精品解析：广东江门广雅学校2026-2027学年高二上学期10月份供题训练数学试题

高二年级10月份供题训练 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组数据：1，4，6，4，7，m，若这组数据有唯一众数4，则m的取值可以为下列选项中的（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 2. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 4. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 一组递增数据，，，，的平均数为4，方差为3，极差为5，若，则（ ） A. ，，，，的极差为5 B. ，，，，的方差为9 C. ，，，，的第40百分位数为 D. ，，，，的平均数为10 6. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 存在无数个实数符合题意 B. 存在唯一的正整数符合题意 C. 不存在正整数符合题意 D. 不存在任何实数符合题意 7. 已知向量，，，则三棱锥的体积为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直线的倾斜角可以为（ ） A. B. C. D. 10. 同时抛掷两枚均匀硬币，记“出现两个正面”为事件，“出现一正一反”为事件，则（ ） A. B. C. 与为互斥事件 D. 为必然事件 11. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与向量方向相同的单位向量是 B. 与夹角的余弦值是 C. 经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为 D. 坐标原点关于平面的对称点是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则______ 13. 一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为，当且仅当，时称为“凹数”（如），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为________. 14. 过点的直线与轴、轴正半轴分别交于点，，且，过点且平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和（为原点）上，若直线平分直角梯形的面积，则直线所过定点的坐标为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系中，四棱锥各点坐标为，，，，，点满足． （1）当时，求线段的长度； （2）若，求实数的值； （3）求异面直线与所成的角． 16. 为了调查某市居民对AI的了解情况，随机选取1000名市民参加有奖考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为，，的市民中，用分层抽样的方法抽取15人调查反馈，则考核成绩在中的市民应抽取多少人？ （2）若已知样本中考核成绩为的市民的平均成绩是56，方差是5.6，考核成绩为的市民的平均成绩为65，方差是8，求这两组市民整体的平均成绩和方差． 17. 已知三个顶点的坐标为，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）若直线与边平行，且在轴上的截距与在轴上的截距之和等于4，求的方程． 18. 某机器人闯关挑战赛设置了，，，3道独立关卡，选手可自由调整闯关顺序规则：连续成功通过2关可获得1枚铜牌，连续成功通过3关可获得1枚金牌，其余情况不获奖．已知选手甲通过关卡的概率为，通过关卡的概率为，通过关卡的概率为，且各关卡能否通关相互独立． （1）若． （ⅰ）若甲按的顺序闯关，求甲获得金牌的概率； （ⅱ）现有两种闯关方案：方案①：按闯关；方案②：按闯关．试通过计算判断，哪种方案甲获奖的概率更大？ （2）若在所有闯关排列顺序中，仅当关卡安排在中间位置时，甲获奖的概率最大，求实数的取值范围． 19. 如图1，在中，于点A，，四边形是平行四边形．将沿折起至的位置，如图2所示，连接，． （1）证明：； （2）设三棱锥的外接球球心为，证明：当时，； （3）若是的中点，连接，，记二面角为，二面角为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级10月份供题训练 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组数据：1，4，6，4，7，m，若这组数据有唯一众数4，则m的取值可以为下列选项中的（ ） A. 1 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，这组数据有唯一众数4，而数据中4已经出现2次， 则且且，m可以为4. 2. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，与垂直，可得： ，解得. 3. 已知，是互斥事件，与是对立事件，若，，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【详解】因为，是互斥事件，所以，则， 因为与是对立事件，所以. 4. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 5. 一组递增数据，，，，的平均数为4，方差为3，极差为5，若，则（ ） A. ，，，，的极差为5 B. ，，，，的方差为9 C. ，，，，的第40百分位数为 D. ，，，，的平均数为10 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数，方差的性质求解，利用百分位数的定义求解. 【详解】因为递增，，，极差，， 所以的平均数为，方差为，极差为， A选项，的极差，A错误； B选项，的方差，B错误； C选项，百分位数计算：， 当是整数时，第百分位数为第项与第项数据的平均值， 也就是，不是，C错误； D选项，，D正确. 6. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 存在无数个实数符合题意 B. 存在唯一的正整数符合题意 C. 不存在正整数符合题意 D. 不存在任何实数符合题意 【答案】B 【解析】 【详解】因为向量，，， 若，，共面，则存在唯一实数，使得， 则，解得， 所以存在唯一的正整数符合题意. 7. 已知向量，，，则三棱锥的体积为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 8. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，在平面内过点作，交AB于，连PO.设点是平面上的动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明平面，是正方形，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量法求线面角从而得出满足的关系，再计算，结合函数知识得最小值． 【详解】，则，又， 所以是矩形 ，因为，，所以，即是正方形， 从而是中点，而，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为原点 ，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，则，， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 因为直线与平面所成的角为， 所以，化简得， 由得， 在时是增函数， 所以时，． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 直线的倾斜角可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由诱导公式得， 直线的方程化为，则直线斜率， 因为，所以，即， 设直线倾斜角为，，，于是， 当时，， 当时，， 所以倾斜角的取值范围是，ABD满足，C不满足. 10. 同时抛掷两枚均匀硬币，记“出现两个正面”为事件，“出现一正一反”为事件，则（ ） A. B. C. 与为互斥事件 D. 为必然事件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据实验的所有结果，判断事件与事件的关系. 【详解】同时抛掷两枚质地均匀的硬币结果有：正正，正反，反正，反反，共4个基本事件， ，，A对，B错， 与为互斥事件，C对， 包含正正，正反，反正，不是必然事件，D错. 11. 已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与向量方向相同的单位向量是 B. 与夹角的余弦值是 C. 经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为 D. 坐标原点关于平面的对称点是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知写出对应向量的坐标，应用单位向量的定义，夹角的坐标运算，点法式写出平面方程及对称性写出对称点判断各项的正误. 【详解】，，， 对于A：，与同向的单位向量为，正确； 对于B：， 则与夹角的余弦值为，错误； 对于C：由平面点法式方程，代入点A和法向量得，化简得，正确； 对于D：平面的法向量为，平面方程为， 设原点对称点为，则与平行，且中点在平面上，解得，错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则______ 【答案】 【解析】 【详解】点关于平面的对称点为， 点关于轴的对称点为， 则. 13. 一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为，当且仅当，时称为“凹数”（如），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题中定义，结合古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】，且互不相同所组成的三位数的所有可能情况为，共6个数， 其中是“凹数”的有共2个数， 故所求概率为. 14. 过点的直线与轴、轴正半轴分别交于点，，且，过点且平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和（为原点）上，若直线平分直角梯形的面积，则直线所过定点的坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】由求出点坐标，设点，点的坐标分别为，，由面积关系求出与的关系，然后求出直线的方程，消除参数即可得到直线所过定点的坐标. 【详解】如图所示； 设点，点的坐标分别为，，由， 得，所以，解得， 所以点，点的坐标分别为，. 由，点的坐标为， 设点，点的坐标分别为，. 则，，，，， 所以，， 因为直线平分直角梯形的面积， 所以，则，得. 因为，所以直线的方程为，整理得， 由直线过定点，与的取值无关，令，. 所以直线所过定点的坐标为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在空间直角坐标系中，四棱锥各点坐标为，，，，，点满足． （1）当时，求线段的长度； （2）若，求实数的值； （3）求异面直线与所成的角． 【答案】（1） （2） （3）（或） 【解析】 【分析】（1）利用向量数乘求出的坐标，代入空间两点间距离公式计算的长度； （2）先用表示的坐标，写出向量与，根据向量垂直则数量积为，列方程求解； （3）求出异面直线方向向量，利用向量夹角公式算出向量夹角，再得到异面直线所成角． 【小问1详解】 设，因为，，，， 所以，， 当时，， 所以，即， 解得，即， 所以； 【小问2详解】 设，因为，，， 所以，， ， 因为， 所以，即， 解得，即， 所以， 由，得， 解得； 【小问3详解】 因为，，，， 所以，， 所以， ，， 所以， 因为，所以 所以异面直线与所成的角为． 16. 为了调查某市居民对AI的了解情况，随机选取1000名市民参加有奖考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在考核成绩为，，的市民中，用分层抽样的方法抽取15人调查反馈，则考核成绩在中的市民应抽取多少人？ （2）若已知样本中考核成绩为的市民的平均成绩是56，方差是5.6，考核成绩为的市民的平均成绩为65，方差是8，求这两组市民整体的平均成绩和方差． 【答案】（1）6人 （2）平均数是62，方差是25.2 【解析】 【分析】（1）先利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1的性质建立方程，求出的值，再分别计算出，，三组的总人数，以及组的人数，根据分层抽样的抽样比例即可计算该组应抽取的人数； （2）先根据频率分布直方图求出和两组的人数，用加权平均法计算两组成绩的总平均数，再结合分层方差的计算公式即可计算总方差． 【小问1详解】 因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1（频率和为1），组距为10， 所以，即，解得， 因为：频率，人数， ：频率，人数， ：频率，人数， 三组样本总人数：， 抽样比为：，因此应抽取人数：人． 【小问2详解】 因为与的频率之比为， 又因为落在的市民的平均成绩是56，方差是5.6，落在的市民的平均成绩为65，方差是8，所以这两组市民成绩的平均数是， 这两组市民整体的方差是． 17. 已知三个顶点的坐标为，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）若直线与边平行，且在轴上的截距与在轴上的截距之和等于4，求的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标求出中点，结合两点纵坐标相等写出中线所在直线的方程； （2）先求底边的斜率，利用垂直直线斜率关系得出的斜率，结合点斜式求高线所在直线的方程； （3）由平行关系得到直线的斜率，设直线的斜截式，利用截距之和建立方程求解参数，得到直线的方程． 【小问1详解】 ，， 因为为的中点，所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为； 【小问2详解】 ，， 因为所在直线的斜率， 所以所在直线的斜率， 所以所在直线的方程为，即； 【小问3详解】 ，， 因为所在直线的斜率， 所以可设直线的方程为， 此时在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即． 18. 某机器人闯关挑战赛设置了，，，3道独立关卡，选手可自由调整闯关顺序规则：连续成功通过2关可获得1枚铜牌，连续成功通过3关可获得1枚金牌，其余情况不获奖．已知选手甲通过关卡的概率为，通过关卡的概率为，通过关卡的概率为，且各关卡能否通关相互独立． （1）若． （ⅰ）若甲按的顺序闯关，求甲获得金牌的概率； （ⅱ）现有两种闯关方案：方案①：按闯关；方案②：按闯关．试通过计算判断，哪种方案甲获奖的概率更大？ （2）若在所有闯关排列顺序中，仅当关卡安排在中间位置时，甲获奖的概率最大，求实数的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）方案① （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据相互独立事件的概率公式求解即可； （ⅱ）结合相互独立事件的概率公式、概率的基本性质分别求出两种方案甲获奖的概率，进而判断即可； （2）结合对称性、相互独立事件的概率公式、概率的基本性质分别求出三种情况下甲获奖的概率，进而列不等式组求解即可. 【小问1详解】 设选手甲通过关卡为事件，通过关卡为事件，通过关卡为事件， 则，当时，. （ⅰ）由题意，甲获得金牌的概率为. （ⅱ）方案①：甲获奖的概率为 ； 方案②：甲获奖的概率为 . 综上所述，，则方案①甲获奖的概率更大. 【小问2详解】 根据对称性，只需考虑位于中间的顺序的关卡， 若关卡安排在中间位置时，甲获奖的概率为 ； 若关卡安排在中间位置时，甲获奖的概率为 ； 若关卡安排在中间位置时，甲获奖的概率为 . 由题意，仅当关卡安排在中间位置时，甲获奖的概率最大， 则，解得，又，则， 即实数的取值范围为． 19. 如图1，在中，于点A，，四边形是平行四边形．将沿折起至的位置，如图2所示，连接，． （1）证明：； （2）设三棱锥的外接球球心为，证明：当时，； （3）若是的中点，连接，，记二面角为，二面角为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）由题意得题图1中，所以题图2中， 又，平面，，所以平面， 又平面，所以． （2）由（1）中得，，则当时，两两垂直， 则以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，则，，， 易知的外接圆的圆心为的中点，而的外接圆的圆心为的中点， 分别过两个圆心作外接圆所在平面的垂线，则交点为， 根据已知条件，得点， 故，，则， 又四点不共线，所以． （3）是定值，该定值为 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直的性质，线面垂直的判定和性质即可证明； （2）根据垂直关系先建立空间直角坐标系，再根据直角三角形外接圆的性质得到对应外接球球心的坐标，从而求出求出的坐标，进而即可证明； （3）根据垂直关系先建立空间直角坐标系，然后分别求出平面和平面的法向量和，从而求出，的表达式，进而即可判断是否为定值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，以为原点，的方向分别为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，则，，，，其中， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，，即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得，，即， 易得平面和平面的一个法向量为， 故，则； ，则． 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $