3.3 函数的应用(一)-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦函数模型的应用，涵盖一次函数、二次函数、分段函数及均值不等式的实际应用，通过蜡烛燃烧、行程问题等情境导入，衔接函数概念，搭建从理解函数性质到解决实际问题的学习支架，引导学生掌握解函数应用问题的四步骤。 资料以实际情境为载体，题型分类系统且配套跟踪训练与分层精练，强化数学建模和数学运算素养，帮助学生用数学的眼光观察现实世界，提升从实际问题中抽象函数关系并求解的能力，适合师生教学使用。

数学 必修 第一册RJB (教师独具内容) 课程标准：1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律． 教学重点：用函数来解决实际问题． 教学难点：建立函数关系． 核心素养：通过应用函数知识解决实际问题培养数学建模素养和数学运算素养． 知识点　解函数应用问题的基本步骤 第一步，阅读理解，认真审题． 第二步，引进数学符号，建立数学模型． 第三步，利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答，求得结果． 第四步，转译成具体问题作出解答． [拓展]　常见的函数 (1)一次函数：其特点是随着自变量的增大，函数值匀速增大或减小．现实生活中很多事例可以用该函数来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长量与拉力的关系等． (2)二次函数：二次函数为生活中最常见的一种函数，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等问题常常是二次函数问题． (3)分段函数：由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用． 1．(一次函数的应用)若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(单位：cm)与燃烧时间t(单位：小时)的函数关系用图象表示为(　　) 答案：B 2．(分段函数的应用)某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________． 答案：y＝ 3．(二次函数的应用)有200 m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，那么矩形的长为________ m，宽为________ m时，这块菜地的面积最大． 答案：100　50 题型一　一次函数的应用　 　一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问每天应该从报社买进多少份报纸，才能使每月所获得的利润最大？并计算最大利润是多少？ [解]　设每天从报社买进报纸x份(250≤x≤400)，每月所获得的利润为y元，列表分析如下： 数量/份 价格/元 金额/元 买进 30x 0.20 6x 卖出 20x＋10×250 0.30 6x＋750 退回 10(x－250) 0.08 0.8x－200 所以y＝[(6x＋750)＋(0.8x－200)]－6x＝0.8x＋550(250≤x≤400)． 因为y在x∈[250，400]上是增函数， 所以当x＝400时，y取得最大值870， 即每天应该从报社买进400份报纸，才能使每月获得的利润最大，最大利润为870元． 【感悟提升】　一次函数应用题的解题方法 (1)建立一次函数模型时先求出自变量的取值范围． (2)根据题目中的数量关系建立一次函数模型． (3)利用一次函数的图象和性质求解、检验． 【跟踪训练】　 1．某服装厂每天可生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元，每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元．由于资金有限，该厂每月成本支出不超过23万元，为使盈利最大，若按每月30天计算，应安排生产童装和西服各多少天(天数为整数)？并求出最大利润． 解：设生产童装的天数为x，则生产西服的天数为(30－x)，每月生产童装和西服的套数分别为200x和50(30－x)，每月生产童装和西服的成本分别为40×200x元和150×50×(30－x)元，每月生产童装和西服的利润分别为22×200x元和80×50(30－x)元，则总利润为y＝22×200x＋80×50(30－x)，化简得y＝400x＋120000. 注意到每月成本不超过23万元， 则40×200x＋150×50×(30－x)≤230000，从而求出x的取值范围是0≤x≤10，且x为整数． 显然当x＝10时，盈利最大，最大利润是124000元． 题型二　二次函数的应用　 　某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人每位0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后，年纯收益为y万元． (1)写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围； (2)当140<a≤280时，该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁员) [解]　(1)由题意，知y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－x2＋x＋a. 因为a－x≥a， 所以x≤a. 故x的取值范围是上的自然数． (2)因为y＝－＋＋a，且140<a≤280， 所以当a为偶数时，x＝－70，y取最大值； 当a为奇数时，x＝－70，y取最大值． 所以当员工人数为偶数时，该企业应裁员人，才能获得最大的经济效益； 当员工人数为奇数时，该企业应裁员人，才能获得最大的经济效益． 【感悟提升】　二次函数应用问题的解题策略 (1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式)． (2)利用配方法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题． (3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象． 【跟踪训练】　 2．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(单位：万元)与年产量x(单位：吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：设可获得总利润为R(x)万元， 则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8000＝－＋88x－8000＝－(x－220)2＋1680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0，210]上是增函数， ∴当x＝210时， R(x)max＝－(210－220)2＋1680＝1660(万元)． ∴当年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元． 题型三　分段函数的应用　 　某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆． 旅游点规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，用y表示出租所有自行车的日净收入．(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得) (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ [解]　(1)当3≤x≤6，且x∈N时，y＝50x－115， 当6<x≤20，且x∈N时， y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115， 综上可知， y＝f(x)＝ (2)当3≤x≤6，且x∈N时， 因为y＝50x－115是增函数， 所以当x＝6时，ymax＝185元； 当6<x≤20，且x∈N时， y＝－3x2＋68x－115＝－3＋， 所以当x＝11时，ymax＝270元． 综上所述，当每辆自行车的日租金定为11元时，能使日净收入最多，为270元． 【感悟提升】　分段函数应用题的解法 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值． 【跟踪训练】　 3.学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40 min的一节课中，注意力指数y与听课时间x(单位：min)之间的关系满足如图的图象，当x∈(0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10，80)，过点B(12，78)；当x∈[12，40]时，图象是线段BC，其中C(40，50)．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳． (1)试求y＝f(x)的函数关系式； (2)教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由． 解：(1)当x∈(0，12]时， 设f(x)＝a(x－10)2＋80(a≠0)． 因为该部分图象过点B(12，78)，将点B的坐标代入上式，得a＝－， 所以f(x)＝－(x－10)2＋80； 当x∈[12，40]时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)． 因为线段BC过点B(12，78)，C(40，50)，将它们的坐标分别代入上式，得方程组解得 所以f(x)＝－x＋90. 故所求函数的关系式为 y＝f(x)＝ (2)由题意， 得或 解得4<x≤12或12<x<28， 即4<x<28. 故教师在(4，28)时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 题型四　利用均值不等式解应用题　 　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)(单位：万元)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值． [解]　(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝. 又因为建造成本费用为C1(x)＝6x， 所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． (2)f(x)＝＋2×(3x＋5)－10 ≥2－10 ＝2×40－10＝70， 当且仅当＝2×(3x＋5)， 即x＝5时，等号成立． 所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小值70万元． 【感悟提升】　应用均值不等式解决实际问题的注意点 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为因变量． (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内求出函数的最大值或最小值． (4)根据实际问题正确写出答案． 【跟踪训练】　 4．某单位在国家科研部门的支持下，能够把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的二氧化碳处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家每月至少补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为每吨200元． (2)不获利． 设该单位每月获利为S元，则 S＝100x－y＝100x－ ＝－x2＋300x－80000＝－(x－300)2－35000， 因为x∈[400，600]， 所以S∈[－80000，－40000]． 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能使该单位不亏损． 1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　) A．310元 B．300元 C．390元 D．280元 答案：B 解析：由图象知，该一次函数的图象过点(1，800)，(2，1300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300. 2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，若该企业生产的这种商品能够全部售出，那么为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品(　　) A．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件 答案：A 解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)取得最大值．故选A. 3．(多选)国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税，则(　　) A．纳税额y(单位：元)与稿费x(单位：元)之间的函数关系式为 y＝ B．稿费为4800元时，应纳税560元 C．稿费为600元时，不用纳税 D．某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为3750元或3800元 答案：AC 解析：由题意知，纳税额y(单位：元)与稿费x(单位：元)之间的函数关系式为 y＝∵4800>4000，∴稿费为4800元时，应纳税11.2%×4800＝537.6(元)；∵600元不超过800元，∴不用纳税；令(x－800)×14%＝420，解得x＝3800，令11.2%x＝420，解得x＝3750(舍去)，故这个人应得稿费(扣税前)为3800元．故选AC. 4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件． 答案：80 解析：设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，由题意，得y＝＋≥2＝20，当且仅当＝(x>0)，即x＝80时，等号成立． 5．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强． (1)当________≤x≤________时，学生的接受能力逐步增强，当________≤x≤________时，学生的接受能力逐步降低； (2)当提出概念所用的时间为10分钟时，学生的接受能力为________； (3)当提出概念所用的时间为________分钟时，学生的接受能力最强． 答案：(1)0　13　13　30　(2)59　(3)13 解析：(1)因为y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1·(x－13)2＋59.9，所以当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；当13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低． (2)当x＝10时，y＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59，即当提出概念所用的时间为10分钟时，学生的接受能力为59. (3)当x＝13时，y取最大值，所以当提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强． 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 对点 分段函数的应用 分段函数的应用 二次函数的应用 对勾函数的应用 分段函数的应用 一次函数的应用 分段函数的应用 一次函数的应用 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 二次函数的应用 对勾函数的应用 一次函数的应用 二次函数的应用 一次函数、二次函数的应用 二次函数的应用 对勾函数的应用 分段函数的应用 一、单选题 1．某城市出租汽车的收费标准是：起步价为6元，行程不超过2千米者均按此价收费；行程超过2千米，超过部分按3元/千米收费(不足1千米按1千米计价)；另外，遇到堵车或等候时，汽车虽没有行驶，但仍按6分钟折算1千米计算(不足1千米按1千米计价)．陈先生坐了趟这种出租车，车费24元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程的取值范围是(　　) A．[5，6) B．(5，6] C．[6，7) D．(6，7] 答案：B 解析：若按x千米(x∈N)计价，则6＋(x－2)×3＋2×3＝24，得x＝6.故实际行程应属于区间(5，6]． 2．某种药物服用x小时后在血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　) A．上午10：00 B．中午12：00 C．下午4：00 D．下午6：00 答案：C 解析：由图象知，当0≤x≤4时，设函数y＝f(x)＝k1x，把点(4，320)代入得k1＝80，所以y＝f(x)＝80x；当4<x≤20时，设函数y＝f(x)＝k2x＋b，将点(4，320)和(20，0)代入得解得此时y＝f(x)＝－20x＋400，所以y＝f(x)＝ 当0≤x≤4时，令80x≥240，得3≤x≤4；当4<x≤20时，令－20x＋400≥240，解得4<x≤8，所以3≤x≤8.故第二次服药最迟的时间应为第一次服药后8个小时，即下午4：00.故选C. 3．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　) A．120.25万元 B．120万元 C．90.25万元 D．132万元 答案：B 解析：设在甲地销售了x辆车，则在乙地销售了(15－x)辆车，令总利润为L，则L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋.因为x∈N，所以当x＝9或10时，L有最大值，Lmax＝120(万元)．所以在甲地销售9辆车，在乙地销售6辆车或在甲地销售10辆车，在乙地销售5辆车时，可获得最大利润120万元． 4．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(单位：万元)与年产量x(单位：吨)之间的关系可近似地表示为y＝－30x＋4000，则每吨成本最低时的年产量为(　　) A．240吨 B．200吨 C．180吨 D．160吨 答案：B 解析：依题意，得每吨的成本为＝＋－30≥2－30＝10，当且仅当＝，即x＝200时取等号，因此，每吨成本最低时的年产量为200吨． 5．某厂推出一款品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为15000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，总收益为R(x)(单位：元)．根据初步测算R(x)＝其中x是“玉兔”的月产量，则该厂所获最大利润为(总收益＝成本＋利润)(　　) A．4万元 B．3万元 C．2.5万元 D．2万元 答案：B 解析：设利润为f(x)，依题意，得f(x)＝R(x)－100x－15000，即f(x)＝ 当0≤x≤400时，f(x)＝－x2＋300x－15000＝－(x－300)2＋30000，当x＝300时，f(x)max＝f(300)＝30000；当x>400时，f(x)<f(400)＝25000.所以当x＝300时，该厂所获利润最大，最大利润为30000元．故选B. 二、多选题 6．图①是某大型游乐场的游客人数x(单位：万人)与收支差额y(单位：万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是(　　) A．图①中点A的实际意义表示该游乐场投入的成本费用为1万元 B．图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支恰好平衡 C．图②游乐场实行的措施是降低门票的售价 D．图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用 答案：ABD 解析：对于A，图①中点A的实际意义表示游乐场投入的成本费用为1万元，故A正确；对于B，图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，故B正确；对于C，图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，故C错误；对于D，图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，故D正确．故选ABD. 7.某上市股票在30天内每股的交易价格P(单位：元)与时间t(单位：天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在如图所示的两条线段上，该股票在30天内(包括30天)的日交易量M(单位：万股)是关于时间t(单位：天)的一次函数，部分数据如下表所示： 第t天 6 13 20 27 M/万股 34 27 20 13 下列说法正确的是(　　) A．第10天的股价是8元 B．日交易量M关于时间t的函数关系是M＝－t＋40 C．该股票第20天时，每股的交易价格达到最大值 D．第15天时，日交易额最大，为125万元 答案：BCD 解析：由题图知当t＝10时，P＝4，故A错误；由题意知，M是关于t的一次函数，设M＝ct＋d(c≠0)，把点(6，34)和(13，27)的坐标代入得解得∴M＝－t＋40，故B正确；由题图知，第20天时，该股票每股的交易价格达到最大值，故C正确；当0≤t<20时，设函数解析式为P＝at＋b，把点(0，2)和(10，4)的坐标代入得解得∴P＝t＋2，当t＝20时，P＝6，当20≤t≤30时，设函数解析式为P＝mt＋n，把点(20，6)和(30，5)的坐标代入得解得∴P＝－t＋8， ∴P＝∵日交易量M＝－t＋40，∴该股票日交易额y＝PM＝当0≤t<20时，y＝－t2＋6t＋80，当t＝15时，ymax＝125；当20≤t≤30时，y＝t2－12t＋320，当t＝20时，ymax＝120.综上所述，在这30天内，第15天日交易额最大，为125万元，故D正确．故选BCD. 三、填空题 8．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量x(单位：kg)与运费y(单位：元)之间的函数关系如图所示，那么乘客免费可携带行李的最大重量为________． 答案：19 kg 解析：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将点(30，330)，(40，630)的坐标代入得y＝30x－570，令y＝0可得x＝19. 9．某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个________元． 答案：60 解析：设涨价x元时，获得的利润为y元，有y＝(5＋x)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250.∴当x＝10时，y取得最大值，此时售价为60元． 10．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________ h后池水中该药品的浓度达到最大，最大浓度为________ mg·L－1. 答案：2　5 解析：C＝＝.因为t>0，所以t＋≥2＝4.所以C＝≤＝5，即当t＝2时，C取得最大值5. 四、解答题 11．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出以下两种优惠方法： ①买一个茶壶赠送一个茶杯； ②按总价的92%付款． 某顾客需购茶壶4个，茶杯若干(不少于4个)，若需茶杯x个，付款数为y元，试分别建立两种优惠方法中y与x的函数解析式，并讨论顾客选择哪种优惠方法更合算？ 解：由优惠方法①，得函数解析式y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4)． 由优惠方法②，得函数解析式y2＝(5x＋4×20)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4)． 所以y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4)． 当0.4x－13.6>0，即x>34时，y1>y2，则优惠方法②更合算； 当0.4x－13.6＝0，即x＝34时，y1＝y2，则两种优惠方法付款数一样； 当0.4x－13.6<0，即4≤x<34时，y1<y2，则优惠方法①更合算． 12．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月每辆需维护费150元，未租出的车每月每辆需维护费50元． (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益为多少？ 解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时租出了88辆车． (2)设每辆车的月租金定为x元，公司月收益为f(x)元，则f(x)＝(x－150)－×50，整理，得f(x)＝－＋162x－21000＝－(x－4050)2＋307050，所以当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050. 即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元． 13.某公司试销一种成本单价为500元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元．经试销调查，发现销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)，函数图象如图所示． (1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式； (2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？ 解：(1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b(k≠0)中， 得解得 所以y＝－x＋1000(500≤x≤800)． (2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，成本总价＝成本单价×销售量＝500y，代入求毛利润的公式，得S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)． 所以当销售单价定为750元时，该公司可获得最大毛利润62500元，此时的销售量为250件． 14．某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围； (2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润． 解：(1)由题意可知，2≥30， 即5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0， 所以x≤－或x≥3. 又1≤x≤10，所以3≤x≤10. (2)易知获得的利润y＝＝120，x∈[1，10]， 令t＝∈，则y＝120(－3t2＋t＋5)． 当t＝，即x＝6时，ymax＝610， 故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元． 15.住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲区域，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形区域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形(如图中阴影部分)上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2. (1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数关系式； (2)至少要投入多少元，才能建造这个休闲区域？ 解：(1)设DQ＝y m，则x2＋4xy＝200， y＝.S＝4200x2＋210×4xy＋80×4×y2＝38000＋4000x2＋(0<x<10)． (2)S＝38000＋4000x2＋≥38000＋2＝118000，当且仅当4000x2＝，即x＝时，Smin＝118000，即至少要投入118000元，才能建造这个休闲区域． 16．近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇．某仪器公司生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中0<x≤100，x∈N，且y＝ 每台检测仪售价2万元，且每年生产的检测仪器都可以售完． (1)求该公司生产的环境检测仪的年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：百台)的函数关系式； (2)求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值． 解：(1)当0<x<50时，L(x)＝200x－(3x2＋14x)－500＝－3x2＋186x－500， 当50≤x≤100时，L(x)＝200x－－500＝－20x－＋7000. 故L(x)＝ (2)当0<x<50时，L(x)＝－3x2＋186x－500＝－3(x－31)2＋2383， 所以当x＝31时，L(x)max＝2383； 当50≤x≤100时，L(x)＝－20x－＋7000＝6200－. 因为20(x－40)＋≥ 2＝800， 当且仅当20(x－40)＝，即x＝60时，等号成立， 所以L(x)＝6200－≤6200－800＝5400. 所以当x＝60时，L(x)max＝5400>2383. 所以当年产量为6000台时，年利润最大，且最大利润为5400万元． 16 学科网（北京）股份有限公司 $