3.1.1 椭圆及其标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

新课标高中数学分层梯度题型精练 第三章 圆锥曲线的方程 椭圆 椭圆及其标准方程 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 分层梯度题型精练【解析】 一、单选题（共 题：中等题型 题、提高题型 题、近三年高考题型 题、创新题型 题） .（中等题型） 椭圆 的焦点坐标为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】把方程化为标准形式：，即 。 ，，所以 ，。 因为 的分母较大，焦点在 轴上，焦点坐标为 。 故选 A。 .（中等题型） 已知椭圆 上一点 到它的一个焦点 的距离等于 ，则点 到另一个焦点 的距离等于（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】由椭圆定义，，所以 。 故选 A。 .（提高题型） 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】方程表示椭圆，需两个分母均为正： 且 ； 表示焦点在 轴上的椭圆，还需 的分母较大：，恒成立。所以只须 。 故选 A。 .（提高题型） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，过 的直线 与椭圆交于 、 两点，则 的周长为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】C 【解析】 由椭圆定义， （，，周长 ，与直线 的位置无关。） 故选 C。 .（提高题型） 已知椭圆的焦点为 、，且经过点 ，则该椭圆的标准方程为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】焦点在 轴上，设 ，则 。由椭圆经过点 ： 把 代入并整理：， 即 ，解得 （负值舍去），。 所求方程为 。验证：，符合。 故选 A。 .（近三年高考题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · 同源变式】已知曲线 ，从 上任意一点 向 轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点 的轨迹方程为（　） A．　　 B． C．　　 D． 【答案】A 【解析】设点 ，则 ，。因为 为 的中点，所以 的纵坐标为 ，即 。 又 在圆 上，所以 ，即 D 选项把范围条件写成了 ，与原曲线的限定 不符，排除。 故选 A。 .（近三年高考题型） 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】方程可化为：， 因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：C. .（创新题型） 给定两定点 、，平面内动点 满足 ，把轨迹称为「-轨迹」。则下列说法正确的是（　） A．当 时，「-轨迹」是以 为直径的圆 B．当 时，「-轨迹」的方程为 C．对任意 ，「-轨迹」都存在 D．当 时，「-轨迹」的焦距为 【答案】B 【解析】。 · A： 时轨迹是线段 ，不是圆，错误； · B：，轨迹是椭圆，，，，，方程为 ，正确； · C： 时（如 ）任何点到两定点距离之和都不小于 ，轨迹不存在，错误； · D： 时轨迹是椭圆，但两定点固定，焦距恒为 ，与 无关，错误。 故选 B。 二、多选题（共 题：高考题型） .（高考题型） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在 上，则下列说法正确的是（　） A．椭圆 的焦点坐标为 B． C． 的取值范围是 D．存在点 ，使得 【答案】ABC 【解析】由 得 、、、。 · A： 的分母较大，焦点在 轴上，坐标 ，正确； · B：由定义，，正确； · C： 的最小值是 （点 在右顶点处），最大值是 （点 在左顶点处），取值范围 ，正确； · D：，不存在这样的点 ，错误。 故选 ABC。 .（高考题型） 已知 、，平面内动点 满足 ，则下列说法正确的是（　） A．点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆 B．点 的轨迹方程为 C．若 ，则点 的轨迹是线段 D．若 ，则点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆 【答案】ABC 【解析】A：，由定义，轨迹是以 、 为焦点的椭圆，正确； · B：，；，；，方程为 ，正确； · C： 时轨迹退化为线段 ，正确； · D：，任何点到两定点距离之和都不小于 ，轨迹不存在，错误。 故选 ABC。 三、填空题（共 题：中等题型 题、提高题型 题） .（中等题型） 椭圆 的焦点坐标为 ． 【答案】 【解析】把 化为标准形式 ，则 、、。 的分母较大，焦点在 轴上，焦点坐标为 。 .（提高题型） 已知 为圆 上任意一点，过点 作 轴的垂线段 （ 为垂足），则线段 的中点 的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设 ，，则 。由 是 的中点，得 ，，即 ，。 代入 ，得 ，即 （ 的分母较大，轨迹是焦点在 轴上的完整椭圆。） 四、解答题（共 4题：中等题型 题、近三年高考题型1 题、创新题型 题） .（中等题型） 求满足下列条件的椭圆的标准方程： （），，焦点在 轴上； （），，焦点在 轴上． 【解析】由 得 ；由 得 ；所以 。 （）焦点在 轴上时，标准方程为 （）焦点在 轴上时，标准方程为 点评： 说明 ，两种情形只是焦点位置不同，方程中 、 的地位对调。注意短半轴长可以小于 吗？本题 恰好为 ，是教材练习的原始数据。 .（中等题型） 已知动点 与两定点 、 的距离之和为 。 （）求点 的轨迹方程； （）求 的取值范围． 【解析】（）由题意，，所以点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆。 ，；，；。轨迹方程为 （）由椭圆的几何特征， 的取值范围是 。 设 ，，则 当 时取得最大值 ；当 或 时取得最小值 。 所以 的取值范围是 。 点评：第()问把「椭圆上的距离」转化为「二次函数在闭区间上的最值」，是定义与函数思想的典型结合； 的范围 来自 ，千万别取成全体实数。 .（近三年高考题型） 【 · 全国甲卷 · 同源考法】设 、，直线 、 相交于点 ，且它们的斜率之积是 。 （）求点 的轨迹方程； （）说明该轨迹是什么曲线，并指出需要除去的点． 【解析】（）设点 。因为 ，所以直线 的斜率 ； 同理 。 由已知， 整理得 ，即 （）方程 表示焦点在 轴上的椭圆（），但直线 、 的斜率在 处不存在，所以轨迹是除去 、 两点的椭圆。 点评：这是「斜率之积为定值」型轨迹问题的标准解法：先列斜率之积、再化简、最后挖去使斜率不存在的点。 年全国甲卷第 题把这一情境与离心率结合（本题为其同源考法——先求出轨迹方程，离心率将在下一课时补上）。 6.（创新题型） 已知定圆 与定圆 ，动圆 与圆 外切，且与圆 内切。 （）求动圆圆心 的轨迹方程； （）若把圆 的半径改为 （圆心不变，圆 不变），当 取何值时，动圆圆心 的轨迹仍是椭圆？ 【解析】（）设动圆圆心为 ，半径为 。 由动圆与圆 （半径 ）外切，得 ，即 ； 由动圆与圆 （半径 ）内切，得 ，即 而 ，由椭圆定义，点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆：，；，；。 轨迹方程为 （检验：椭圆上 ，故 ；，内切关系处处成立，轨迹为完整椭圆。） （）设圆 的半径为 。仿照（），。 点 的轨迹是椭圆，当且仅当 即 严格来说，除定义条件 外，还需动圆半径 对椭圆上每一点都成立， 即 的最小值 ，解得 （ 时椭圆右顶点处 ，动圆退化为一个点）。 综上：当 时轨迹为完整椭圆； 时轨迹为椭圆但含一个退化点； 时只有椭圆的一部分满足相切条件，轨迹不是完整椭圆。 点评：本题把「外切加内切」的距离转化凑成定值和，是椭圆定义的最高频应用模式；第()问反扣定义中的「大于」条件——要轨迹为椭圆，定值（两半径之和）必须大于两定点（两圆心）的距离。变式 与本题同型，可对照练习。 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学分层梯度题型精练 第三章 圆锥曲线的方程 椭圆 椭圆及其标准方程 人教A版（）高中数学选择性必修第一册 · 第三章 圆锥曲线的方程 分层梯度题型精练 一、单选题（共 题：中等题型 题、提高题型 题、近三年高考题型 题、创新题型 题） .（中等题型） 椭圆 的焦点坐标为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（中等题型） 已知椭圆 上一点 到它的一个焦点 的距离等于 ，则点 到另一个焦点 的距离等于（　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围是（　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，过 的直线 与椭圆交于 、 两点，则 的周长为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（提高题型） 已知椭圆的焦点为 、，且经过点 ，则该椭圆的标准方程为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（近三年高考题型） 【 · 新课标Ⅱ卷 · 同源变式】已知曲线 ，从 上任意一点 向 轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点 的轨迹方程为（　） A．　　 B． C．　　 D． .（近三年高考题型） 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（    ） A． B． C． D．或 .（创新题型） 给定两定点 、，平面内动点 满足 ，把轨迹称为「-轨迹」。则下列说法正确的是（　） A．当 时，「-轨迹」是以 为直径的圆 B．当 时，「-轨迹」的方程为 C．对任意 ，「-轨迹」都存在 D．当 时，「-轨迹」的焦距为 二、多选题（共 题：高考题型） .（高考题型） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在 上，则下列说法正确的是（　） A．椭圆 的焦点坐标为 B． C． 的取值范围是 D．存在点 ，使得 .（高考题型） 已知 、，平面内动点 满足 ，则下列说法正确的是（　） A．点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆 B．点 的轨迹方程为 C．若 ，则点 的轨迹是线段 D．若 ，则点 的轨迹是焦点在 轴上的椭圆 三、填空题（共 题：中等题型 题、提高题型 题） .（中等题型） 椭圆 的焦点坐标为 ． .（提高题型） 已知 为圆 上任意一点，过点 作 轴的垂线段 （ 为垂足），则线段 的中点 的轨迹方程为 ． 四、解答题（共 4题：中等题型 题、近三年高考题型 题、创新题型 题） .（中等题型） 求满足下列条件的椭圆的标准方程： （），，焦点在 轴上； （），，焦点在 轴上． .（中等题型） 已知动点 与两定点 、 的距离之和为 。 （）求点 的轨迹方程； （）求 的取值范围． .（近三年高考题型） 【 · 全国甲卷 · 同源考法】设 、，直线 、 相交于点 ，且它们的斜率之积是 。 （）求点 的轨迹方程； （）说明该轨迹是什么曲线，并指出需要除去的点． .（创新题型） 已知定圆 与定圆 ，动圆 与圆 外切，且与圆 内切。 （）求动圆圆心 的轨迹方程； （）若把圆 的半径改为 （圆心不变，圆 不变），当 取何值时，动圆圆心 的轨迹仍是椭圆？ 第1页　共1页 学科网（北京）股份有限公司 $