数列：数列不等式恒成立问题、数列不等式能成立（有解）问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 数列：数列不等式恒成立问题、数列不等式能成立（有解）问题专项训练 考点目录 数列不等式恒成立问题 数列不等式能成立（有解）问题 考点一 数列不等式恒成立问题 例1．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 例2．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)记，若对恒成立，求实数的取值范围； (3)记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的最大值与整数的最小值． 例3．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)设数列的前项和为，求数列的前项和． (3)若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 变式1．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． ①设数列的前项和为，求证：； ②若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 变式2．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）设正项数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式，并证明． (2)对于实数，令．若对任意，恒有，求的取值范围． 变式3．（25-26高二下·江西吉安·期末）已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 考点二 数列不等式能成立（有解）问题 例1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知数列的前n项和为，且. (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n. 例2．（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知数列的前项和为，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 例3．（26-27高三上·浙江衢州·阶段检测）已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 变式1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数，数列满足，， (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 变式2．（25-26高三上·山西运城·期中）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 变式3．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知数列的首项是1，其前项和是，且，. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 数列：数列不等式恒成立问题、数列不等式能成立（有解）问题专项训练 考点目录 数列不等式恒成立问题 数列不等式能成立（有解）问题 考点一 数列不等式恒成立问题 例1．（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)若对任意，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出公比，得到的通项公式，进而可得公差，得到的通项公式； （2）变形得到，令，作差法得到的最大值，从而得到答案 【详解】（1）数列为等比数列，设其公比为， ，，故，解得， 所以数列的通项公式为； 则，， 为等差数列，设其公差为，则，解得， 所以的通项公式为； （2），故，即， 令，则， 故当时，，当时，， 当时，， 所以，所以的最大值为， 故，实数的最小值为1. 例2．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)记，若对恒成立，求实数的取值范围； (3)记，数列的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的最大值与整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 的最大值为，的最小值为 【分析】（1）利用递推关系式采用累乘法求通项； （2）先求出前项和，构造数列，通过作差研究数列单调性找到最大值，进而由恒成立求得参数范围； （3）对裂项相消求和，再根据的单调性与取值范围确定的最大值和整数的最小值. 【详解】（1）由递推关系，变形得， 因此数列是首项为、公比为的等比数列. 故，即. （2） ① ， 两边同乘得： ② ， ①②得： ， 因此，则，故. ， 当时，，即； 当时，，即从第2项起单调递减， 因此的最大值为. 由对任意恒成立，得，即的取值范围为. （3）由（2）得， 裂项得： ， 因此. 前项和. 又为单调递增数列，故，且. 由对恒成立， 所以.. 即实数的最大值为，整数的最小值为 1. 例3．（26-27高三上·北京昌平·阶段检测）已知数列为等比数列，且，，为等差数列，且，． (1)分别求数列，的通项公式． (2)设数列的前项和为，求数列的前项和． (3)若对任意，，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1． 【分析】（1）根据等比数列的定义和通项公式以及等差数列的定义和通项公式即可求解； （2）根据等差数列的前n项和公式以及裂项相消法即可求解； （3）通过分析数列的单调性即可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为． 因此，即， 而，故． 所以，，则，， 故，所以， 即． （2），因此， . （3）由题意得，即对任意恒成立， 设，则， 当时，；当时，；当时，． 故的最大值为，因此，即的最小值为1． 变式1．（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）已知数列的首项，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足对任意，，且，，设其前项和为． ①设数列的前项和为，求证：； ②若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①因为，所以为等差数列， 设公差为，又，，所以， 所以，则； 所以， 所以 ； ② 【分析】（1）利用退一作差法求得. （2）①先判断出为等差数列，并求得，进而求得，利用裂项求和法证得.②将转化为，结合作差比较法求得实数的取值范围. 【详解】（1）， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． （2）①略 ②因为对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 所以对任意，恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 所以， 所以，所以． 变式2．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）设正项数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式，并证明． (2)对于实数，令．若对任意，恒有，求的取值范围． 【答案】(1)①数列的通项公式为； ② 因为,所以，所以，即， 所以， 即， 两边对从到累加求和： ， 等式得证. (2) 【分析】（1）先求首项，利用与相减得到相邻项比值，累乘求出表达式，结合阶乘、组合数化简得到通项，验证成立；先利用数列递推关系推导出裂项恒等式，再用裂项相消求和，代入首项完成等式证明；（2）由列出不等式，代入数列关系式，分离参数，借助数列单调性求最值，解决恒成立. 【详解】（1）① ， 当时，，即，解得, 当时，由，得, 两式相减得：,整理得递推关系：, 由累乘法求通项： ， 时上式也成立，故数列的通项公式为； ② 略 （2）由题意，对任意，恒成立，即， 因为，所以， 因为，两边约去，得 整理得，即， 所以， 所以，即对任意恒成立， 令，因为 ，故是单调递减数列，最大值为， 要使对任意恒成立，则， 即的取值范围为. 变式3．（25-26高二下·江西吉安·期末）已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意知. 因为成等比数列，故. 又，所以，，，代入得 展开整理得，即. 由得，因此数列的通项公式为 . （2）， 数列的前项和 因为，所以，故， 因此，即的最大值为. 不等式对任意恒成立，等价于， 整理得，即， 解得或. 考点二 数列不等式能成立（有解）问题 例1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知数列的前n项和为，且. (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n. 【答案】(1)由，得 ，两式相减得，整理得 同除以得： 又由得，则 所以数列 则，所以 (2)． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，则， 所以， ， 显然数列为递增数列， 且，， 使成立的最大正整数． 例2．（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知数列的前项和为，且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来顺序组成新数列，求使得不等式成立的最小正整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列中项性质得到与的关系式，结合构造等比数列求解通项； （2）先推导、的表达式，通过等比数列求和公式化简不等式，结合数列单调性求得最小正整数. 【详解】（1）由，，成等差数列，根据等差数列中项性质得： ， 化简得 ①，. 当时，，解得. 当时， ②. ①②得：，整理得，即. 又，故是首项为，公比为的等比数列. 因此，且， 即. （2）由（1）得，代入的表达式得： ， 由题意，为的第项，故. 所以 ， 由等比数列前项和公式可得：， 故. 令，设，，则： ， 故为递增数列. 故，， 故满足不等式的最小正整数. 例3．（26-27高三上·浙江衢州·阶段检测）已知数列满足，且对任意，都有． (1)求数列的通项； (2)设，若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）利用对数运算性质化简递推式得到数列相邻两项比值，通过累乘法求出通项，再验证的情况得到数列的通项公式； （2）先对裂项相消求出前项和，再解关于的不等式，结合正整数条件求出的最大值. 【详解】（1）当时，， 可得， 所以， 则， 当时，符合上式， 故，． （2）由（1）得，， 所以，     则，解得，又因为，所以的最大值为． 变式1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数，数列满足，， (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 【答案】(1)证明:因为函数， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. (2) (3) 【分析】（1）通过取倒数法，利用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）结合（1）的结论，利用等比数列的前项和公式进行求解即可； （3）结合（2）的条件，结合作差法判断数列的单调性，利用单调性进行求解即可. 【详解】（1）略； （2）由（1）可知，                 所以. （3）由（2）可知：， 所以由，                              因为， 所以由，                         设， 由，      由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存在，使得成立，则有，     因此实数k的最大值. 变式2．（25-26高三上·山西运城·期中）已知数列的前n项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)证明如下： 数列中，， 当时，， 两式相减得，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴； (2)①； ②. 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可. 【详解】（1）略 （2）①由（1）知，，， . ②由①知，，， ， 而数列单调递增，则， 因此，由存在，使得，得， 所以的取值范围是. 变式3．（25-26高三上·江苏扬州·期中）已知数列的首项是1，其前项和是，且，. (1)求，的值及数列的通项公式； (2)若存在实数，使得关于的不等式，有解，求实数取到最大值时的值. 【答案】(1)，， (2)4或5 【分析】（1）用累加法得到数列通项公式； （2）求出数列前项和，列出不等式，构造函数利用导函数求最大值，并找到最大值点. 【详解】（1）∵，∴ 当时，， 即， 当时，也满足， ∴， ∴，. （2）由（1）可知， ∴，∴ 令， ，当时，，单调递增; 当时，,单调递减; ∵, ∴当或时，取得最大值70， ∴取得最大值时，取4或5. 2 学科网（北京）股份有限公司 $