、二定、三相等”三关与常见错解对照：条件不满足时，不能强行使用均值不等式 养成一个习惯：动笔套公式之前，先在草稿上给三个条件逐条打勾——两项为正吗？和（或积）是定值吗？等号能取到吗？三条都打上勾，再往下写。 十、本节边界 ① 本节只讨论两个正数的均值不等式。三个或更多正数的同类不等式属于后续内容，本节不涉及，也不要求用“多次使用”的办法处理复杂式子。 ② 本节不引入函数记号，也不涉及变量之间的依赖关系（函数）的系统内容；求最值时一律用“当……时，……取得最小值（最大值）……”的文字表述，不写 这样的式子。 ③ 用均值不等式求最值只是方法之一：当“二定”或“三相等”不具备时，本节只要求判断“不能这样用”，不要求换用其它工具把最值求出来。 ④ “1 的代换”“拆项后再多次使用”等技巧不在本节要求之内，本节只练一次使用、直接凑定值。 ⑤ 不等式的性质（2.2.1）、一元二次不等式的解法（2.2.3）已经完成，本节只在需要判断符号、写取值范围时顺带用到，不再系统复习。 十一、课后巩固 1. 已知 R，求证 ，并指出等号成立的条件。 2. 已知 ，求 的最小值，并求取得最小值时 的值。 3. 已知 ，求 的最小值。 4. 已知 ，求证 ，并指出等号成立的条件。 5. 已知 ，求 的最大值。 6. 已知 ，求 的最大值。 7. 已知 ，且 ，求 的最小值。 8. 已知 ，且 ，求 的最大值。 9. 用 20 米长的篱笆围一个矩形菜园，怎样围面积最大？最大面积是多少？ 10. 已知 ，且 ，求 的最大值。 11. 用 36 米长的篱笆靠墙围一个矩形菜园（墙足够长，墙作为矩形的一条边），怎样围面积最大？最大面积是多少？ 参考答案 1. 作差：，所以 ；当且仅当 时等号成立。 2. 因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等。最小值为 4，此时 。 3. 因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等。最小值为 2。 4. 因为 ，所以 ，，且 。所以 ，当且仅当 ，即 ，结合 、 同号，得 时取等。 5. 因为 ，所以 ，，且和为 3。由和定积最大， ，当且仅当 ，即 时取等。最大值为 。 6. 因为 ，所以 ，，且 为定值。于是 ，当且仅当 ，即 时取等。最大值为 。 7. 因为 ，由积定和最小，，当且仅当 时取等。最小值为 8。 8. 因为 ，由和定积最大，，当且仅当 时取等。最大值为 16。 9. 设矩形的一边长为 米（），则另一边长为 米，周长已定为 20 米。由和定积最大，，当且仅当 ，即 时取等。答：围成边长为 5 米的正方形时面积最大，最大面积是 25 平方米。 10. 把 看成一个整体：，，且 为定值。由和定积最大， ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等。最大值为 2。 11. 设垂直于墙的边长为 米（），则平行于墙的边长为 米，面积 。由和定积最大， ，当且仅当 ，即 时取等，此时平行于墙的边长为 18 米。答：垂直于墙的边长为 9 米、平行于墙的边长为 18 米时面积最大，最大面积是 162 平方米。 十二、本节小结 把本节的核心结论和用法收成一张表，复习时对着它回忆即可： 内 容 表达式或要点 重要不等式 （a、b 都是实数）， 时取等 均值不等式 （a、b 都是正数）， 时取等 常用变形 ；（a、b 都是正数） 积定和最小 两正数积为定值 ，则 ， 时取最小值 和定积最大 两正数和为定值 ，则 ， 时取最大值 三关口诀 一正、二定、三相等，三条缺一不可 应用四步 设变量 → 定类型 → 用不等式 → 作答 学习提示：均值不等式的“用法”比“式子”更要紧。做题时先看清两项是不是正数，再看它们的和或积是不是定值，最后核对等号能不能取到；三关都过了再动笔，才不会把“不能这样用”的题硬套公式。 学科网（北京）股份有限公司 $