函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数应用三大核心题型，以题组形式构建恒成立、能成立、零点问题的递进式训练体系，突出知识逻辑的连贯性与解题思维的递进性，培养数学推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |恒成立求参数|3例+3变式|含参函数单调性分析、区间恒成立参数范围|从导数研究单调性到最值分析，构建“求导-分类讨论-最值比较”逻辑链| |能成立求参数|3例+3变式|存在性条件下参数范围、多变量不等式证明|以存在性为切入点，强化“变量分离-构造函数-极值分析”思维路径| |零点问题|3例+3变式|函数零点个数判断、零点存在性证明|整合单调性与极值，建立“导数分析图像-极值符号判断-零点个数确定”推理体系|

函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 考点目录 利用导数研究恒成立求参数问题 能成立求参数问题 零点问题 考点一 利用导数研究恒成立求参数问题 例1．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】(1)对a分类讨论求解单调性. (2)通过不等式恒成立条件化简构造新函数，并通过单调性求解a的范围. 【详解】（1）因为函数，函数定义域为， 所以， 因为，故，导数符号由决定，分情况讨论： 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由不等式化简得：，因，变形得：. 所以对，不等式恒成立. 令，求导得， 当时，，，故，在上单调递减， 因此的最大值为， 故， 即的取值范围为. 例2．（25-26高二下·北京昌平·月考）已知函数，，，且. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）求导，再代入求解即可； （2）将代入，利用导数求解即可； （3）由题意可得，根据（2）确定函数在上的单调性，求出其最小值，代入求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以，， 令，得， 所以当或时，单调递增； 当时，单调递减； 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； （3）由（2）可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，由题意可得，解得， 所以实数的取值范围是. 例3．（25-26高二下·北京西城·期末）已知函数，． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若函数的图象恒在轴的下方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据题意得到，从而求出的值，再验证时是否满足题意即可； （2）求，分和两种情况分析，再结合二次函数的性质，及求根公式求解即可； （3）将条件转化为在上恒成立，结合（2），分，和三种情况分析，结合二次函数的性质，构造函数求出时的的取值范围，进而结合分离参数，即可求出的取值范围． 【详解】（1）由，，则， 又为函数的极值点，则，解得， 验证：时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以为函数的极大值点，即满足题意． 故． （2）由，， 令，， 当时，，即，所以在上单调递增； 当时，是开口向下的二次函数，且其对称轴为， 又，则存在唯一正根， 则当时，，即，所以在上单调递增； 当时，，即，所以在上单调递减． 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）由函数的图象恒在轴的下方，即在上恒成立． 结合（2）， 当时，有在上单调递增，且时，，不符合题意； 当时，是开口向上的二次函数，且其对称轴为， 则当时，，即，所以在上单调递增， 且时，，不符合题意； 当时，在处取得最大值，则只需即可， 又，得， 则，得， 即，整理得， 所以， 令，， 则， 即在上单调递增，且， 所以时，解得，即时，解得， 又，即，， 又是开口向上的二次函数，且其对称轴为， 则在上单调递增， 则当时，，所以， 故的取值范围为． 变式1．（25-26高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的极值点个数； (3)若存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的极值点个数为1，当时，的极值点个数为0； (3) 【分析】（1）可将代入原函数和其导函数，分别求出和，然后利用点斜式方程书写即可； （2）通过对函数求导，得到，要求的是极值点的个数，我们可以转化为，两个函数图像的交点问题，通过对求导并判断单调区间，从而确定两函数图像的交点； （3）要使对任意成立，即，结合第（2）问，可知，取得最大值且，结合这些我们可将原不等式转化为，然后通过构造函数求解最值，即可完成求解. 【详解】（1）当时，函数，则， 所以，又， 所以切线方程为，即； （2）因为，则， 因为，所以，所以的极值点满足， 当时，，所以无极值点， 当时，的极值点满足， 令，则， 当时，，则单调递增，所以， 当时，则与恰有一个交点， 当时，则与没有一个交点， 综上，当时，的极值点个数为1，当时，的极值点个数为0； （3）由（2）可知，， 当时，单调递减，且， 所以，即，且， 所以当且仅当时，取得最大值且， 又因为存在，使得对任意恒成立， 则原命题等价于存在，使得， 即得 即， 令， 则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以当时，取得最小值， 则， 故实数的取值范围为． 变式2．（25-26高二下·云南红河·期末）已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）先求导，再分和两种情况，利用导数分析求解即可； （3）由题意得到在上恒成立，再构造函数，并利用其单调性将问题转化为在上恒成立，进而求解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 因为，所以切点为， 又斜率， 故切线方程为：， 即； （2），的定义域为， 当时，，，所以在上单调递增， 当时， 时，，，所以在上单调递减， 时，，，所以在上单调递增； （3）由题可知在上恒成立， 即在上恒成立， 则有在上恒成立， 令，由可得在上单调递增， 故可化为， 所以在上恒成立, 即，解得， 故的取值范围为． 变式3．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知函数. (1)若关于的方程有且只有一个根，求的值； (2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用将方程转化为的形式，从而把根的个数问题转化为函数的值域问题，通过对求导分析单调性与极值，结合与的极限，确定参数满足唯一根的条件； （2）根据及不等式，构造函数并分析其导数，利用以及导数的符号变化，分类讨论的不同取值对单调性的影响，从而确定不等式恒成立的参数范围. 【详解】（1）关于x的方程有且只有一个根，即有且只有一个根， 所以有且只有一个根． 令，则，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 所以． （2）恒成立，即恒成立， 令（）， 则，令，则． ①若，则，在上单调递减， 所以，即，则在上单调递减， 所以，故满足条件． ②若，令，得． （ⅰ）当，即时，在上单调递减， 所以，即，则在上单调递减， 所以，故满足条件． （ⅱ）当，即时，在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以，故不满足条件． 综上所述，a的取值范围为． 考点二 能成立求参数问题 例1．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知函数，函数，为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若存在正实数，使不等式成立，求的取值范围； (3)若函数有两个零点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)由，得， 令，又，则，易得， 所以函数在上单调递增． 若令，则关于的方程有两个正实数根， 要证，即证， 也即证，即证， 由已知所以 所以， 不妨设，即证， 即证 令，即证，令函数， 则 所以函数在上单调递增，所以， 故原不等式得证． 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程，进而求得切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）由分离参数，利用构造函数法，结合导数求得的取值范围. （3）利用换元法，将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立. 【详解】（1）当时，， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 令，得；令，得， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为． （2）由化简可得，， 即 在上有解． 设 ，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，为 ， 由题意知 ，即 ， 故的取值范围为． （3）略 例2．（2026·四川遂宁·模拟预测）函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）求导后，判断导数正负即可得该函数单调区间； （2）由题意可得在上有解，即可构造函数，结合导数得到该函数最小值即可得解. 【详解】（1）当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，，时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是； （2）由不等式，可得， 故当时，， 因为存在，使得成立， 即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. 例3．（2026·浙江台州·二模）已知，函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)证明：当时，对任意，，都有； (3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，，其中时取等号， 所以为增函数， 对任意的，，不妨设，则， 又， 所以为增函数，得，即， 故； (3) 【分析】（1）利用导数研究函数的极小值，即可得； （2）首先应用导数确定为增函数，再得到为增函数，利用单调性即可证明； （3）设，，从而得到能成立，利用导数及分析法求右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由，得. 令，解得，， 当时，；当时，； 当时，. 所以在、上单调递增，在上单调递减， 因此，的极小值为； （2）略 （3）由题意，不妨设，， 因为，所以， 整理得，， 令，，. ①当时，， 此时. ②当时，令，解得， 因此，在上单调递减，在上单调递增，故， 法一：因为， 又因为，得，即 所以， 记，， 则， 因为，所以， 即， 因此，当时，， 又， 综上，， 法二：求最小值的第二种解法. 令，因为，，所以， 下证：， 因为 ， 只需证：， 只需证：， 令，则， 因为， 所以，即恒成立， 因此，， 令，则，对于，， 所以，当且仅当时，. 所以a的取值范围是. 变式1．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数，. (1)证明：函数的图象为中心对称图形； (2)求的值； (3)对于任意，都存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为， 设对称中心为，则需满足，， ，即， 函数的图象为中心对称图形且对称中心为； (2) (3) 【分析】（1）先计算定义域，再设出对称中心，验证是否满足即可得； （2）计算可得，结合（1）中所得计算即可得； （3）由题意可得在上的值域是在上值域的子集，分别计算两函数对应值域后，由包含关系列出不等式计算即可得. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，又， ； （3）由题意可知，在上的值域是在上值域的子集， 在上单调递减， 且，， 时，， ， 在上单调递增，又，， 时，， ， 且，解得， 综上，实数的取值范围为. 变式2．（25-26高二下·甘肃武威·阶段检测）已知函数. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：存在实数，使. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导结合曲线在处的切线与直线垂直，可得，求解即可； （2）由已知可得对任意恒成立，设，利用导数求得最小值即可； （3）①当时，易得存在实数使；②当时，求导可得是的极小值，进而令，可得有唯一的极值，极大值，从而可得，可得结论. 【详解】（1）因为，则， 因为曲线在处的切线与直线垂直， 所以切线的斜率为2， 所以． （2）当时， 所以不等式即， 转化为对任意恒成立， 设，则的解为， 1 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以最小值为 所以 所以实数的取值范围； （3）①当时，显然有，即存在实数使； ②当时，由可得， 所以在时，，所以函数在上递减， 时，，所以函数在上递增， 即是的极小值. 设，则，令，得，故有下表： 1 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以有唯一的极值，极大值. 所以当时，，所以. 综上，若，存在实数使. 【点睛】要熟练导数的切线方程求法，导数在切点的横坐标取值即为切线斜率，对于存在问题，则只需证明有即可，根据参数可以分类讨论，在研究函数时一定要多分析其单调性，确定最值，从而解决存在问题，一般我们在解题时，任意和存在问题都归结为最值问题. 变式3．（25-26高二下·四川遂宁·阶段检测）已知函数，且． (1)若函数在处取得极值，求曲线在点处的切线方程 (2)讨论函数的单调性和极值情况 (3)在曲线上至少存在一个整数，使得它对应的点在x轴的上方，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，根据极值点的性质求得，进而结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导，分和两种情况，结合导数判断的单调性和极值； （3）解法一：求导，讨论的单调性，根据题意结合函数单调性分析符号性即可得解；解法二：分析可知原题意等价于当且时，，构建，利用导数判断的单调性和最值，即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，解得， 若，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极大值，所以符合题意， 则，，即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为. （2）由（1）得，， 当时，则，可知在上单调递减，无极值； 当时，令，则， 当时，， 当时，， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值； 综上所述：当时，在上单调递减，无极值； 当时，在上单调递增，在上单调递减 在处取得极大值，无极小值． （3）令，则， 当时，；当时，， 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 解法一：因为，则， 若，则，可知在单调递减， 当时，，不合题意，舍去； 若，令，则， 当时，， 当时，， 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值； 由题意可知：，解得； 又因为，，，， （ⅰ）当，即时，等价于， 则，解得； （ⅱ）当，即时，等价于，符合题意； 综上所述：a的取值范围为； 解法二：因为， 由题意可知：至少一个整数有， 等价于当且时，， 且， 故当且时，，可得， 所以a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧 根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大（小）值满足的不等式成立问题，进而用导数求该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解． 考点三 零点问题 例1．（25-26高二下·云南昭通·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若与有两个交点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2) 【分析】（1）先求导并明确函数的定义域，再以a的取值进行分类讨论，通过判断导函数的符号来确定函数的单调区间. （2）结合第一问的单调性结论排除一直单调递增的情况，利用零点存在性定理，将“函数有两个交点”的条件转化为“函数极小值严格小于零且区间端点趋于正无穷”的不等式问题进行求解. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，恒成立， 当时，令，得；令，得， 综上， 当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由（1）可知当时，在单调递增，不可能存在2个零点，不满足题意； 当时，在单调递增，在单调递减， 当时，，时，， 要有两个交点，则的最小值，解得， 所以． 例2．（25-26高二下·四川乐山·期末）已知函数，． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若在恒成立，求的取值范围； (3)若有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为，令，求得，得到函数的单调性和最小值，即可求解； （3）由，得到当时，方程有两个不同的非零解，转化为与的图象有两个非零交点，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】（1）当时，，可得， 则，且，即切点为，切线的斜率为， 所以函数在处的切线方程为，即． （2）由，即， 因为，所以，即证， 令，其中，可得， 当，，单调递增；当，，单调递减， 所以，所以，即实数的取值范围为． （3）因为函数有三个零点，即有三个根， 因为，所以0是的一个零点， 所以当时，方程有两个不同的非零解， 即当时，方程有两个不同的非零解， 可转化为与的图象有两个非零交点， 由（2）可知在单调递减，在单调递增，且 又因为，且当时，；当时，， 在同一坐标系中，画出函数与的图象，如图所示， 当时，，解得，不满足非零条件， 所以或，即实数的取值范围为． 例3．（25-26高二下·广东河源·期末）已知函数，记的最小值为． (1)求； (2)证明：； (3)证明：函数有且只有一个零点． 【答案】(1) (2)令，则，当，，单调递减，所以，故时，成立． 由（1）知，；所以，即， 因此，所以 (3)对于，考虑一个周期，令，解得，，，，，，，且，，，，因此． 若，则，所以，没有零点； 若，，．下证，即证，即证，显然成立． 因此，没有零点． 若，，单调递减，而，，故存在一个零点． 综上所述，函数在有且只有一个零点 【分析】 (1)    利用换元法及三角恒等变形进行降幂，再结合三角函数有界性求值. (2)    先求通项，再用不等式放缩，最后对等比数列求和. (3)    先锁定三角部分的值域，再分段分析单调性及零点存在性. 【详解】（1）解法1：，其中，，所以，即． 解法2：因为，故为的周期；现在在一个周期内研究函数：，若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，所以． （2）略. （3）略. 变式1．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)若，证明不等式在上恒成立； (3)若，且在上只有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在R上单调递增；当时函数在上单调递减，在上单调递增. (2)当时，，不等式， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，则，即， 因此函数在上单调递减，， 所以不等式在上恒成立. (3) 【分析】（1）求出函数，再利用导数并按分类讨论单调性. （2）根据给定条件，构造函数，再利用导数求出最大值即可. （3）利用函数零点意义，分段讨论求出函数在零点个数即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 求导得，当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时函数在上单调递减，在上单调递增. （2）略 （3）当时，由，得 ，且 ， 则，在上无零点； 当时，令，则， 由，得或， 当时，，令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 并且当从大于0的方向趋近于时，趋近于；当时，， 因此当时，在上无解； 当时，在上只有一个解； 当时，在上有两个解； 当时，在上只有一个解，且该解在内， 当时，，函数在上单调递增，， 则，函数在上无零点， 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增， ，则，当且仅当时取等号， 因此函数在上只有一个零点，符合题意； 当时，由函数在上有两个零点，得函数在上至少有两个零点，不符合题意； 当时，函数在上有唯一零点，当时，， 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，而，于是存在，使得， 因此函数在上有两个零点，不符合题意， 所以的取值范围为. 变式2．（25-26高二下·广西南宁·期末）已知函数. (1)当时，求函数的极值点: (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (3)已知函数在 上无零点，求的取值范围. 【答案】(1)极小值点为，无极大值点 (2) (3) 【分析】（1）利用函数导数与单调性，根据极值点的定义分析求解即可； （2）由函数在上单调递减转化为函数在上恒成立，然后构造新函数，利用函数导数与单调性求出最值分析即可； （3）利用函数导数与单调性，结合函数零点存在性，对进行分类讨论，即可求出答案. 【详解】（1）当时，函数，定义域为， 由， 因为，所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值点为，无极大值点. （2）由 即，定义域为 若函数在上单调递减，则等价于在上恒成立， 又，所以问题等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以若函数在上单调递减，则实数的取值范围为. （3）因为， 当，即时，， 所以在上单调递减， 因为， 所以在上无零点，符合题意； 当时，令，则， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是， 的最小值为， 当，即时，无零点，符合题意， 当时，有一个零点，不符合题意， 当时，，的最小值， 因为，所以，使得，不符合题意， 综上所述若函数在 上无零点，则的取值范围为：. 变式3．（25-26高二下·四川攀枝花·期末）已知函数 (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）分、与进行讨论，结合函数单调性与零点存在性定理计算即可得. 【详解】（1）当时，，则， 则，又， 则曲线在处的切线方程为，即； （2）若，则，， 则在上单调递增，不符合题意； 若，， 当时，若时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由时，，时，， 又函数有三个零点，则，解得； 当时，若时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 由时，，时，， 又函数有三个零点，则， 解得； 综上可得：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 考点目录 利用导数研究恒成立求参数问题 能成立求参数问题 零点问题 例1，(2s26高二下河南信阳期末)已知函数f()-m+(a-r-hr,aeR 1考点西数(~)利用导数研究恒成立求参数问题 (②若f()>2m对x[e,切)恒成立，求。的取值范围 例2.(226商二下北京昌平月考)已知函数)=ar-+6,a,6eR,且f0)=0 (1)求a的值： ②求函数/（冈的单调K间： (G)考对任意x(0,+o,都有上恒成立，求实数6的取值范用 函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 例3.(2s26高二下北京西城期末)已知函数f()=h(2x-)-分+1，aeR ()若x=1为函数"=f因 的极值点，求“的值： 2当a20时，求函数 y=的单调区间： 3)若函数”=/问 的图象恒在轴的下方，求“的取值范围 变式1.（25-26商二下广东广州期末)已知函数/()=x+nr-ae 四当a=0时，求曲线'=f(在点0)处的切线方程， (②时论（闪的极值点个数。 )喏有在a>0,使得)56-“对任念e(0,+)恒成立，求实数的的取值范围。 函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 变式2.(25-26高二下云南红河期末)已知函数f(x)=nx+(a∈R). Q①若=2，求'=f在点f0》处的切线方程： ②讨论（的单调性： ⊙)老f()之h后在x0切)上恒成立，求口的取值花国 变式3。（25-26高二下河北邢台阶段检测)已知函数f(冈=r Q四若关于x的方程)ar-有且只有个根，求口的值： (2)若对于任意的x∈+o）,财()s- 恒成立，求的取值范围。 函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 考点二 能成立求参数问题 例1.(25-26高二下河南驻马店期末)已知函数 f(x)=xe2x 面数8()hr-2r+a-3)r,“为实数 口)当0=4时，求曲线”8（在点么g0》处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积： ②四芳存在正实数，使不等武)5g(田成立，求”的取值范国。 (3)若函数 h(x)=xe2*-a(Inx+2x 有两个零点X1,X2,证明： Inx +Inx2 >2(1-) 例2.(2026：四川遂宁模拟预测)函数f()=c-nr+r-a(a∈R) 1 )当a=e+1时，求函数f()在2+切 的单调区间： 2若存在∈Q+）,使得()50成立，求“的取值范围 函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 例3.（2026：浙江台州二模)已知aeR,函数f)=nx+r-a ①当a=3时，求函数()的极小值： 2)证明：当a≤25-1时，对任意5,5∈(0，o）,都有/(G)f(2k-x, )芳有在，c0,+o）,k-≥2，使行G)=f)成立，求实数a的取值范周 变式1.(25-26高三上·安徽阶段检测)已知函数 .回=e-+ ①)证明：函数儿因的图象为中心对称图形， e卧引m 6)对于任意∈m,2]m>）,都存在2,3使得(：)-8()成立，求实数m的取值范围 函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 变式2.（25-26高二下甘肃武威阶段检测)已知函数()=e-x(a∈R) Q)考曲线=f(在f(0》处的切线1与直线+2y+3=0垂直，求实数“的值。 2)当a=时，不等式f(m≥0 0对任意∈(0，+切)恒成立，求实数m的取值范围： 3)当a时，求证：存在实数。，使f()K1 变式3.(2526高二下四川遂宁阶段检测)已知函数f()=ahx-+a.a∈R且0≠0. Q)若函数)在x=2处取得极值，求曲线"=/（在点f0》处的切线方程 (2)讨论函数 ()的单调性和极值情况 ③在曲线()=f儿)“上至少存在一个整数∈+切），使得它对应的点在x轴的上方，求a的取值围 6 函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 考点三 零点问题 例1.（25-26高二下云南昭通期末)已知函数f()-22-alnx (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若y=0与f(x)有两个交点，求实数a的取值范围. 例2，(2s2ó高二下四川乐山期未)已知函数f()=(t-2xe-x,a∈R 0)若0=0，求函数（在Lf0)处的切线方程： ②若()≥0在0，+切）恒成立，求“的取值范围， )若()有三个零点，求“的取值范围。 > 函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 例3.(2526高二下广东河溟期末)已知函数（四=sm'x+cos"）记(）的最小值为4 44 (1)求； ln1+a2)<2 (2)证明：台 3)证明：函数8)()-1血 有且只有一个零点。 (x)=e*+ax2-1 变式1.(25-26高二下广东东莞期末)已知函数 (1)若H(x)=∫'(w),讨论函数H(x)的单调性； 2)若。=0，证明不等式/四≤-2+2在0,1上恒成立 (3)若g(x)=f(x)f(x),且g(x)在(0,2e)上只有一个零点，求a的取值范围. 函数与导数：利用导数研究恒成立求参数问题、能成立求参数问题、零点问题专项训练 f(x)=-Inx+(2+a)x-2,aER 变式2.(25-26高二下广西南宁·期末)已知函数 ①当a=-时，求函数（四的极值点 ②四考西数8()=-()+2-2x+0在0)上单调递减，求实数“的取值范围： 在 (3)已知函数f(x)在 )上无零点，求a的取值范围. 变式3。(25-26高二下四川攀技花期末)已知函数f()r+ar-ax+1 ①)当a=1时，求前线"/（在f0)处的线方程， (②若函数()有三个零点，求实数“的取值范围，