精品解析：四川泸州市龙马潭区五校联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋期泸州市龙马潭区多校联考九年级第一次自主学习调研 数学 （练习时间：120分钟 分数：150分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 若，是方程， 的两根，则 （ ） A. B. C. D. 5. 三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的周长是（ ） A. 19 B. 11或19 C. 13 D. 11 6. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 8. 已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 11. 函数的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根是；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 13. 因式分解：=______． 14. 二次函数图象的开口方向是______（填写“向上”或“向下”）． 15. 若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为________ 16. 如图，抛物线与直线相交于点，，当时，自变量的取值范围为______． 17. 已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 三、解答题（本题共2小题，每题8分，共16分） 18. 计算∶． 19. 解一元二次方程：． 四．解答题（本题共3小题，每题10分，共30分） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 若，是方程的两个根． （1）求和的值． （2）求的值． （3）求的值． 22. “城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数． 五、解答题（本题共3小题，每题12分，共36分） 23. 关于的方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 24. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． （1）若售价下降1元，每天能售出______箱饮料，若售价下降元（），每天能售出______箱饮料； （2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ （3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 25. 如图，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）P是直线下方抛物线上一动点，当的面积取得最大值时，求点P的坐标； （3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期泸州市龙马潭区多校联考九年级第一次自主学习调研 数学 （练习时间：120分钟 分数：150分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将各选项方程整理化简，再依据一元二次方程的定义判断． 【详解】解：A、将整理得，是只含一个未知数且最高次数为2的整式方程，是一元二次方程； B、的分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程； C、中未说明，当时不是二次方程； D、将整理得，未知数最高次数为1，不是一元二次方程． 2. 下列各数中，是一元二次方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过直接开平方求出一元二次方程的根，再根据一元二次方程的根匹配选项即可. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 一元二次方程的一个根的是． 3. 抛物线的图象先向左平移2个单位，再向下平移6个单位后，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】由抛物线的图象先向左平移2个单位， 得， 由向下平移6个单位， 得， 故选：B． 4. 若，是方程， 的两根，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，即可求解． 【详解】解：∵，是方程， 的两根， ∴ 故选：A． 5. 三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的周长是（ ） A. 19 B. 11或19 C. 13 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：∵x2-12x+20=0， ∴x=2或x=10， 当x=2时， ∵2+4＞5， ∴能组成三角形， ∴三角形的周长为2+4+5=11， 当x=10时， ∵4+5＜10， ∴不能组成三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 6. 一元二次方程 的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】先确定方程中的值，代入计算，即可判断根的情况． 【详解】解：∵ 一元二次方程为，可得，，， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为0．熟练运用根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故选：B 8. 已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线解析式推出抛物线的对称轴直线和开口方向，然后结合二次函数图象上的点到对称轴距离的大小判定相应的y值的大小． 【详解】解：对于开口向下，对称轴是直线， 在时，二次函数取得最大值， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵，且二次函数上的点的横坐标离对称轴越近，纵坐标的值越大， ∴． 9. 每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，且本次青创赛一共进行了240次评审，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵共有名学生参加，每名学生不需要评审自己的方案，只需给其余所有同学的方案评审， ∴每名学生对应产生次评审， ∵已知总评审次数为， ∴可列方程为 . 10. 函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 先求出的顶点坐标， 再分情况讨论即可． 【详解】解：当时，， 即函数的顶点为，B、D不符合要求； 当时，函数经过一、三象限，函数开口向上，C符合； 当时，函数经过二、四象限，函数开口向下，无符合选项； 故选：C． 11. 函数的对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数的性质，与一元二次方程的解的条件，利用对称轴会求的值，关于的一元二次方程（为实数）有解，求满足条件是解决问题的关键．先由对称轴求的值，则二次函数，关于的一元二次方程(为实数)在的范围内有解，在时，，当时，，的范围即可求出． 【详解】解：函数的对称轴为直线， ， ， ． 当时，，当时，，当时，， 关于的一元二次方程为实数在的范围内有解， ， 故选：． 12. 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②一元二次方程的两个根是；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给二次函数的图象，结合抛物线的对称性和增减性对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， 则． 故①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为且对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 则一元二次方程的两个根是． 故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 则． 将点代入抛物线的解析式得， 则， ∴． 故③错误； 当时，抛物线的图象在x轴上方，即， ∴当时，． 故④正确． ∴正确的结论有①②④． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 13. 因式分解：=______． 【答案】3（x+3）（x﹣3） 【解析】 【详解】解：原式==3（x+3）（x﹣3）， 故答案为3（x+3）（x﹣3）． 14. 二次函数图象的开口方向是______（填写“向上”或“向下”）． 【答案】向上 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向． 【详解】解：二次函数中， ∴二次函数图象的开口向上， 故答案为：向上． 15. 若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为________ 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵是方程的根， ∴， 解得， ∴该方程的另一个根为． 16. 如图，抛物线与直线相交于点，，当时，自变量的取值范围为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），结合图象可得出答案． 【详解】解：由图象可得，当时，抛物线的函数图像在直线的函数图像的上方，所以自变量的取值范围为或． 故答案为：或． 17. 已知，是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 2027 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求多项式降次，再结合根与系数的关系代入计算． 【详解】解：∵a是方程的实数根， ∴，即， ∵a，b是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， 对所求式子变形得：， 将代入得： 原式 ． 三、解答题（本题共2小题，每题8分，共16分） 18. 计算∶． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，有理数的乘方，去绝对值等知识，依据相应的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 19. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 解得， 四．解答题（本题共3小题，每题10分，共30分） 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内通分相减，再将除法变为乘法约分化简，最后代入计算求值即可． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 21. 若，是方程的两个根． （1）求和的值． （2）求的值． （3）求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． （2）先将通分，再根据第一问得到的答案代入即可． （3）将展开，化为含有和的式子，再将第一问所得答案代入即可． 【小问1详解】 解：原方程为， 则，，， ，是方程的两个根 由一元二次方程根与系数关系可得： ， ． 【小问2详解】 解：， 且，， ， 的值为． 【小问3详解】 解：将展开，得， 变形，得， ，， ， 的值为． 22. “城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数． 【答案】（1） （2）31.25万人 【解析】 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由题意列式计算即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x 由题意可得 解得，（不合题意，舍去） 答：这两个月平均增长率为． 【小问2详解】 （万人） 答：7月份的游客人数为31.25万人． 五、解答题（本题共3小题，每题12分，共36分） 23. 关于的方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【小问1详解】 解：关于的方程有两个实数根， 满足， ， ， ； 【小问2详解】 解：由得，， 关于的方程有两个实数根，， ，， ， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， 的值为． 24. 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． （1）若售价下降1元，每天能售出______箱饮料，若售价下降元（），每天能售出______箱饮料； （2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ （3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】（1）120，； （2）每箱应降价5元； （3）不能，理由如下： 假设能使每天销售该饮料获利达到1500元， 根据题意列方程得：    整理得  该一元二次方程的判别式， ∴该方程没有实数根，不能使每天销售该饮料获利达到1500元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接计算得到不同降价对应的销售量； （2）设每箱降价元，根据题意得出每箱利润为元，每天销售量为箱，列出方程求解即可； （3）同（2）方法一致，列出方程进行判断即可． 【小问1详解】 解：已知原平均每天售出100箱，每降价1元多售出20箱， 降价1元时，销售量为(箱)， 降价元()时，多售出箱，销售量为箱； 【小问2详解】 设每箱降价元， 此时每箱利润为元，每天销售量为箱， 根据题意列方程得：   整理得  解得，， ∵要求扩大销售，增加利润， ∴降价越多销售量越大， ∴， 答：每箱应降价5元，可使每天销售该饮料获利1400元； 【小问3详解】 略 25. 如图，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴相交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）P是直线下方抛物线上一动点，当的面积取得最大值时，求点P的坐标； （3）点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数及其图象性质，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件． （1）用待定系数法求解即可； （2）连接，设点，分别表示出，，计算出，根据，从而得出的函数关系式，进一步求得结果； （3）可分为和的情形．当时，点和点关于抛物线对称轴对称，从而得出点坐标；当时，可推出点的纵坐标为6，进一步求得结果． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 把、、分别代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：连接， 设点， ， ， ， ， 当时，，此时； 【小问3详解】 解：如图3， 当时，， 抛物线对称轴为直线：， 点的坐标：， 如图4， 当时， 作于， ， 当时，， ，， ， ， 综上所述：存在，点F的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $