3.8 导数与不等式恒成立和能成立问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

3.8 导数与不等式恒成立和能成立问题 基础知识梳理 1.分离参数，构造新函数，将原不等式恒（能）成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数研究函数的单调性与最值，进而得出参数的取值范围，分离时需注意判断是否要对参数的系数进行分类讨论 2.当参数难以分离时，可对参数进行分类讨论，将原不等式恒（能）成立问题转化成求函数的最值问题，借助函数的单调性进行求解，注意最后需对各类参数进行综合，进而得出参数的取值范围 题型一 不等式恒成立问题 1．已知函数，若，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的最大值，结合函数不等式恒成立，即可得参数范围. 【详解】由，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以在处取得最大值， 要使恒成立，必须且只需， 因此实数的取值范围为. 2．若对任意 ，则实数的值可以是（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】分别算出和的最值，根据即可判断的范围，得出答案. 【详解】设，则， 故时，，单调递减； 时，，单调递增， 故有最小值． 设，则， 故时，，单调递增； 时，，单调递减， 故有最大值， 当时，有，， 则，符合题意， 又2在取值范围内，故的值可以是2. 3．已知，，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分情况进行讨论；通过分离参数，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 【详解】等价于. 当时，不等式可化为，显然成立. 当时，因为，所以，故只需，即. 令，则. 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，为，所以. 又，所以. 当时，因为，所以，故只需恒成立. 由于，故不恒成立. 综上，实数的取值范围为. 4．若存在实数，使不等式对一切都成立，则的最大值为（     ）． A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】问题转化为存在，使得对成立，令，利用导数求出的最小值，进一步转化为存在，使得，令，利用导数求出的最大值，得解. 【详解】存在，使得不等式对成立， 即， 令，则， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以存在，使得， 令，，则， 令得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 故即可，即的最大值为. 5．已知，恒成立，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离变量得，令，利用导数求得最小值即可. 【详解】由恒成立，可得恒成立， 又，所以恒成立，所以， 令，求导得， 令，求导得， 所以在上单调递增， 又， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以，所以， 所以a 的取值范围为. 6．已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分离参数，构造函数，利用导数求出函数的单调性及最值，根据恒成立问题即可求解. 【详解】对恒成立， 令，，， 所以在上单调递减，且，所以， 所以. 7．已知． (1)讨论函数的单调性； (2)当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）对原函数求导，根据导数的正负区间，直接判断出函数的单调递减和递增区间； （2）（i）代入求出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程； （ii）分离变量，用导数求函数最值可得答案. 【详解】（1）对求导得， 令，解得， 由可得，由可得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）当时，， （i）当时，，所以切点坐标为， 由（1）可知，当时，，切线斜率； 所以曲线在点处的切线方程为，即； （ii）不等式在上恒成立， 代入得到对任意的恒成立， 因为，所以，即对任意的恒成立， 令，则原问题转化为求在上的最小值， 即需要满足. 对求导得， 令，求导得， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，则， 因为恒成立，所以，所以实数的取值范围是. 8．已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2)极大值为，无极小值 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求切点，再求导得到切线斜率，由点斜式求出切线方程； （2）先求导，根据导函数符号确定单调区间，再判断并计算函数极值； （3）采用分离参数法，转化为求函数的最大值，利用导数求出新函数的最值，进而得到参数的取值范围. 【详解】（1）若，则，所以. ，所以切线的斜率. 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）若，则，定义域为，所以. 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故在处取得极大值，极大值为，无极小值. （3）若对任意的恒成立， 即在恒成立，变形可得. 令，所以 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故，所以，即的取值范围是. 9．已知函数，函数的图象与的图象关于轴对称. (1)求函数的解析式； (2)当时，证明：； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)略 (3). 【分析】（1）利用可求函数解析式； （2）令，求导，利用基本不等式可求函数的最小值，可得结论； （3）由题意得，求导，利用的单调性可得，即对恒成立，令，利用导数求得的最小值，进而可求得实数的最大值. 【详解】（1）因为函数的图象与的图象关于轴对称， 所以. （2）设， 则，当且仅当，即时取等号， 所以当时，单调递增， 所以，所以. （3）由得， 即， ， 所以在上单调递增，所以， 即对恒成立. 令， 当时，， 所以在上单调递增， 所以，故，解得， 即实数的最大值为. 10．设 (1)解不等式： (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查对数不等式求解，对等价变形可解； （2）本题考查恒成立求参数范围：先将原式化为 ，参数全分离后构造函数 ，由导数符号表得其在 处取最大值 ，从而 . 【详解】（1）解不等式 ，即 ，即，变形可得，等价于 即：，即，即不等式解集为. （2）若恒成立，即 对恒成立， 因为， 即：恒成立 令 ，则 ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此，即 【点睛】本题考查对数不等式与恒成立问题的参数范围，重点考查定义域优先意识、参数分离与构造差函数求最值的能力。 11．已知函数是定义域为的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若，都有，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据是定义域为的奇函数，结合的表达式可得定义域内的解析式； （2），都有转化为对任意恒成立，通过求解的最大值与最小值，可得. 【详解】（1）函数是定义域为的奇函数，所以. 设，则，， 由是定义域为的奇函数可得. 综上所述 （2），都有， 所以对任意恒成立. 时，令，得， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 则时，取得极小值也是最小值， 且当，当，所以， 又因为奇函数，则当时， 所以，即实数m的取值范围为 12．已知函数． (1)当时，若在区间上存在减区间，求的取值范围； (2)当时，讨论函数在区间上的极值； (3)当时，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，在上无极值；当时，在上有极小值为，无极大值． (3) 【分析】（1）参变分离法将问题转化为在上求范围. （2）利用导数结合分类讨论的思想，求出函数单调性，再求极值； （3）根据题意，进行参变分离法将问题转化为，令，求其最大值即可. 【详解】（1）当时，， 因为在区间上存在减区间，即在区间上有解， 所以． 令，则在区间上的最大值为， 所以当时，在区间上存在减区间，故实数的取值范围是． （2）当时，，则，  令，则或．   当，即时，在上恒成立，所以无极值； 当，即时，在上，在上， 所以在上有极小值为，无极大值；     当，即时，在上恒成立，所以无极值． 综上，当时，在上无极值； 当时，在上有极小值为，无极大值． （3）当时，，则， 若对任意的，都有恒成立， 即对任意的恒成立， 分离参数可得． 令， 则，    当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在上的最大值为，故， 故的取值范围是． 13．已知函数. (1)当时，求函数的最大值； (2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的最大值. （2）对给定恒成立的不等式分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此， 所以函数的最大值为0. （2）当时，不等式， 令函数，则，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以a的取值范围是. 14．已知函数. (1)若函数在处的切线平行于直线，求实数的值； (2)若方程在上恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】第一问先利用导数求切线斜率，再利用两直线平行，斜率相等构建等式求解即可. 第二问把方程在上恰有3个不相等的实数解转化为新函数有3个零点，讨论单调性，满足极值点在上，极大值大于零，极小值小于零，，，构建不等式组求解即可. 第三问不等式对恒成立，分离参数转化为，求新函数的最小值即可. 【详解】（1），，函数在处的切线斜率为， 又因为函数在处的切线平行于直线，所以， 即. （2）即整理得， 因为方程在上恰有3个不相等的实数解， 所以在上恰有3个不相等的实数解， 令，即时，恰有3个零点； 时，恒成立，单调递增，不可能有3个零点； 时，令得或， 令得, 所以在和时单调递增，在时单调递减； 因为时，恰有3个零点， 所以化简得 求解得取交集得. （3）不等式对恒成立，即， 化简有， 因为所以，即， 令  ，， 令  ，恒成立， 即时，单调递增， 又因为，所以时恒成立， 即时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，综上：. 15．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)，，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】(1) 先确定函数定义域，对函数求导后因式分解，结合参数的取值分类讨论导数符号，即可得到函数单调性. (2) 先化简已知不等式，将恒成立问题转化为参数与函数最值的大小关系，构造新函数求其最大值即可得到参数的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为. . ∵ ，∴ . 当时，, 故, ∴ 在上单调递减. 当时，令，解得. 当时，, 故，单调递减. 当时，, 故，单调递增. 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）∵ ，, ∴ , 化简得， 即对恒成立. 设， , 则. 令，解得. 当时，，故，单调递增. 当时，，故，单调递减. ∴ . ∴ ，即. 故的取值范围为. 16．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为 (3) 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求导，再分类讨论，根据导数的符号即可求出函数的单调区间； （3）当时，不等式恒成立，只需即可，结合（2）求出函数的最小值即可得解. 【详解】（1）当时，， 则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； （2）， 当时，， 令，则，令，则， 所以函数的增区间为，减区间为； 当时，， 令，则或， 当且，即时，， 所以函数的增区间为，无减区间； 当且，即时， 令，则或，令，则， 所以函数的增区间为，减区间为； 当且，即时， 令，则或，令，则， 所以函数的增区间为，减区间为， 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为，减区间为； （3）当时，不等式恒成立， 只需即可， 由（2）得，当时，函数在上单调递减， 而，与题意矛盾，故； 当时，函数在上单调递增， 所以，所以符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，与题意矛盾； 当时，函数在上单调递增， 所以，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 17．已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）由得到，整理得到，构造函数，则，求，利用导数法求出的单调性，利用单调性得到的最大值，从而得到实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，求导得， 当时，，． 所以切点为，切线斜率为0． 因此切线方程为． （2）由题意，对任意，都有，即， 因为，两边同除以，整理得，所以， 设，题意等价于， 求导得， 令，得，所以在区间上单调递增， 令，得，所以在区间上单调递减． 因此在处取得最大值， 所以，实数的取值范围为． 18．函数. (1)当时，求函数极值和极值点； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)是极小值点，极小值，无极大值点和极大值. (2). 【分析】(1)，代入已知条件，对函数求导分析单调性；(2)，发现特殊点，再分析函数单调性求解. 【详解】（1）先求导：，代入：，由于恒成立，所以的符号由决定。 令， 单调递减； 单调递增。 所以是极小值点，极小值，无极大值点和极大值. （2），则函数单调性由决定， 当时，，要使在上恒成立， 则函数在一小段范围内单增，即，而为单调函数， ， 当时存在，当时，，函数单调递减，，不满足不等式， 综上. 19．已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数讨论求解即可； （3）结合（2）分类讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 求导可得，， 所以切点为，切线斜率为，切线方程为； （2）． 当时，对任意都有， 故，在上单调递增． 当时，令得， 当时，，当时，， 故 在上单调递增，在上单调递减． 综上：当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）若 ，由（2）知在上单调递增， 取（充分大）可使 ，不满足题意． 若，由（2）知的最大值为 ． 要使对任意恒成立，只需 ，即． 综上，的取值范围是 ． 20．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）由题知，，再利用导数求出函数的最大值，然后列不等式求解即可． 【详解】（1）当时，， ， 故切线方程为； （2）由题知，， ， 令，， 4 + 0 极大 由题知：解得，于是． 21．已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)对任意均有 成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，利用点斜式求出即可. （2）先讨论当时不等式成立，再讨论当时，将化简为，令，通过导函数的相关知识判断的单调性并求出其最小值，再结合不等式恒成立问题求出的取值范围. 【详解】（1）求导得，所以切线斜率， 由点斜式可知切线方程为，即. （2）由已知在上恒成立， 当时，恒成立； 则当时，不等式可化为， 记，则只需， 求导得. 记 在时恒成立，则在单调递增； 所以，即， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以，故a的取值范围为. 22．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2）求导判断的单调性，求出的最大值，令，求出答案. 【详解】（1）由题意得，则． 由， 得所求切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）的定义域为，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值，且最大值为， 因为恒成立，所以恒成立． 因为，所以恒成立，则，即. 故的取值范围为. 题型二 不等式能成立问题 1．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为存在实数，使得成立，所以当时， ， 当时，令得或或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 - 0 + 0 0 ↘ 极小值 ↗ 由表可知当时，取到时的极小值也是在区间上的最小值，且，故． 2．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分参得到有解，构造函数，求导确定单调性求得最小值，即可求解. 【详解】当时，不等式显然不成立，当时，可得有解， 令，， 则恒成立， 所以在上单调递增， 所以，故. 故选：D. 3．若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化为：存在，使得成立，再设，，分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【详解】由 ， 设，，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 由 ， 问题转化为存在，使得成立， 设，， 则 ， 由 ；由 ， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 故选：C 4．函数，若存在，使有解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数求最值，进而得的取值范围. 【详解】若存在，使得有解，即． 设，，则． 令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故的取值范围为． 5．设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是__________. 【答案】 【分析】当时，不满足条件；当时，转化不等式构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性及最值，根据图象列出唯一整数解的约束条件，解不等式组即可. 【详解】当时，，舍去； 当时，令，得， 设，得，令得，， 当时，；当时，， 所以函数的极小值点为，不存在极大值点.此时不等式有无穷多解，舍去； 当时，得， 数形结合只需：，解得； 综上.    故答案为： 【点睛】解题关键是转化不等式并构造辅助函数. 6．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，； (2)若当时，，求的最小值； (3)若，使得，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）构造函数，结合题意可得在区间上单调递减．求导后可得在和上单调递减，即可得解； （3）令，由题意知，使得，求导后分及讨论即可得. 【详解】（1）由题意得． 因为曲线在点处的切线方程为， 所以． 又切线过点，所以． 综上所述，，； （2）由（1）知． 当时，，则． 设，则原条件等价于当时，， 即函数在区间上单调递减． 由，得， 令，得，解得或． 所以在和上单调递减． 因为在区间上单调递减，所以a的最小值为． （3）令，由题意知，使得． ， ①若，则对任意，， 所以，在上单调递增， 又，故，不满足条件； ②若，则当时，，此时， 所以在上单调递减， 即存在，使得，满足条件； 综上，k的取值范围是． 7．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）满足等价于，根据导数与单调性及最值的关系求出，待求问题化为当时，；结合（1）中导数与单调性及最值的关系列不等式分类讨论计算即可. 【详解】（1）的定义域为， . 当时，，单调递减. 当时，令，则，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）满足等价于. 对于，. 当时，，单调递增，所以. 故原问题可转化为，当时，. 由（1）知，的极值点为. ①当时，，在上单调递增，. 由，得. ②当时，，在上单调递减，. 由，得. 因为，此时无解. ③当时，，在上单调递减，在上单调递增. 则. 若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故无解. 综上，实数的取值范围为. 8．已知函数(且). (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若有解，求的取值范围. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2)，切点坐标为 (3) 【分析】（1）求导判断单调性，再计算极值即可； （2）根据切线性质列出方程组，化简消去a，再构造新函数求解即可； （3）通过分析对不等式进行转化；或者直接构造含参函数，分类讨论函数单调性. 【详解】（1）当时，，的定义域为， ，令，得. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 所以在处取极小值为，无极大值. （2）， 设切点为，切线的斜率为1， 所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①②得，， 设，， 由，当时，，单调递增， 时，，单调递减， 又，所以是的唯一零点， 所以，代入①得，切点坐标为. （3）法1：令，，令，得， 令，得，所以t在单调递减，在单调递增 因为时，所以 ①时，有解，，； ②时，，舍去； ③时，有解，，. 综上：. 法2：因为有解，所以有解. 记， ①时，恒成立，所以在单调递增， 当，， 所以恒有解，所以； ②时，，无解，舍去； ③时， x + 0 - 极大值 所以，，， 所以. 综上：. 9．已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 (2) 【分析】（1） 先求函数导数，结合导数的几何意义和两直线垂直的斜率关系求出，再通过导数符号判断单调性，进而求解极值. （2） 将存在性不等式成立问题转化为不大于在上的最大值，计算区间内的最大值即可得到的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，. 曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为. 由两直线垂直斜率乘积为，得，解得. 将代入得，令，解得，. 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则极大值为， 极小值为. （2）存在使得成立，等价于. 由（1）可知，，因此在上单调递增，在上单调递减. 因此在上的最大值为，故，即的取值范围为. 10．已知函数在和处取得极值． (1)求实数，的值； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，根据极值点有列方程组求参数值； （2）问题化为上，利用导数求函数的最小值，即可得. 【详解】（1）函数的定义域为，则， 由在，处取得极值，即，解得； （2）若，使得不等式成立，则只需， ， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 在处取得极小值，即 ， ， 实数的取值范围是. 11．已知函数. (1)求的极值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）将不等式进行变形，构造新函数，通过求函数的最值确定实数的取值范围. 【详解】（1），， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）存在，使得成立， 即在上有解， 即在上有解， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值，即最小值为. 因为在上有解，所以， 所以实数的取值范围为. 12．已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）代入参数值，求导求得函数极值； （2）求出导函数并因式分解，转为求更简单的函数值域，利用函数单调性求的初步范围， （3）利用存在性条件和函数最值进一步缩小的范围得出结论. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则，，， 当时，，则，单调递减， 当时，，则，单调递增， 故时，有极小值：，没有极大值. （2）， 在区间上单调，在上不变号，此时，， 令，则在上，恒成立或恒成立， 若在区间上单调递增，则恒成立， 即在上恒成立，即， 若在区间上单调递减，则恒成立， 即在上恒成立，即. 则当时，因在上单调递增，， 令，解得，故得； 当时，因在上单调递减，， 令，即，也即， 比较和大小： ，且，， . 故实数a的取值范围是. 13．已知函数（a为常数）， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)不等式在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的意义可得； （2）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性和最值可得. 【详解】（1）当时，，， ，，         曲线在点处的切线方程． （2）在上有解在上有解， 在上有解，         令，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减，     因为，，     所以当时，取最小值，，         所以，故实数a的取值范围是． 14．已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为2，极大值为． (2) 【分析】（1）求导得到导数零点，判断单调性，确定极值点并计算极值; （2）求导得出是函数在上的最大值点，将问题转化为最大值不小于并解不等式即可. 【详解】（1）依题意，． 令，解得或． 故当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减． 所以的极小值为，极大值为． （2）依题意，．因为， 令，解得，当时，，单调递增， 当时，单调递减． 故当时，取得极大值，也是最大值， 则，即，整理得，解得， 故实数的取值范围为． 15．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数求得函数，结合题意可得成立，令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 16．已知函数，且在和处取得极值. (1)求，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的最小值.参考数据：. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题知，， ，解得 经检验，当，时，，是极值点，符合题意. 所以，. （2）由（1）问知，. 由可解得或， 又因为，所以当和时，，单调递增；当时，，单调递减， 因为存在使得成立，故，且，. 由，可得. 所以在上的最小值为，所以， 即实数的最小值为. 17．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由原函数在区间上单调递增，转化为导函数大于等于0恒成立问题，分离参数后求最值； （2）将不等式有解转化为存在性问题，分离参数后求对应函数的最大值，即可确定参数范围. 【详解】（1）函数，求导得：， 在上单调递增，等价于对任意恒成立， 即，. 由于在上单调递增，所以在上单调递减，所以， 最大值为，则，所以的取值范围为． （2）由有解，即， 化简可得有解． 令，则， 令，得，即； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在处取得最大值： ， 所以，故的取值范围为． 18．已知函数 . (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减. (2). 【分析】（1）求出函数的导数，讨论的取值范围，讨论函数的单调性. （2）根据（1）问的结果，求出函数的最小值，进而求出的取值范围. 【详解】（1）. 当时，，则在上单调递增. 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）当时，在上单调递增， 则，不符合题意. 当时，，解得. 故的取值范围为. 19．已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值. 【答案】(1)当时，无极值；当时，极大值为，无极小值. (2)5 【分析】（1）将函数 代入 中，并对 求导，讨论导函数的正负即可得到 的单调性，进一步求函数极值； （2）参变分离，可将不等式转化为 在对任意 能成立，令，则 ，求出 即可. 【详解】（1）依题意可得 ，所以 . ① 若 在 单调递增; ②若 ，令 ，则 ， 当 时， 在 单调递增， 当 时， 在 单调递减， 所以当时，无极值； 当时，存在极大值，无极小值. （2）当 时， . 因为 ，所以原不等式可化为 ， 即 在 能成立. 令 ，要使原不等式能成立，即 ， 则 ，令 . 则 ，所以 在 上单调递增. 因为 ， 所以，使 ，即 ， 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 . 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 由 ，得 ， 得到 所以 ，因为 ，所以 . 20．已知函数，实数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)函数在处的切线方程为． (2)实数a的取值范围为． 【分析】（1）求得时的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程； （2）由题意可得存在，使得成立，令，求得导数和单调性、最值，考虑最小值小于，再构造函数，求得导数和单调性、最大值，可得所求取值范围． 【详解】（1）当时， ，， 所以，， 所以函数在处的切线方程为，即 （2）由，得， 令，， 因为，所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值， 由题意知， 令，， 当时，，当时，， 所以上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，也是最大值， 所以实数a的取值范围为． 21．已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减. (2) 【分析】（1）对求导，根据导函数的符号判断原函数的单调性即得； （2）由题意可得，利用（1）的结论，结合特值代入，推得方程有一个根为0，另一个根在区间内，进而得到函数在上的单调性，从而求得其最大最小值，进而求出参数的范围. 【详解】（1）由题意知，则.              . 令，解得，                  . 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）存在，满足，等价于 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 又， 故方程有一个根为0，另一个根在区间内，             . 故当时，，即函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增，  . 又因为，                  . 所以在区间内，， 所以， 即的取值范围是. 22．已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； (2) 【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，求出单调区间； （2）等价于在有解，结合（1）求出的值域，从而得到答案. 【详解】（1）定义域为R，， 令得或，令得， 故单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）等价于在有解， 由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减， 其中，，， ，故， 在有解，故. 23．已知函数. (1)当时，记函数的图像在处的切线与坐标轴围成的图形的面积为，求的最小值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）求函数的导函数，从而得到函数在处的切线方程，然后求得切线与坐标轴的交点坐标，得到面积的表达，然后由基本不等式求得最小值； （2）代入表达式然后化简，从而转换为求不等式某一边的最值，构造函数后借助导函数，然后得到函数的单调区间，从而得到其最小值.然后得到实数的取值范围. 【详解】（1）因为）， 所以，所以2，又， 所以函数在处的切线方程为， 令，得，令，得， 所以， 令，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时 ，所以的最小值为4. （2）因为在上有解， 即在上有解， 等价于在上有解，所以. 设， 则. 令，得或， 列表如下： 0 1 2 3 + - + 递增 极大值 递减 极小值 递增 因为，，所以在上的最小值为，所以. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.8 导数与不等式恒成立和能成立问题 基础知识梳理 1.分离参数，构造新函数，将原不等式恒（能）成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数研究函数的单调性与最值，进而得出参数的取值范围，分离时需注意判断是否要对参数的系数进行分类讨论 2.当参数难以分离时，可对参数进行分类讨论，将原不等式恒（能）成立问题转化成求函数的最值问题，借助函数的单调性进行求解，注意最后需对各类参数进行综合，进而得出参数的取值范围 题型一 不等式恒成立问题 1．已知函数，若，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若对任意 ，则实数的值可以是（    ）． A．2 B． C． D． 3．已知，，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若存在实数，使不等式对一切都成立，则的最大值为（     ）． A． B．3 C． D． 5．已知，恒成立，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________． 7．已知． (1)讨论函数的单调性； (2)当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 8．已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的极值； (3)若对任意的恒成立，求的取值范围； 9．已知函数，函数的图象与的图象关于轴对称. (1)求函数的解析式； (2)当时，证明：； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 10．设 (1)解不等式： (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 11．已知函数是定义域为的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)若，都有，求实数m的取值范围． 12．已知函数． (1)当时，若在区间上存在减区间，求的取值范围； (2)当时，讨论函数在区间上的极值； (3)当时，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 13．已知函数. (1)当时，求函数的最大值； (2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围. 14．已知函数. (1)若函数在处的切线平行于直线，求实数的值； (2)若方程在上恰有3个不相等的实数解，求实数的取值范围； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 15．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)，，求的取值范围． 16．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围． 18．函数. (1)当时，求函数极值和极值点； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数（）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求的取值范围． 20．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，恒成立，求的取值范围． 21．已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)对任意均有 成立，求实数的取值范围. 22．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若，恒成立，求的取值范围． 题型二 不等式能成立问题 1．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．函数，若存在，使有解，则的取值范围为______． 5．设函数，若存在唯一整数使得，则实数λ的取值范围是__________. 6．已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，； (2)若当时，，求的最小值； (3)若，使得，求的取值范围． 7．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若满足，求实数的取值范围. 8．已知函数(且). (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若有解，求的取值范围. 9．已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值，并求的单调区间与极值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 10．已知函数在和处取得极值． (1)求实数，的值； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围． 11．已知函数. (1)求的极值； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 12．已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围． 13．已知函数（a为常数）， (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)不等式在上有解，求实数a的取值范围． 14．已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，且，使得，求实数的取值范围． 15．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 16．已知函数，且在和处取得极值. (1)求，的值； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的最小值.参考数据：. 17．已知函数． (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若关于的不等式有解，求的取值范围． 18．已知函数 . (1)讨论的单调性； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 19．已知函数. (1)求函数的极值； (2)当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值. 20．已知函数，实数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若存在，使得关于x的不等式成立，求实数a的取值范围． 21．已知函数. (1)设为的导函数，分析的单调性； (2)若存在，满足，求实数的取值范围. 22．已知函数 (1)求出函数的单调区间； (2)若方程在有解，求实数的取值范围. 23．已知函数. (1)当时，记函数的图像在处的切线与坐标轴围成的图形的面积为，求的最小值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 第 1 页 共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $