3.1.1 第1课时 椭圆及其标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦椭圆的定义、标准方程及应用，通过“细线固定两点画椭圆”的动手操作导入，对比圆的定义（固定一点），构建从圆到椭圆的知识脉络，辅以探究问题、定义梳理、温馨提示及判断正误等学习支架，帮助学生理解定义关键条件。 特色在于以动手探究培养数学眼光，从操作中抽象椭圆定义，通过定义辨析（判断正误、典例）发展数学思维中的推理能力，方程推导与应用（坐标法、待定系数法）强化数学语言表达，分层练习与解题感悟提升学生抽象能力和逻辑推理，适合自主学习与课堂教学。

3.1.1 椭圆及其标准方程 第1课时 椭圆及其标准方程 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.结合教材实例掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程、几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程. 3.通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力. 一、椭圆的定义 探究1　取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 探究2　在上述活动中，如果把细绳拉直后固定住两端点（｜F1F2｜等于绳长），那么动点M的轨迹是什么？ ⚪梳理教材 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆. 2.焦点：两个定点F1，F2. 3.焦距：两焦点间的距离｜F1F2｜. 4.几何表示：｜MF1｜＋｜MF2｜＝ （常数）且2a ｜F1F2｜. ⚪温馨提示　对“常数（大于｜F1F2｜）”的理解 （1）当动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝常数＞｜F1F2｜时，动点M的轨迹为椭圆. （2）当动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝常数＝｜F1F2｜时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段. （3）当动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝常数＜｜F1F2｜时，动点M的轨迹不存在. （4）此定义是推导椭圆方程的依据. （5）理解椭圆定义要紧扣“到两定点距离之和为定值且大于两定点间的距离”. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，则动点P的轨迹是椭圆.（　 ） （2）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2，则动点P的轨迹是椭圆.（　 ） （3）已知点F1（0，－1），F2（0，1），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝1，则动点P的轨迹是椭圆.（　 ） （4）椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.（　 ） 【典例1】　（1）设F1，F2为定点，｜F1F2｜＝6，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝10，则动点M的轨迹是（　 ） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 （2）已知△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的左焦点，且椭圆的右焦点F2在BC边上，椭圆上任意一点到两焦点的距离为2，则△ABC的周长是 ；当B，C在椭圆上移动时，△ABC的周长 （填“变”或“不变”）. ⚪解题感悟 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. （2）椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程.因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解. 【练习1】　（1）已知F1（0，－3），F2（0，3），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝a＋（a＞0），则点P的轨迹为（　 ） A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.不存在 （2）如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是（　 ） A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线 二、椭圆的标准方程 探究3　考虑到椭圆的对称性，且过两个焦点的直线是它的对称轴，我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试利用椭圆定义推导椭圆方程. 探究4　如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为（0，－c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ ⚪梳理教材 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 焦点坐标 a，b，c 的关系 ⚪温馨提示　椭圆的标准方程的特征 （1）几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上. （2）代数特征：方程右边为1，左边是关于与（或与）的平方和，并且分母为不相等的正值. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）已知点F1（－2，0），F2（2，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，则动点P的轨迹方程是＋＝1.（　 ） （2）若椭圆方程是＋＝1，则其焦点坐标为（1，0），（－1，0）.（　 ） （3）若＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k∈（－，1）.（　 ） 【典例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦点在y轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0）； （2）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点（－，）； （3）经过点P（，），Q（0，－）. ⚪解题感悟 　　1.椭圆标准方程的两种求法 （1）定义法：利用椭圆的定义求标准方程，应先验证动点到两定点距离之和是不是常数，且该常数（定值）大于两定点间的距离，若符合，则根据椭圆的定义得到相应的a，b，c，从而写出椭圆的标准方程. （2）待定系数法： ①根据条件设出椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0），然后求出待定的系数代入方程即可； ②若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m≠n，m＞0，n＞0）； ③与椭圆＋＝1（a＞b＞0）有公共焦点的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0，λ＞－b2）；与椭圆＋＝1（a＞b＞0）有公共焦点的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0，λ＞－b2）. 2.求椭圆标准方程的关键点 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面. （1）“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式. （2）“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解. 【练习2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）两焦点的坐标分别是（－2，0），（2，0），且椭圆经过点（，－）； （2）经过P1（，1），P2（－，－）两点； （3）以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M（2，）. 三、椭圆定义的应用 角度1　利用椭圆的定义求椭圆的标准方程 【典例3】　已知定点A（0，－2），点B在圆C：x2＋y2－4y－32＝0上运动，C为圆心，线段AB的垂直平分线交BC于点P，则动点P的轨迹E的方程为 . 【练习3】　已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（－4，0），（4，0），C为动点且满足sin B＋sin A＝sin C，求C的轨迹方程. 角度2　利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 【典例4】　已知椭圆＋＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积. 【变式探究】　将本典例中“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？ ⚪解题感悟 椭圆中的焦点三角形的常用结论 （1）椭圆的定义能够对椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化. （2）椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，焦点三角形的周长为2a＋2c. （3）利用椭圆定义，结合余弦定理、三角恒等变换等知识可推得焦点三角形的面积S＝b2tan，其中θ＝∠F1PF2. 【练习4】　（1）已知椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°（如图），则△PF1F2的面积为 . （2）设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则｜PM｜＋｜PF1｜的最大值为 . ⚪课堂达标 1.下列说法正确的是（　 ） A.已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于点M（5，3）到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离相等的点的轨迹是椭圆 2.若椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝（　 ） A.4 B.8 C.4或8 D.12 3.已知点P是椭圆＋＝1上一动点，点O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为 . 4.已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，A，B是C上关于原点对称的两点，且∠AFB＝90°，则△ABF的周长为 . 解析版 ⚪学习目标　1.结合教材实例掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程、几何图形，会用待定系数法求椭圆的标准方程. 3.通过椭圆概念的引入和椭圆方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力. 一、椭圆的定义 探究1　取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2（如图），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 提示：椭圆.笔尖到两个定点的距离的和等于常数，即绳长. 探究2　在上述活动中，如果把细绳拉直后固定住两端点（｜F1F2｜等于绳长），那么动点M的轨迹是什么？ 提示：线段（绳子上的任一点）. ⚪梳理教材 1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于　常数　（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆. 2.焦点：两个定点F1，F2. 3.焦距：两焦点间的距离｜F1F2｜. 4.几何表示：｜MF1｜＋｜MF2｜＝　2a　（常数）且2a　＞　｜F1F2｜. ⚪温馨提示　对“常数（大于｜F1F2｜）”的理解 （1）当动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝常数＞｜F1F2｜时，动点M的轨迹为椭圆. （2）当动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝常数＝｜F1F2｜时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段. （3）当动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝常数＜｜F1F2｜时，动点M的轨迹不存在. （4）此定义是推导椭圆方程的依据. （5）理解椭圆定义要紧扣“到两定点距离之和为定值且大于两定点间的距离”. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，则动点P的轨迹是椭圆.（　√　） （2）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝2，则动点P的轨迹是椭圆.（　✕　） （3）已知点F1（0，－1），F2（0，1），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝1，则动点P的轨迹是椭圆.（　✕　） （4）椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.（　√　） 【典例1】　（1）设F1，F2为定点，｜F1F2｜＝6，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜＝10，则动点M的轨迹是（　A　） A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 （2）已知△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的左焦点，且椭圆的右焦点F2在BC边上，椭圆上任意一点到两焦点的距离为2，则△ABC的周长是　4　；当B，C在椭圆上移动时，△ABC的周长　不变　（填“变”或“不变”）. 解析：（1）∵｜MF1｜＋｜MF2｜＝10＞｜F1F2｜＝6，∴由椭圆定义知，动点M的轨迹为椭圆. （2）如图所示，△ABC的周长为｜AC｜＋｜AB｜＋｜BC｜＝｜AC｜＋｜CF2｜＋｜AB｜＋｜BF2｜＝2＋2＝4，且当B，C在椭圆上移动时，△ABC的周长不变. ⚪解题感悟 椭圆定义的应用技巧 （1）椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. （2）椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程.因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解. 【练习1】　（1）已知F1（0，－3），F2（0，3），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝a＋（a＞0），则点P的轨迹为（　C　） A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.不存在 （2）如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是（　B　） A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线 解析：（1）∵a＋≥2×3＝6＝｜F1F2｜（a＞0），当且仅当a＝3时等号成立，∴当a＋＝6时，点P的轨迹为线段；当a＋＞6时，由椭圆的定义得，点P的轨迹为椭圆.故选C. （2）连接EA，OA（图略），根据线段垂直平分线的性质，可得｜EA｜＝｜EB｜，｜EO｜＋｜EA｜＝｜OB｜＞｜OA｜，即点E到点O和点A的距离之和等于圆的半径｜OB｜，且｜OB｜＞｜OA｜，根据椭圆的定义，可得点E的轨迹是以点O和点A为焦点的椭圆.故选B. 二、椭圆的标准方程 探究3　考虑到椭圆的对称性，且过两个焦点的直线是它的对称轴，我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，试利用椭圆定义推导椭圆方程. 提示：根据椭圆的定义，设点M（x，y）与焦点F1（－c，0），F2（c，0）的距离的和等于2a. 由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集 P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a}. 因为｜MF1｜＝， ｜MF2｜＝， 所以＋＝2a. ① 为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得＝2a－. ② 对方程②两边平方，得（x＋c）2＋y2＝4a2－4a＋（x－c）2＋y2. 整理，得a2－cx＝. ③ 对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2. 整理，得（a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2）， ④ 将方程④两边同除以a2（a2－c2）， 得＋＝1. ⑤ 由椭圆的定义可知，2a＞2c＞0，即a＞c＞0， 所以a2－c2＞0. 令b＝， 那么方程⑤就是＋＝1（a＞b＞0）. 探究4　如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别为（0，－c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 提示：＋＝1（a＞b＞0）. ⚪梳理教材 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 　＋＝1（a＞b＞0）　 　＋＝1　 　（a＞b＞0）　 图形 焦点坐标 　F1（－c，0），F2（c，0）　 　F1（0，－c），　 　F2（0，c）　 a，b，c 的关系 　c2＝a2－b2　 ⚪温馨提示　椭圆的标准方程的特征 （1）几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上. （2）代数特征：方程右边为1，左边是关于与（或与）的平方和，并且分母为不相等的正值. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）已知点F1（－2，0），F2（2，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，则动点P的轨迹方程是＋＝1.（　√　） （2）若椭圆方程是＋＝1，则其焦点坐标为（1，0），（－1，0）.（　✕　） （3）若＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则k∈（－，1）.（　√　） 【典例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）焦点在y轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0）； （2）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点（－，）； （3）经过点P（，），Q（0，－）. 解：（1）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 又椭圆经过点（0，2）和（1，0）， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. （2）易知椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），由椭圆的定义，知2a＝＋ ＝2， 得a＝. 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6. 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. （3）设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）， 则解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. ⚪解题感悟 　　1.椭圆标准方程的两种求法 （1）定义法：利用椭圆的定义求标准方程，应先验证动点到两定点距离之和是不是常数，且该常数（定值）大于两定点间的距离，若符合，则根据椭圆的定义得到相应的a，b，c，从而写出椭圆的标准方程. （2）待定系数法： ①根据条件设出椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0），然后求出待定的系数代入方程即可； ②若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m≠n，m＞0，n＞0）； ③与椭圆＋＝1（a＞b＞0）有公共焦点的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0，λ＞－b2）；与椭圆＋＝1（a＞b＞0）有公共焦点的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0，λ＞－b2）. 2.求椭圆标准方程的关键点 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面. （1）“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式. （2）“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解. 【练习2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）两焦点的坐标分别是（－2，0），（2，0），且椭圆经过点（，－）； （2）经过P1（，1），P2（－，－）两点； （3）以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M（2，）. 解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）. 由椭圆的定义知，c＝2， 2a＝ ＋＝2，即a＝， ∴b2＝a2－c2＝6， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. （2）设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B），故解得即所求椭圆的标准方程是＋＝1. （3）椭圆9x2＋5y2＝45的方程化为标准方程＋＝1，知焦点F1（0，2），F2（0，－2），设所求椭圆方程为＋＝1（λ＞0），将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ＝8或λ＝－2（舍去）.故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 三、椭圆定义的应用 角度1　利用椭圆的定义求椭圆的标准方程 【典例3】　已知定点A（0，－2），点B在圆C：x2＋y2－4y－32＝0上运动，C为圆心，线段AB的垂直平分线交BC于点P，则动点P的轨迹E的方程为　＋＝1　. 解析：将圆C的方程化为标准方程x2＋（y－2）2＝36，如图， 设圆C的半径为r，易知r＝6，C（0，2）. 由垂直平分线的性质得｜PA｜＝｜PB｜， 所以｜PA｜＋｜PC｜＝｜PB｜＋｜PC｜＝r＝6＞｜AC｜＝4， 所以点P的轨迹E是以A，C为焦点的椭圆，其中c＝2，a＝3，所以b＝，所以轨迹E的方程为＋＝1. 【练习3】　已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为（－4，0），（4，0），C为动点且满足sin B＋sin A＝sin C，求C的轨迹方程. 解：由sin B＋sin A＝sin C， 可知b＋a＝c（a，b，c分别为角A，B，C的对边）. 故｜AC｜＋｜BC｜＝｜AB｜＝10＞｜AB｜. ∴点C的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（不含长轴端点）. 设椭圆方程为＋＝1（a'＞b'＞0）， 则a'＝5，c'＝4，∴b'＝＝3， ∴C的轨迹方程为＋＝1（x≠±5）. 角度2　利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 【典例4】　已知椭圆＋＝1，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积. 解：由椭圆方程＋＝1，可知a＝2，b＝， 所以c＝＝1，从而｜F1F2｜＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋｜F1F2｜2－2｜PF1｜｜F1F2｜cos∠PF1F2， 即｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋4＋2｜PF1｜. ① 由椭圆的定义，得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4. ② 联立①②，解得｜PF1｜＝. 所以＝｜PF1｜｜F1F2｜·sin∠PF1F2＝××2×＝. 【变式探究】　将本典例中“∠PF1F2＝120°”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，应该怎样解答？ 解：由已知可得a＝2，b＝， ∴c＝＝＝1， ∴｜F1F2｜＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得， ｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos 60°， 即4＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－2｜PF1｜·｜PF2｜－2·｜PF1｜·｜PF2｜cos 60°. ∴4＝16－3｜PF1｜·｜PF2｜， ∴｜PF1｜·｜PF2｜＝4， ∴＝｜PF1｜·｜PF2｜sin 60°＝×4×＝. ⚪解题感悟 椭圆中的焦点三角形的常用结论 （1）椭圆的定义能够对椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化. （2）椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，焦点三角形的周长为2a＋2c. （3）利用椭圆定义，结合余弦定理、三角恒等变换等知识可推得焦点三角形的面积S＝b2tan，其中θ＝∠F1PF2. 【练习4】　（1）已知椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°（如图），则△PF1F2的面积为　　. （2）设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则｜PM｜＋｜PF1｜的最大值为　15　. 解析：（1）由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝1. 从而｜F1F2｜＝2c＝2. 在Rt△PF1F2中，由勾股定理可得｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋｜F1F2｜2， 即｜PF2｜2＝｜PF1｜2＋4. 由椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2×2＝4， 所以｜PF2｜＝4－｜PF1｜. 从而有（4－｜PF1｜）2＝｜PF1｜2＋4，解得｜PF1｜＝. 所以△PF1F2的面积S＝｜PF1｜·｜F1F2｜＝××2＝. （2）如图所示，在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝4，c＝3，所以焦点坐标分别为F1（－3，0），F2（3，0）.｜PM｜＋｜PF1｜＝｜PM｜＋（2a－｜PF2｜）＝10＋（｜PM｜－｜PF2｜），因为｜PM｜－｜PF2｜≤｜MF2｜，当且仅当点P在MF2的延长线上时取等号，所以当点P与图中的点P0重合时，有（｜PM｜－｜PF2｜）max＝｜MF2｜＝＝5，此时｜PM｜＋｜PF1｜取得最大值15. ⚪课堂达标 1.下列说法正确的是（　C　） A.已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于点M（5，3）到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离相等的点的轨迹是椭圆 解析：选项A中，｜F1F2｜＝8，故平面内到F1，F2两点的距离之和等于常数8的点的轨迹是线段F1F2；选项B中，动点到F1，F2两点的距离之和等于6，小于｜F1F2｜，故这样的轨迹不存在；选项C中，点M（5，3）到点F1，F2的距离之和为＋＝4 ＞｜F1F2｜＝8，故选项C中的动点的轨迹是椭圆；选项D中的动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.若椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝（　C　） A.4 B.8 C.4或8 D.12 解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，∴m＝4；当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.综上，m＝4或m＝8. 3.已知点P是椭圆＋＝1上一动点，点O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为　x2＋＝1　. 解析：设Q（x，y），P（x0，y0）， 由点Q是线段OP的中点知，x0＝2x，y0＝2y，又＋＝1， 所以＋＝1，即x2＋＝1. 4.已知椭圆C：＋＝1的左焦点为F，A，B是C上关于原点对称的两点，且∠AFB＝90°，则△ABF的周长为　14　. 页 学科网（北京）股份有限公司 $