3.1.1 椭圆及其标准方程导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

新课标高中数学导学 第三章 圆锥曲线的方程 椭圆 椭圆及其标准方程【解析】 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 · 导学案 【内容导航】 从本章起，我们进入解析几何的核心内容——圆锥曲线。前一册第二章用坐标系研究了直线与圆，研究路径是「几何条件 代数方程 代数运算 几何结论」；本章把研究对象升级为椭圆、双曲线与抛物线，研究路径完全一致，但方程与运算更复杂，需要更加自觉地运用坐标法。 椭圆是圆锥曲线的「第一站」。它并不陌生：行星绕太阳运行的轨道、油罐车横截面的轮廓、电影放映机的反光镜面，都是椭圆（或与椭圆密切相关）。 本课时解决三个基本问题：椭圆是什么样的点的轨迹（定义）？ 它的方程是什么样子（标准方程）？ 给定条件怎样求出方程（求法）？ 本节的知识链为： 圆的定义与标准方程 椭圆的定义（距离之和为定值） 椭圆的标准方程（焦点在 轴 / 焦点在 轴） 求标准方程的三种方法（定义法·待定系数法·相关点法） 轨迹问题与限制条件 椭圆的简单几何性质（下一课时 ）。 本节的核心方法是坐标法：把「到两定点距离之和为定值」这一几何条件翻译成含根式的方程，再通过两次平方把它化简为不含根式的对称方程。化简过程中引入的字母 （）是椭圆特有的「简洁性设计」，理解它的来历是本课时的思维制高点。 本课时的核心问题： . 为什么定义中要求「距离之和大于两定点间的距离」？等于、小于时轨迹分别是什么？ . 椭圆的标准方程为什么有两种形式？怎样「一眼看出」焦点在哪条坐标轴上？ . 求椭圆标准方程有哪几种常用方法？轨迹问题中为什么常常要「挖去」个别点？ 【导学目标导航】 一、知识目标 . 理解椭圆的定义，明确定义中「距离之和为常数且大于两定点间距离」的必要性，掌握焦点、焦距的概念； . 掌握焦点在 轴、焦点在 轴上的两种椭圆标准方程，理解 、、 的意义及关系 ； . 会根据条件判断焦点所在的坐标轴，能「从方程读出焦点坐标」； . 掌握求椭圆标准方程的三种常用方法：定义法、待定系数法、相关点法（代入法）； . 会解决与椭圆定义有关的轨迹问题，并能正确处理轨迹中的限制条件（如挖去个别点、限定范围）。 二、能力目标 . 能经历「建系—设点—列式—化简—检验」的完整坐标法过程，掌握含根式方程的两次平方化简技巧； . 能把椭圆定义中的几何条件转化为方程，反向运用定义识别动点的轨迹（定义法求轨迹）； . 能对焦点位置不确定的问题进行分类讨论，做到不重不漏。 三、素养目标 . 数学抽象：从细绳画椭圆的实验中抽象出椭圆的定义，从两类标准方程中抽象出「分母大者定焦点」的结构规律； . 逻辑推理：对 与 的大小进行分类讨论；对焦点位置不确定的问题分类求解； . 直观想象：借助图形理解 、、 的几何意义，用图形辅助识别动点轨迹； . 数学运算：含根式方程的平方化简、两点间距离公式与待定系数法的准确运算。 【导学重点】 . 椭圆的定义与两种标准方程； . 用定义法、待定系数法、相关点法求椭圆的标准方程。 【导学难点】 . 标准方程推导中含根式方程的两次平方化简； . 定义中「大于两定点间距离」的理解（等于、小于时轨迹的讨论）； . 焦点位置不确定时的分类讨论，以及轨迹问题中限制条件（挖去点）的处理。 【知识框架】 一级栏目 具体内容 椭圆的定义 平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹 焦点与焦距 两个定点 、 叫做焦点；两焦点间的距离 叫做焦距 定义的三种情形 和为 ：椭圆；：线段 ；：轨迹不存在 标准方程（焦点在 轴） （），焦点 标准方程（焦点在 轴） （），焦点 基本关系 ，即 （ 最大） 焦点位置判断 看标准方程中两个分母的大小：哪个分母大，焦点就在哪个对应的坐标轴上 求方程三法 定义法（识别轨迹）、待定系数法（先定位置再求 、；或设 ）、相关点法（代入法） 轨迹限制 斜率不存在时挖去 ；轨迹范围限定（如 ）时方程须附条件 主要题型 定义辨析与定义应用、求标准方程、定义法求轨迹、相关点法求轨迹、实际建模 【导学过程】 一、知识要点 （一）知识回顾 . 圆的定义与标准方程：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹；标准方程 ； . 两点间的距离公式：； . 坐标法求轨迹方程的一般步骤：建系设点 写出几何条件 翻译为坐标方程 化简 检验（补上或挖去个别点）； . 已学的轨迹问题：到两定点距离相等的轨迹是线段的垂直平分线；到定直线距离等于到定点距离的点将在后续学习。本节课研究的是到两定点距离之和为定值的情形。 （二）椭圆的定义 实验：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画板上的同两点处（两点的距离小于绳长），用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，画出的图形就是一个椭圆。 椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 定义的集合语言表述：集合. 设动点为 ，由三角形三边关系，恒有 ，即 。于是有三种情形： 条件 轨迹 说明 ​ 椭圆 定义成立的情形 ​ 线段 动点只能落在线段上，轨迹退化为线段 ​ 不存在 任何点到两定点距离之和都不小于 ，这样的点不存在 易错警示：椭圆是「到两定点距离之和为定值」的轨迹；若把「和」误记为「差」，那就是后面要学的双曲线，千万不要混淆。 （三）椭圆的标准方程 以经过两焦点 、 的直线为 轴、线段 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系，推导得到（推导过程见「公式推导」）： 其中 ，焦点为 、。这就是焦点在 轴上的椭圆标准方程。 如果把 轴与 轴互换（焦点落在 轴上），同样可得： 焦点为 、。这就是焦点在 轴上的椭圆标准方程。 两种标准方程对照如下： 类 型 焦点在 轴上 焦点在 轴上 标准方程 （） （） 图 像 焦点坐标 ​ ​ 、、 的关系 ​ ​ 分母大小 的分母大 的分母大 判断焦点位置的方法：不改变方程中变量的位置，直接比较两个分母的大小——哪个分母大，焦点就在哪条坐标轴上。例如方程 中 的分母 较大，故焦点在 轴上，此时 、、，焦点为 。 （四）求椭圆标准方程的三种方法 . 定义法：若能断定动点满足「到两定点距离之和为定值（大于两定点距离）」，直接用定义写出 、，再由 求出 ，代入标准方程； . 待定系数法：先由条件确定焦点位置，设出相应的标准方程，再代入已知条件求出 、。若焦点位置不确定，需分类讨论两种情形；焦点位置不确定时也可设方程为 （，，），由条件直接求出 、； . 相关点法（代入法）：当动点 随另一曲线上的点 运动时，先用 、 表示 、，再把 的坐标代入它所满足的曲线方程，整理即得 的轨迹方程。 （五）离心率预告（为下一课时做准备） 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率，其取值范围是 。本节只需会用 与 、、 的关系进行简单换算；离心率的完整讨论在 进行。 （六）轨迹问题中的限制条件 求轨迹方程时，必须检查「化简过程中是否产生了增根、原几何条件是否对动点有限制」： . 涉及斜率的轨迹问题（如斜率之积为定值），经过定点 、 时斜率不存在，这些点必须挖去，即方程附条件 ； . 动点轨迹被限定在部分区域（如 ）时，方程必须附上相应条件；此时「轨迹」只是半个椭圆，而完整的椭圆不是所求轨迹； . 「求轨迹方程」与「求轨迹」是两问：前者只要求方程（含限制条件），后者还要说明曲线的形状（是椭圆、线段还是圆）。 二、公式推导 推导 ：焦点在 轴上的椭圆标准方程 设两焦点为 、（），动点 满足 由两点间距离公式， 移项得 ，两边平方： 展开整理，得 再平方： 展开并整理（把含 的项合并）： 由 知 ，两边同除以 ： 令 （），得 这就是焦点在 轴上的椭圆标准方程，焦点为 。 点评： 1 两次平方是化简含根式方程的基本手段，第二次平方前必须先移项，否则根号消不掉； ② 引入 纯粹是为了方程简洁对称——它使方程成为「两个平方之和等于 」的和谐形式，这正是解析几何「代数形式优美化」的典型设计。 推导 ：焦点在 轴上的椭圆标准方程 若焦点为 、，仿照推导 （把 与 的地位互换），同理可得 点评：也可以不重新推导，而把焦点在 轴上的方程中 、 互换直接得到——这正是「坐标轴互换不改变曲线形状，只改变方程中变量位置」的体现。注意无论哪种形式， 永远是较大的分母的平方根。 推导 ： 与 时轨迹的讨论 设 ，动点 满足 。 当 时：由三角形三边关系， 恒成立，且等号成立当且仅当 在线段 上（三点共线且 、 在 两侧），所以轨迹是线段 ； 当 时：对平面内任意一点 都有 ，条件无法满足，所以轨迹不存在。 点评：这一讨论解释了定义中「大于」二字的必要性——椭圆定义的三个要件「平面内、和为定值、定值大于焦距」缺一不可，判断题、多选题最爱在此设伏。 推导 ：椭圆与圆的伸缩关系（由圆「压缩」得到椭圆） 特别地，当 （两焦点重合）时，，方程变为 ，即 ——这是圆。可见圆是两焦点重合时椭圆的特例。 反过来，在圆 上任取一点 ，保持横坐标不变、把纵坐标压缩为原来的 倍，得到点 。设 的坐标为 ，则 ，，代入圆的方程： 即 所以椭圆可以由圆经过伸缩变换得到：纵坐标按比例 压缩（ 时为压缩），圆就变成了椭圆。 点评：这解释了「教材例 （圆上垂线段中点的轨迹）」为什么必然得到椭圆——中点的纵坐标恰是圆上点的 倍，正是最简单的压缩变换。 推导 ：共焦点椭圆系与 型 （）共焦点的椭圆：与椭圆 有相同焦点（即 相同）的椭圆可设为 其中所有这些椭圆的焦距都是 。 （2） 焦点位置不确定时：设方程为 （，，）。 当 时化为 ，因 ，焦点在 轴上； 当 时焦点在 轴上。求出 、 后再按分母大小判定焦点位置，可以避免分类讨论。 点评： 型是处理「焦点位置不确定」问题的利器——它把「两种位置关系」统一成一个方程形式，求出系数后位置自然明确；这也是高考选择题中「求标准方程」类题目的常用速解手段。 三、例题讲解 例 .（中等题型） 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 、，并且经过点 ，求它的标准方程。（教材例 ） 解析：由于椭圆的焦点在 轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 ， 所以 ，。 所以，所求椭圆的标准方程为 。 点评：本题也可用待定系数法——设方程后代入点 与关系 联立求解。定义法的好处是直接算出 ，不必解方程组；两种方法都应掌握。 例 （提高题型）求经过点 和 ，且焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程。 解析：焦点位置虽说不确定，但两点坐标给出的信息足以先定位置—— 设方程为 （，，）。把两点的坐标代入： 由第二式得 ，代入第一式：，解得 ，。 因为 ，所以 ，即 的分母较大，焦点在 轴上。所求标准方程为 焦点在 轴上，、、。 点评：本题若按「焦点在 轴」「焦点在 轴」分类讨论需解两组方程，而 型把两种位置统一处理，求出 、 后由分母大小自动确定焦点位置——这正是推导 () 的应用。注意：若解得 ，轨迹是圆而不是椭圆，此时须检验题目是否允许。 例 .（提高题型） 已知圆 及点 ， 为圆 上任意一点， 的垂直平分线与线段 交于点 ，求点 的轨迹方程。 解析：由垂直平分线的性质，得 。 因为点 在圆 上，且 在线段 上，所以 即动点 到两定点 、 的距离之和为定值 ，且 ， 所以点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆。 由 得 ；由 得 ，所以 所以点 的轨迹方程为 点评：本题是「定义法求轨迹」的典范——动点 的坐标没有任何直接条件，全靠「垂直平分线」把 转化为 ，再用「圆的半径」把和凑成定值。识别这类题的信号是：条件中出现「垂直平分线」「动圆与定圆相切」等能转化距离的结构。另外注意 在线段 上，轨迹是完整的椭圆，无需挖点。 例 .（近三年高考题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · · 高考真题】已知曲线 ，从 上任意一点 向 轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点 的轨迹方程为（　） A．　　 B． C．　　 D． 解析：设点 ，则 ，。因为 为 的中点，所以 的纵坐标为 ，即 。 又 在圆 上，所以 即 故选 A。 点评：本题与教材例 几乎同型——「圆上动点向坐标轴作垂线段，取中点」就是最典型的相关点法。两个易错点：① 中点代入时坐标关系不要写反（ 的纵坐标是中点的 倍）；② 原曲线限定 ，转化后的轨迹方程必须保留 ，此时轨迹只是椭圆的上半部分——高考正是用这个条件区分「会做题」与「做对题」。 例 （近三年高考题型） 【 · 全国二卷 · 第()问 · 高考真题】已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 ，求 的方程。 解析：设椭圆的方程为 （原题按所给图形确定焦点在 轴上；若焦点在 轴上，把 、 互换即可）。 由长轴长为 ，得 ，即 ；由离心率 ，得 。 所以 ，椭圆 的方程为 点评：这是「待定系数法」的标准流程——由「长轴长」定 ，由「离心率」定 ，由 定 。三个基本量 、、 中只要知道任意两个，方程就确定了。注意题面给的「长轴长」是 而不是 ，审题时圈画。 例 .（创新题型） 在木板上取两个定点 、，一根长为 的细绳两端分别固定在 、 处，用铅笔尖勾紧细绳画曲线。 （）求画出的曲线的方程； （）保持绳长 不变，改变两钉间的距离 （），讨论画出的图形分别是什么。 解析：（）笔尖（设为点 ）到 、 两点的距离之和恒等于绳长 ，且 ， 所以 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆。由 得 ， 由 得 ，所以 ，所求方程为 （）绳长 固定，分三类： · 当 时，，画出的图形是椭圆，焦点在两钉的连线上，且 越大椭圆越扁； · 当 时，，画出的图形退化为线段 （长为 ）； · 当 时，两钉重合于一点，笔尖到该点的距离恒为 ，画出的图形是半径为 的圆。 四、方法分析 （一）四种常用方法 . 定义法：见到「距离之和为定值」「垂直平分线」「动圆相切」等结构，先想椭圆定义——把几何条件翻译成 、，再由 补齐三要素； . 待定系数法：先定位（焦点在哪条轴）、再定量（求 、）。基本量 、、 知二求一（），「长轴长 」「焦距 」「离心率 」三个换算必须滚瓜烂熟； . 相关点法（代入法）：设所求动点 与已知曲线上的点 ，用 、 表示 、 后代入已知曲线方程；「中点」「垂足」「定比分点」类轨迹问题优先用它； . 统一设方程法：焦点位置不确定时设 ，一次求解、避免分类；共焦点时利用 不变的关系设方程。 （二）六个易错点 . 忽略定义前提 ：求轨迹时先验证「和是否大于焦距」，防止把线段或「不存在」误判为椭圆； . 、、 关系记错：椭圆中 （ 最大），与直角三角形勾股定理形似但含义不同； . 焦点位置判断失误：必须比较分母的大小，而不是看变量字母顺序；分母大者在哪个变量上，焦点就在哪条轴上； . 相关点法坐标关系写反： 是主动点、 是被动点，永远用 的坐标表示 的坐标，再代入 满足的方程； . 限制条件遗漏：斜率类轨迹挖去 ；范围类轨迹附上不等式（如 ）；「求轨迹」还需说明曲线形状； . 待定系数不分类：题目未指明焦点位置而条件又无法确定位置时，漏掉另一种情形是高频失分点（用 可规避）。 五、变式练习 变式 .（提高题型） 设 、，直线 、 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程。 【解析】设 ，则 （），（）。 由 ，得 ，即 点 的轨迹是除去 、 两点的椭圆。 （与教材例 同型：斜率之积为负常数且绝对值小于 时，轨迹是椭圆。） 变式 .（提高题型） 已知定圆 ，，动圆 过点 且与定圆 内切，求动圆圆心 的轨迹方程。 【解析】设 ，动圆半径 。由内切，，即 而 ，所以 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆： ，；，；。 轨迹方程为 变式 .（高考题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · 同源变式】已知曲线 ，从 上任意一点 向 轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点 的轨迹方程为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A。 【解析】设 ，则 ，代入 得 ，即 。 变式 （高考题型） 【 · 全国二卷 · () 同源考法】已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 ，求 的标准方程（焦点在 轴上）。 【解析】由 得 ；由 得 ；。 所求标准方程为 六、本节知识总结 板块 核心内容 定义 平面内到两定点 、 距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹； 退化为线段， 轨迹不存在 标准方程 焦点在 轴：；焦点在 轴：（均 ） 基本量 ：长半轴长；：短半轴长；：半焦距；， 焦点位置 分母大者定焦点； 型由 、 大小自动确定 求方程 定义法（识别轨迹）、待定系数法（先定位再定量）、相关点法（中点·垂足类）、统一设方程法 轨迹限制 斜率类挖 ；范围类附不等式；「求轨迹」须说明形状 思想方法 坐标法（建系设点列式化简检验）、分类讨论、数形结合 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学导学 第三章 圆锥曲线的方程 椭圆 椭圆及其标准方程 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 · 导学案 【内容导航】 从本章起，我们进入解析几何的核心内容——圆锥曲线。前一册第二章用坐标系研究了直线与圆，研究路径是「几何条件 代数方程 代数运算 几何结论」；本章把研究对象升级为椭圆、双曲线与抛物线，研究路径完全一致，但方程与运算更复杂，需要更加自觉地运用坐标法。 椭圆是圆锥曲线的「第一站」。它并不陌生：行星绕太阳运行的轨道、油罐车横截面的轮廓、电影放映机的反光镜面，都是椭圆（或与椭圆密切相关）。 本课时解决三个基本问题：椭圆是什么样的点的轨迹（定义）？ 它的方程是什么样子（标准方程）？ 给定条件怎样求出方程（求法）？ 本节的知识链为： 圆的定义与标准方程 椭圆的定义（距离之和为定值） 椭圆的标准方程（焦点在 轴 / 焦点在 轴） 求标准方程的三种方法（定义法·待定系数法·相关点法） 轨迹问题与限制条件 椭圆的简单几何性质（下一课时 ）。 本节的核心方法是坐标法：把「到两定点距离之和为定值」这一几何条件翻译成含根式的方程，再通过两次平方把它化简为不含根式的对称方程。化简过程中引入的字母 （）是椭圆特有的「简洁性设计」，理解它的来历是本课时的思维制高点。 本课时的核心问题： . 为什么定义中要求「距离之和大于两定点间的距离」？等于、小于时轨迹分别是什么？ . 椭圆的标准方程为什么有两种形式？怎样「一眼看出」焦点在哪条坐标轴上？ . 求椭圆标准方程有哪几种常用方法？轨迹问题中为什么常常要「挖去」个别点？ 【导学目标导航】 一、知识目标 . 理解椭圆的定义，明确定义中「距离之和为常数且大于两定点间距离」的必要性，掌握焦点、焦距的概念； . 掌握焦点在 轴、焦点在 轴上的两种椭圆标准方程，理解 、、 的意义及关系 ； . 会根据条件判断焦点所在的坐标轴，能「从方程读出焦点坐标」； . 掌握求椭圆标准方程的三种常用方法：定义法、待定系数法、相关点法（代入法）； . 会解决与椭圆定义有关的轨迹问题，并能正确处理轨迹中的限制条件（如挖去个别点、限定范围）。 二、能力目标 . 能经历「建系—设点—列式—化简—检验」的完整坐标法过程，掌握含根式方程的两次平方化简技巧； . 能把椭圆定义中的几何条件转化为方程，反向运用定义识别动点的轨迹（定义法求轨迹）； . 能对焦点位置不确定的问题进行分类讨论，做到不重不漏。 三、素养目标 . 数学抽象：从细绳画椭圆的实验中抽象出椭圆的定义，从两类标准方程中抽象出「分母大者定焦点」的结构规律； . 逻辑推理：对 与 的大小进行分类讨论；对焦点位置不确定的问题分类求解； . 直观想象：借助图形理解 、、 的几何意义，用图形辅助识别动点轨迹； . 数学运算：含根式方程的平方化简、两点间距离公式与待定系数法的准确运算。 【导学重点】 . 椭圆的定义与两种标准方程； . 用定义法、待定系数法、相关点法求椭圆的标准方程。 【导学难点】 . 标准方程推导中含根式方程的两次平方化简； . 定义中「大于两定点间距离」的理解（等于、小于时轨迹的讨论）； . 焦点位置不确定时的分类讨论，以及轨迹问题中限制条件（挖去点）的处理。 【知识框架】 一级栏目 具体内容 椭圆的定义 平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹 焦点与焦距 两个定点 、 叫做焦点；两焦点间的距离 叫做焦距 定义的三种情形 和为 ：椭圆；：线段 ；：轨迹不存在 标准方程（焦点在 轴） （），焦点 标准方程（焦点在 轴） （），焦点 基本关系 ，即 （ 最大） 焦点位置判断 看标准方程中两个分母的大小：哪个分母大，焦点就在哪个对应的坐标轴上 求方程三法 定义法（识别轨迹）、待定系数法（先定位置再求 、；或设 ）、相关点法（代入法） 轨迹限制 斜率不存在时挖去 ；轨迹范围限定（如 ）时方程须附条件 主要题型 定义辨析与定义应用、求标准方程、定义法求轨迹、相关点法求轨迹、实际建模 【导学过程】 一、知识要点 （一）知识回顾 . 圆的定义与标准方程：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹；标准方程 ； . 两点间的距离公式：； . 坐标法求轨迹方程的一般步骤：建系设点 写出几何条件 翻译为坐标方程 化简 检验（补上或挖去个别点）； . 已学的轨迹问题：到两定点距离相等的轨迹是线段的垂直平分线；到定直线距离等于到定点距离的点将在后续学习。本节课研究的是到两定点距离之和为定值的情形。 （二）椭圆的定义 实验：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画板上的同两点处（两点的距离小于绳长），用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动，画出的图形就是一个椭圆。 椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明： 定义的集合语言表述：集合. 设动点为 ，由三角形三边关系，恒有 ，即 。于是有三种情形： 条件 轨迹 说明 ​ 椭圆 定义成立的情形 ​ 线段 动点只能落在线段上，轨迹退化为线段 ​ 不存在 任何点到两定点距离之和都不小于 ，这样的点不存在 易错警示：椭圆是「到两定点距离之和为定值」的轨迹；若把「和」误记为「差」，那就是后面要学的双曲线，千万不要混淆。 （三）椭圆的标准方程 以经过两焦点 、 的直线为 轴、线段 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系，推导得到（推导过程见「公式推导」）： 其中 ，焦点为 、。这就是焦点在 轴上的椭圆标准方程。 如果把 轴与 轴互换（焦点落在 轴上），同样可得： 焦点为 、。这就是焦点在 轴上的椭圆标准方程。 两种标准方程对照如下： 类 型 焦点在 轴上 焦点在 轴上 标准方程 （） （） 图 像 焦点坐标 ​ ​ 、、 的关系 ​ ​ 分母大小 的分母大 的分母大 判断焦点位置的方法：不改变方程中变量的位置，直接比较两个分母的大小——哪个分母大，焦点就在哪条坐标轴上。例如方程 中 的分母 较大，故焦点在 轴上，此时 、、，焦点为 。 （四）求椭圆标准方程的三种方法 . 定义法：若能断定动点满足「到两定点距离之和为定值（大于两定点距离）」，直接用定义写出 、，再由 求出 ，代入标准方程； . 待定系数法：先由条件确定焦点位置，设出相应的标准方程，再代入已知条件求出 、。若焦点位置不确定，需分类讨论两种情形；焦点位置不确定时也可设方程为 （，，），由条件直接求出 、； . 相关点法（代入法）：当动点 随另一曲线上的点 运动时，先用 、 表示 、，再把 的坐标代入它所满足的曲线方程，整理即得 的轨迹方程。 （五）离心率预告（为下一课时做准备） 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率，其取值范围是 。本节只需会用 与 、、 的关系进行简单换算；离心率的完整讨论在 进行。 （六）轨迹问题中的限制条件 求轨迹方程时，必须检查「化简过程中是否产生了增根、原几何条件是否对动点有限制」： . 涉及斜率的轨迹问题（如斜率之积为定值），经过定点 、 时斜率不存在，这些点必须挖去，即方程附条件 ； . 动点轨迹被限定在部分区域（如 ）时，方程必须附上相应条件；此时「轨迹」只是半个椭圆，而完整的椭圆不是所求轨迹； . 「求轨迹方程」与「求轨迹」是两问：前者只要求方程（含限制条件），后者还要说明曲线的形状（是椭圆、线段还是圆）。 二、公式推导 推导 ：焦点在 轴上的椭圆标准方程 设两焦点为 、（），动点 满足 由两点间距离公式， 移项得 ，两边平方： 展开整理，得 再平方： 展开并整理（把含 的项合并）： 由 知 ，两边同除以 ： 令 （），得 这就是焦点在 轴上的椭圆标准方程，焦点为 。 点评： 1 两次平方是化简含根式方程的基本手段，第二次平方前必须先移项，否则根号消不掉； ② 引入 纯粹是为了方程简洁对称——它使方程成为「两个平方之和等于 」的和谐形式，这正是解析几何「代数形式优美化」的典型设计。 推导 ：焦点在 轴上的椭圆标准方程 若焦点为 、，仿照推导 （把 与 的地位互换），同理可得 点评：也可以不重新推导，而把焦点在 轴上的方程中 、 互换直接得到——这正是「坐标轴互换不改变曲线形状，只改变方程中变量位置」的体现。注意无论哪种形式， 永远是较大的分母的平方根。 推导 ： 与 时轨迹的讨论 设 ，动点 满足 。 当 时：由三角形三边关系， 恒成立，且等号成立当且仅当 在线段 上（三点共线且 、 在 两侧），所以轨迹是线段 ； 当 时：对平面内任意一点 都有 ，条件无法满足，所以轨迹不存在。 点评：这一讨论解释了定义中「大于」二字的必要性——椭圆定义的三个要件「平面内、和为定值、定值大于焦距」缺一不可，判断题、多选题最爱在此设伏。 推导 ：椭圆与圆的伸缩关系（由圆「压缩」得到椭圆） 特别地，当 （两焦点重合）时，，方程变为 ，即 ——这是圆。可见圆是两焦点重合时椭圆的特例。 反过来，在圆 上任取一点 ，保持横坐标不变、把纵坐标压缩为原来的 倍，得到点 。设 的坐标为 ，则 ，，代入圆的方程： 即 所以椭圆可以由圆经过伸缩变换得到：纵坐标按比例 压缩（ 时为压缩），圆就变成了椭圆。 点评：这解释了「教材例 （圆上垂线段中点的轨迹）」为什么必然得到椭圆——中点的纵坐标恰是圆上点的 倍，正是最简单的压缩变换。 推导 ：共焦点椭圆系与 型 （）共焦点的椭圆：与椭圆 有相同焦点（即 相同）的椭圆可设为 其中所有这些椭圆的焦距都是 。 （2） 焦点位置不确定时：设方程为 （，，）。 当 时化为 ，因 ，焦点在 轴上； 当 时焦点在 轴上。求出 、 后再按分母大小判定焦点位置，可以避免分类讨论。 点评： 型是处理「焦点位置不确定」问题的利器——它把「两种位置关系」统一成一个方程形式，求出系数后位置自然明确；这也是高考选择题中「求标准方程」类题目的常用速解手段。 三、例题讲解 例 .（中等题型） 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 、，并且经过点 ，求它的标准方程。（教材例 ） 例 （提高题型）求经过点 和 ，且焦点在坐标轴上的椭圆的标准方程。 例 .（提高题型） 已知圆 及点 ， 为圆 上任意一点， 的垂直平分线与线段 交于点 ，求点 的轨迹方程。 例 .（近三年高考题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · · 高考真题】已知曲线 ，从 上任意一点 向 轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点 的轨迹方程为（　） A．　　 B． C．　　 D． 例 （近三年高考题型） 【 · 全国二卷 · 第()问 · 高考真题】已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 ，求 的方程。 例 .（创新题型） 在木板上取两个定点 、，一根长为 的细绳两端分别固定在 、 处，用铅笔尖勾紧细绳画曲线。 （）求画出的曲线的方程； （）保持绳长 不变，改变两钉间的距离 （），讨论画出的图形分别是什么。 四、方法分析 （一）四种常用方法 . 定义法：见到「距离之和为定值」「垂直平分线」「动圆相切」等结构，先想椭圆定义——把几何条件翻译成 、，再由 补齐三要素； . 待定系数法：先定位（焦点在哪条轴）、再定量（求 、）。基本量 、、 知二求一（），「长轴长 」「焦距 」「离心率 」三个换算必须滚瓜烂熟； . 相关点法（代入法）：设所求动点 与已知曲线上的点 ，用 、 表示 、 后代入已知曲线方程；「中点」「垂足」「定比分点」类轨迹问题优先用它； . 统一设方程法：焦点位置不确定时设 ，一次求解、避免分类；共焦点时利用 不变的关系设方程。 （二）六个易错点 . 忽略定义前提 ：求轨迹时先验证「和是否大于焦距」，防止把线段或「不存在」误判为椭圆； . 、、 关系记错：椭圆中 （ 最大），与直角三角形勾股定理形似但含义不同； . 焦点位置判断失误：必须比较分母的大小，而不是看变量字母顺序；分母大者在哪个变量上，焦点就在哪条轴上； . 相关点法坐标关系写反： 是主动点、 是被动点，永远用 的坐标表示 的坐标，再代入 满足的方程； . 限制条件遗漏：斜率类轨迹挖去 ；范围类轨迹附上不等式（如 ）；「求轨迹」还需说明曲线形状； . 待定系数不分类：题目未指明焦点位置而条件又无法确定位置时，漏掉另一种情形是高频失分点（用 可规避）。 五、变式练习 变式 .（提高题型） 设 、，直线 、 相交于点 ，且它们的斜率之积是 ，求点 的轨迹方程。 变式 .（提高题型） 已知定圆 ，，动圆 过点 且与定圆 内切，求动圆圆心 的轨迹方程。 变式 .（高考题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · 同源变式】已知曲线 ，从 上任意一点 向 轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点 的轨迹方程为（　） A．　　 B． C．　　 D． 变式 （高考题型） 【 · 全国二卷 · () 同源考法】已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为 ，求 的标准方程（焦点在 轴上）。 六、本节知识总结 板块 核心内容 定义 平面内到两定点 、 距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹； 退化为线段， 轨迹不存在 标准方程 焦点在 轴：；焦点在 轴：（均 ） 基本量 ：长半轴长；：短半轴长；：半焦距；， 焦点位置 分母大者定焦点； 型由 、 大小自动确定 求方程 定义法（识别轨迹）、待定系数法（先定位再定量）、相关点法（中点·垂足类）、统一设方程法 轨迹限制 斜率类挖 ；范围类附不等式；「求轨迹」须说明形状 思想方法 坐标法（建系设点列式化简检验）、分类讨论、数形结合 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $