精品解析：四川省泸州市龙马潭区多校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年秋期泸州市龙马潭区多校联考九年级第三次月考试题 数学 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共48分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年9月25日，我国火箭军宣布发射东风洲际战略导弹，该导弹约经过11700000米的飞行后准确落入预定海域，数据11700000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放《眉山新闻》”是必然事件 B. 天气预报“明天降水概率”是指明天有一半的时间会下雨 C. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 D. 对角线相等的四边形是矩形 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径是2，侧面展开图的圆心角为，则其侧面积为（　　） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 某校九年级8个班的同学积极参与“一木一环保”捐书活动，以班为单位自愿捐赠废旧书本，经统计，每个班捐赠的书本质量（单位：kg）如下：26，30，28，28，30，32，34，30，则这组数据的中位数和众数分别为（　　） A. 30，30 B. 29，28 C. 28，30 D. 30，28 9. 某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价元后，每星期售出商品的总销售额为元，则与的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的内切圆，切点分别是、，连接，若，则的度数是(　　) A. B. C. D. 11. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线，当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13. 已知点，点关于轴对称，则的值是______ 14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，则点E与点C之间的距离是_________cm． 15. 已知a是方程的一个实数根，则的值为________． 16. 如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________． 三、简答题（本大题共3个小题，共21分） 17. 计算： 18. 如图，A、C、D、B四点共线，且，，，求证：． 19. 化简：． 四、简答题（本大题共2个小题，共16分） 20. 某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学校的调查结果如图： 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人，“散文”类所对应的圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校喜欢“绘画”的学生人数； （4）最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率． 21. 三星堆文化被誉为“长江文明之源”，极大丰富了中华文明的内涵．青铜面具和青铜神树等文物的问世，再次在世界上引发了广泛关注．近期，三星堆文创馆销售一种纪念品，每个纪念品成本为元，规定销售单价不低于元，且不高于元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现三星堆文创馆决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大?最大利润是多少元? 五、简答题（本大题共2个小题，共18分） 22. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若满足，求a的值． 23. 如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里． （1）求A、C两处的距离； （2）突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号） 六、简答题（本大题共2个小题，共31分） 24. 如图，是的边上的一点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，交于点．已知，，，连接，，，与相交于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径． （3）在（2）的条件下，求的长． 25. 如图，平面直角坐标系中的和全等，直角边、在轴上．已知点的坐标为，过、两点的直线分别交轴、轴于点、，抛物线经过、、三点． （1）写出点的坐标并求该抛物线的函数解析式； （2）点为抛物线上位于线段所在可直线上方部分的一动点，求到直线的最大距离和此时点的坐标； （3）点为线段上一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，交轴于点，问是否存在这样的点，使得四边形的边与边相等？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期泸州市龙马潭区多校联考九年级第三次月考试题 数学 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共48分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟知把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A项中的图形是中心对称图形，符合题意； B、C、D选项中的图形不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 2. 2024年9月25日，我国火箭军宣布发射东风洲际战略导弹，该导弹约经过11700000米的飞行后准确落入预定海域，数据11700000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 根据科学记数法的表示数的方法，一般形式为，当a的绝对值于等于10时，n的值为所有整数位减1；当a的绝对值小于1时，n的值为小数点向右移动的位数的相反数． 【详解】解：∵， 故选D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “打开电视机，正在播放《眉山新闻》”是必然事件 B. 天气预报“明天降水概率”是指明天有一半的时间会下雨 C. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，则甲的成绩更稳定 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了事件的分类，概率的定义，方差的意义，矩形的判定等知识点，直接利用相关概念分别分析得出答案． 【详解】解：A、“打开电视机，正在播放《眉山新闻》”是随机事件，故此选项错误； B、天气预报“明天降水概率”，是指明天的可能性会下雨，故此选项错误； C、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是，，方差越小越稳定，则甲的成绩更稳定，故此选项正确； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘底数不变指数相加、同底数幂相除底数不变指数相减、乘积的幂等于各部分幂的乘积运算法则求解即可． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能相加，故选项A错误； 选项B：，故选项B错误； 选项C：，故选项C错误； 选项D：，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查幂的运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则是解决本类题的关键． 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．使用配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，通过添加和减去一次项系数一半的平方完成配方． 【详解】解：原方程：， 一次项系数为，其一半为，平方为， ， 即， ， 移项得， 故配方后方程为， 故选：C． 6. 已知圆锥的底面半径是2，侧面展开图的圆心角为，则其侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，解方程求出，然后根据扇形的面积公式计算扇形的面积，从而得到圆锥的侧面积． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 根据题意得， 解得， 所以圆锥的侧面积． 故选：A． 7. 若关于x的方程有实数根，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根，列不等式求解即可． 【详解】关于x的方程有实数根， ， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系． 8. 某校九年级8个班的同学积极参与“一木一环保”捐书活动，以班为单位自愿捐赠废旧书本，经统计，每个班捐赠的书本质量（单位：kg）如下：26，30，28，28，30，32，34，30，则这组数据的中位数和众数分别为（　　） A. 30，30 B. 29，28 C. 28，30 D. 30，28 【答案】A 【解析】 【分析】由中位数、众数的定义进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， 这组数据按从小到大排列为：26，28，28，30，30，30，32，34； ∴这组数据的中位数是第5个数和第6个数的平均数为30；出现最多的数是30，则众数是30； 故选：A 【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 9. 某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价元后，每星期售出商品的总销售额为元，则与的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数解析式，设每件商品降价元后，则销售量为件，根据总销售额单脚销售量，列出函数解析式即可，找出题目中的等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设每件商品降价元后，则销售量为件， 由题意可得：， 故选：C． 10. 如图，是的内切圆，切点分别是、，连接，若，则的度数是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知中∠A＝100°，∠C＝30°，根据三角形内角和定理，可得∠B的大小，结合切线的性质，可得∠DOE的度数，再由圆周角定理即可得到∠DFE的度数． 【详解】解：∠B＝180°−∠A−∠C＝180−100°−30°＝50° ∠BDO＋∠BEO＝180° ∴B、D、O、E四点共圆 ∴∠DOE＝180°−∠B＝180°−50°＝130° 又∵∠DFE是圆周角，∠DOE是圆心角 ∠DFE＝∠DOE＝65° 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理，切线的性质，其中根据切线的性质判断出B、D、O、E四点共圆，进而求出∠DOE的度数是解答本题的关键． 11. 如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得 【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=, B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为 y=(4－x)··=, 两个三角形重合时面积正好为. 由二次函数图象的性质可判断答案为A, 故选A. 【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论. 12. 已知抛物线，当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①当时，抛物线开口向上， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得，， ∴； ②当时，抛物线开口向下， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 解得，， ∴, ∴符合题意, 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13. 已知点，点关于轴对称，则的值是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称点的坐标特点和代数式求值，其中根据轴对称点的坐标特点确定a、b的值是解答本题的关键. 先根据关于y轴对称点的坐标特点确定a、b的值，然后代入求值即可. 【详解】解：由题意得：，则 故答案为. 14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，则点E与点C之间的距离是_________cm． 【答案】 【解析】 【详解】连接EC，即线段EC的长是点E与点C之间的距离， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC=（cm）， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE， ∴BC=BE，∠CBE=60°， ∴△BEC是等边三角形， ∴EC=BE=BC=cm. 故答案为： 15. 已知a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 根据方程根的定义，将已知条件代入表达式求解． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， 即， ∴ ． 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点，证明，可知点F在以为直径的半圆上运动，当点F运动到与的交点时，线段有最小值，据此求解即可． 【详解】解：设的中点为O，以为直径画圆，连接，设与的交点为点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F在以为直径的半圆上运动， ∴当点F运动到与的交点时，线段有最小值， ∵， ∴，， ∴， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键． 三、简答题（本大题共3个小题，共21分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值． 先计算负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 如图，A、C、D、B四点共线，且，，，求证：． 【答案】 证明：、、、四点共线，且， ，即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由，可得，结合，，可证明，即可解答． 【详解】略 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的基本性质化简，即可求解． 【详解】解： ． 四、简答题（本大题共2个小题，共16分） 20. 某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学校的调查结果如图： 根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的学生有 人，“散文”类所对应的圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校喜欢“绘画”的学生人数； （4）最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率． 【答案】（1）50，72° （2） 补全条形统计图如图所示． （3）800人 （4） 【解析】 【分析】（1）用喜欢“诗歌”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生人数；用喜欢“散文”的学生人数除以本次被调查的学生人数再乘以360°可得“散文”类所对应的圆心角的度数． （2）求出喜欢“绘画”的学生人数，补全条形统计图即可． （3）用喜欢“绘画”的学生人数除以本次被调查的学生人数再乘以2500即可． （4）画树状图得出所有等可能的结果数和所选的两人恰好都是男生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次被调查的学生有20÷40%＝50（人）， “散文”类所对应的圆心角的度数为． 故答案为：50；72°． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 （人）． ∴估计该校喜欢“绘画”的学生人数有800人． 【小问4详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果有6种， ∴所选的两人恰好都是男生的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21. 三星堆文化被誉为“长江文明之源”，极大丰富了中华文明的内涵．青铜面具和青铜神树等文物的问世，再次在世界上引发了广泛关注．近期，三星堆文创馆销售一种纪念品，每个纪念品成本为元，规定销售单价不低于元，且不高于元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．现三星堆文创馆决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利元； （3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大?最大利润是多少元? 【答案】（1） （2）当每个纪念品的销售单价是元时，商家每天获利元 （3）将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据（售价进价）销售量，列出求解即可，注意规定销售单价不低于元，且不高于元； （3）根据利润（售价进价）销售量，写出与之间的函数关系式，然后化为顶点式，再根据的取值范围和二次函数的增减性，即可求得的最大值． 【小问1详解】 解：由题意可得，， ； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， 解得，（不合题意，舍去）， 答：当每个纪念品的销售单价是元时，商家每天获利元； 【小问3详解】 解：由题意可得，， ， 当时， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：将纪念品的销售单价定为元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是元． 五、简答题（本大题共2个小题，共18分） 22. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）若满足，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程： （1）根据方程有两个不相等的实数根得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，得到，根据，得到关于的方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意，得：， ∴， 解得：， ∵， ∴． 23. 如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西的方向上，且测得B、C两处的距离为海里． （1）求A、C两处的距离； （2）突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度沿方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时间．（结果保留根号） 【答案】（1）、两处的距离为20海里； （2）救援船到达处所用的时间为小时． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及锐角三角函数定义等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过作于点，由含角的直角三角形的性质得海里，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）过点作于点，由锐角三角函数定义得海里，海里，则海里，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图1，过作于点， 由题意得：海里，，， （海里），是等腰直角三角形， （海里）， 答：、两处的距离为20海里； 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点， 在中，海里，， （海里）， （海里）， （海里）， 在中，由勾股定理得：（海里）， （小时）， 答：救援船到达处所用的时间为小时． 六、简答题（本大题共2个小题，共31分） 24. 如图，是的边上的一点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，交于点．已知，，，连接，，，与相交于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径． （3）在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线． （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，由，可得，证明是等边三角形，，则，，，即，进而结论得证； （2）由（1）可知，，则，由，可求，然后作答即可； （3）由（2）可知，，同理（1）可得，是等边三角形，，，由，可得，则，，，由勾股定理得，，证明，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴求的半径为4． 【小问3详解】 解：由（2）可知，， 同理（1）可得，是等边三角形，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定与性质，切线的判定，平行线的判定与性质，含的直角三角形，余弦，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定与性质，切线的判定，平行线的判定与性质，含的直角三角形，余弦，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 25. 如图，平面直角坐标系中的和全等，直角边、在轴上．已知点的坐标为，过、两点的直线分别交轴、轴于点、，抛物线经过、、三点． （1）写出点的坐标并求该抛物线的函数解析式； （2）点为抛物线上位于线段所在可直线上方部分的一动点，求到直线的最大距离和此时点的坐标； （3）点为线段上一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，交轴于点，问是否存在这样的点，使得四边形的边与边相等？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）G点到直线的最大距离为，此时； （3） 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质求出点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，过G点作x轴的垂线交于点K，于点H．求出直线的解析式为，设，则，则，求出，则当时，的值最大为6，此时的值为最大，利用勾股定理求出，利用等面积法求出即可； （3）如图所示，过点M作于点R，过点P作于点T．先证明，得到，设点M的横坐标为t，则．则，即可建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ∴， ∵和全等， ∴， ∴； 把代入到中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，过G点作x轴的垂线交于点K，于点H． 设直线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大为6，此时的值为最大， ∵， ∴，即， ∴G点到直线的最大距离为，此时； 【小问3详解】 解：如图所示，过点M作于点R，过点P作于点T． 由题意：， ∴， ∵， ∴． ∴， 设点M的横坐标为t，则． 由（2）知：直线的解析式为，则 ∴， 当时， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，无实数解． ∴，此时 ∴P点的坐标为． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $