江苏省苏州实验中学科技城校2026-2027学年高二第一学期10月学情调研数学试卷

2026-2027学年高二年级第一学期10月学情调研 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.已知数列2，√6,2√2，√10，，√2n+2,,则V46是这个数列的() A.第19项 B.第20项 C.第21项 D.第22项 2.直线l的一个方向向量为n=（-1,2),且过点A(2,-1),则直线1的方程为（) A.x+2y=0 B.2x+y-5=0 C.x-2y-4=0 D.2x+y-3=0 3.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S=a2十5a,a,=4,则a1=() 1 A.4 B月 C. D.' 2 4.己知实数-工x,y,z,-16成等比数列，则z=() A.-8 B.64 C.-64 D.8 5.已知数列{an}满足a. ,n∈N,若对于任意n∈N都有an>aH,则 a"-7,n≤8 实数a的取值范围是 A 13 220 6德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响他 幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1+2+3+·+100的求和运算时， 就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成， 因此，此方法也称之为高斯算法已知某数列通项a。= 2n-100 则a1+a2+.+a100= 2n-101 () A.98 B.99 C.100 D.101 7.己知点A2,-3),B(-3,-2,若点Px)在线段AB上，则的取值范围为( A(0,-4u匠o B(w,u怪，+o）c[4,到 D.4 8.正项数列{a,}的前n项积为T,且（亿，-2）(a,-1)=2,则a26-() 4047 B. 4049 4051 4053 A. C. D. 4045 4047 4049 4051 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.己知直线l1:x+(a-1)y+1=0,直线l2:ax+2y+2=0,则下列结论正确的是() A.飞1在x轴上的截距为-1 B,L2过点(0，一)且不垂直x轴 C.若l1/2,则a=-1或a=2 D.若l12,则a=月 10.已知数列{an}的前n项和为S.,则下列说法正确的是() A.若Sn=2an+n-3,则a,=2"-+1 B.若数列{an}为等差数列，Ss>0,S6<0,则n=8时，Sn最大 C.若数列{a,}满足4=2,41+-1，则40，+4,4，+…+a42s=1013 a. 2X30+1 D.若an=3”,则数列 (a,-1)(an1-1) 的前项和小于3 2 11.有一列数：1,1,2,3,5,8，，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起， 每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{a称为斐波那契数 列，又称黄金分割数列（当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分 割0.618).在现代物理、准晶体结构、股市研究等领域，斐波那契数列都有应用现将数 列{a}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{bn},则下列结论正确的是（). A.b2019=3 B.b1+b2+b3+…+b2020=2695 C.n≥2，n∈N*,若数列{an+1·an-1}为等比数列，公比为9，则λ=q+1 D.ai+a2+a3++an=an+2-1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知点P(x,1-x)在第一象限内运动，则动点P到原点O的距离|OP|的取值 范围是 13.如图，正方形ABCD的边长为2Cm,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H, 作第二个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第三 个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作 次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数 14.已知数列a,=3”-1,bn=3n-2,将亿}中的项按从小到大的顺序插入{an}中，且在任 意的a,4之间插入2k项，从而构成一个新数列{c}:a,,b2,a2,b,b4,b,b,4,…,设{c}的 前n项和为T。,则T40=一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2=11,S10=40. (1)求{an}的通项公式： 2)求数列{an的前n项和 16.已知数列{an}满足：a+1= 0.5an+n,n为正奇数 0,-2n,n为正偶数，4=6.=a.-2. (1)求a2,43,a4的值： (②)求证：{b}为等比数列，并求其通项公式： (3)求a2+a4+…+a2m的和T 17.己知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明：直线1过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围， (3)若直线1交轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点，设△AOB的面积 为S,求$的最小值， 3 18.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2a,-2(n∈N),数列{b,}满足b,=1点 P(bn,bn+1)在直线x-y+2=0上. (1)求数列{an},{bn}的通项an和b.; (2)令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn: 3)若元>0，求对所有的正整数n都有222-k2+2>成立的k的范围. a2n 19.已知数列{a}和6，}满足：2a-g+b,4,,>0,neN. b. (1)设4=5，bn=n,求a,的值； 2)设a=√2b,b层1=an+bn,求数列 的通项公式； (3)设b,=b<a,证明：夕a-b<1。 kiar+b 2026-2027学年高二年级第一学期10月学情调研参考答案 1 2 A 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 2 AD ABD BD 21 P 2803 1 a<0 5.【详解】由题意数列{an}为递减数列，所以只需满足 13 0<a<1 ,解得 <a<1, 3-9a 20 a=a>a,=2 6,【详解由已知，数列通项a,二2二10，所以 2m-1002101-m）-100-2m-100+102-2_4n-202=2, a,+ao-.-2m-10i+2101-n)-101-2n-101101-2n2n-101 所以a+a100=a2+a9=43+ag8=an+a10-m=2，所以a1+a2+.+a10=50×2=100 8.【详解】依题意当n=1时，可得(-24-)-=2，即-34，=0，解得4=3或马=0（舍），当n≥2 时，a4-a48，可得是，由化-2-=2可得亿-2经-小2 ,所以 (亿，-2.-T)=2,整理可得-T7-2江.=0，即T(亿，-7-2)=0，又因为数列{a}的各项为正， 所以T≠0，可得T,-T-2=0,因此T,-T=2,由此可知数列{}是以T=4=3为首项，公差为2 y6,=Z=2n+1 2×2026+1_4053 的等差数列，因此7.=3+2(n-=21+1,所以，72n-1,可得%= 2×2026-14051 10.【详解】对于A,当n=1时，a1=S,=2a1+1-3,解得：a1=2,当n22时， an=Sn-Sn=2an+n-3-(2an-1+n-1-3),化简可得：an=2an-1-1,所以an-1=2(am-1-1),则{an-1}是 首项为1，公比为2的等比数列，所以a。-1=2-,即a,=2-+1(neN*),故A正确； 对于B,在等差数列中，=15色+a_15x24=154,>0,则4>0，=16a+ad】=8(4+a)<0, 2 由于ag>0,则a,<0,所以等差数列{an}的公差小于0，则a1>a2>…>a>0>a,>4o…,则n=8时，Sn最 大，故B正确； 对于C数列和}满是a=2,+2,4=1-=,马=1片=-1。 4。 22 ,a4=1-（-1)=2,所以数列{a,}是 2 周期为3的数列，计算一个周期内的乘积：a4,,44一44=-2故24+24+6Q,三子所巴 44+a4+a,+…+n2a-65a4,+aa+a)=675×(引-2g放c不正确： 对于D,由题可用：可六)所以刑l可司 2×30*1 71 2×3+1 的前n项和 =+站+)品 即-侣小由于之0则z<,即数列{a可的前项和小于号 2×3# 11.【详解】由题意，斐波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，各项除以4所得余数按原顺序构 成的数列记为{bn},可得数列{bn}的各项分别为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，， 所以数列{bn是周期为6的周期数列.因为2019=336×6+3，所以b2019=b3=2,故A错误； 因为b1+b2+b3+b4+b5+b6=1+1+2+3+1+0=8,且2020=336×6+4，所以b1+b2+ b3+…+b2020=336(b1+b2+b3+b4+b5+b6)+b2017+b2018+b2019+b2020=336×8+b1+b2+ b3+b4=2688+1+1+2+3=2695,故B正确； n≥2，n∈N*,若数列{an+入·an-1}为等比数列，公比为g,则an+1+元·an=q(an+元·an-1),又 an+1=am+an-1,则(+1)an+an-1=q(an+1·a-1),则1+1=q,且2q=1, 则2=q-1,且入q=1,故C错误； a3 az+a1,a4 a3+a2,...an+1 an an-1,an+2=an+i+an' 将上面各式相加得，ag+a4+…+a+2=(a2+a1)+(ag+a2)+…+(an+n-1)+(am+1+an),即 a3+a4+…+an+2=(a2+a3+…+an+anti)+(a1+a2+…+an), 则an+2-a2=a1+a2+…+an,即a1+a2+…+am=a+2-1,故D正确， 12.【详解】点P(x,1-x)在第一象限内，x>0,解得0<x<1.由 1-x>0, o-2+0-可=-2r-2r1{x分，得号0r<1故答案为号)， 详解】设第n个正方形的边长为品，第n+1个正方形的边长为？，=2 -an 幽=② 即a,,2,即数列{a,} √2 0n=2 2 是首项为4=2，公比为2的等比数列， 2 故数列5}是首项为=4，公比为2的等比数 .S,+S2+…+Sn 8-] 列， 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这 些正方形的面积之和将趋近于8，故答案为：8 14.【详解】由题意可得4,42中间插入2项b,b2,42,4中间插入4项b,b4,b,b,4,a4中间插入6项 b,b,…,b2,44,4中间插入8项b3,4,…,b0,4,46中间插入10项b1,b2,,b0,a6,4中间插入12项 2 b1,b2,…,b2,所以{c}的前40项中{an}有6项，{色，}有34项，所以 石=a+%+%+4+格++=3-1+32-1++3-1+1+4++100-2-604034=2808. 2 15.【答案】(1)am=15-2n;(2) J14n-n2,n≤7 T,={02-14n+98,n28 %=a+d=l1 【详解】(1)设等差数列的公差为d,由题意可得{ =0呼么gw任5 d=-2’ 所以an=13-2(n-1)=15-2n, （2)因为3=3+l5-2列=14-2，令a=15-2n>0,解得a<号，且neN, 2 当n≤7时，则an>0,可得Tn=a1+la2+…+a=a1+a2+…+a=Sn=14n-n2; 当n≥8时，则a,<0,可得Tn=la+la2+…+an=(a1+a2+…+a,)-(ag+…+an) =S,-(S。-S)=2S,-Sn=214×7-7）-(14n-2)=2-14n+98,综上所述： [14n-n2,n≤7 T,=-14n+98,n28 16.【答案】(1)2=号，a9=-,a4=子(2)(3)略 【详解】解：(1)a=1,a1= 0.5an+n,n为正奇数 可得 a,-2n,n为正偶数’ 13 7 a=1+24=1+2 2)）证明：么=4-2=克n+2n1-2=a+n+40+2n-1-2即么=a-2)=0, 2 可得数列{，}为公比是}，首项是-号的等比数列：即6，=分； 0- (8)由②）可得=2-，-4a…+2m-+++-2a 1 =2n-1+(分) 1- 17.【答案】(1)定点(-2,1).；(2)[0，+∞)；(3)4 【详解】(1)因为直线1的方程可化为：y-1=k(x+2),所以直线1过定点(-2,1) (2)因为直线1过定点(-2,1)，在y轴上的截距为：2k+1.要使直线1不经过第四象限，则 [k20 2k+1>0→k≥0.即k的取值范围是[0，+w). (3)直线1与轴的交点为4(20），与y轴的交点为8(0,2k+1).由题意， 21<0今k>0又 k 2k+1>0 8m2p4-安：-小3+4，当且收当做即=时取 2 等号.所以S的最小值为4. 3 18.【答案】(1)a.=2”；bm=2m-1:(2)Tn=6+(2n-3)2；(3)（-o,14 【详解】(1)因为Sn=2an-2(n∈N)①，当n=1时，解得a=2.当心2时，Sn=2a-2②， ①-②得a,=S。-S=2a,-2a,,整理得a,=2an,即马4=2(n≥2)，且2=2，所以数列a} an- 41 是以2为首项，2为公比的等比数列；所以an=2”(n∈N). 数列{bn}满足b1=1,点P(bn,bt1)在直线x-y+2=0上.所以b+1-bn=2,所以数列{bn}是以1为首 项，2为公差的等差数列，所以bn=2n-1(n∈N°). (2)由(1)得cn=ab,=(2n-1)2”则Tn=1×2+3×22+5×2+…+(2n-1)2①， 2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)2"+(2n-1)2m+②， ①-②得-T=2+2(22+23…+2")-(2n-1)21,整理得Tn=6+(2n-3)2*1. (3)由0得2=22m-0,所以2-名=2.(2m+0-2”2n-0=226-60<0, d2(n+1)d2n 所以数列 为阳隆证黄剂冬会-片子的系大板为因为有的正数统 2-以+2>是都成立，所以212-k2+2>行由>0可得<87-2以+ 1 4 所以<2A+表恒成立，只需满足k<2以+录即可，又y=2以+722石=，当且仅当 7 2有即以-号时等号立，所2+动，散，则的取范园o网， 1 ,(3)证明略。 2a,=g+4,24=g+, 【详解】(1)令n=1,2, b 因为4=54=6=24>04>≥0所以4=7 a)因为2-A所以6-品因为0受+6所公-+号 甲-北-因为4=属所（任-1所以吸刑告-小是首项为1，公比为的心比 数列.所以-1目八，所以毫+1 (3)因为2a4-g+6,≥2 b. .0=2a,当且仅当a=6,时等号成立，所以a20,24>4,所以 . 1 1 an-b anti-b 之0因为20-菩+6-A所以24-答+A即20om-A】-答-4-公所以 b。 b, b, 1 =11 ,放111 a1-6a。-6a,+6a.+6a。-6aa1-b 52西26小8 1<1 ,即8A<1