北京首都师范大学附属中学2026-2027学年高一第一学期学科挑战赛数学试题

首都师大附中2026一2027学年第一学期学科挑战赛 高一数学 第一部分（选排题北60分） 一、选择题共10小题，每小题6分，共60分。在每小烟所列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项。 （1)函数了=三的定义娥州) x-2 A.(lto∞） B.[I,+oo) C.l,2) 0.fl,2U(2,+oo) (2)下列表示正确的是() A.0e0,l,2,3) B.0s0,1,2,3) C.0∈(0,1,2,31 D.(01e0l,2,31 (3)下列选项中，表示的是同一函数的是() A.∫x)=VF,g()=(NA B.(x)=x2,g(x)=(x-2) cJ因-久00川 D.f)=Vk+iNig()=层- (4)设M=2a(a-2)+7,N=(a-2a-3),则() A.M>N B.M=N C.M<N D.M≤N (5)若全集U=R,集合A=(x1<≤3)，B=x2<<4},则图中阴影部分表示 的集合为() A.{x|1<x<3}B.{x2Kx<3) C.{x2<x<3}D.{x1<x<2} 6)若“3xeR,a2-3ax+9<0"是假命题，则a的取值范围为() A[0,4] B[0,4) C.(0,4) D.[4,+∞) ()设xeR,则若<0是x-k1附() A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (8)己知函数f(x)= a-2r+月 对任意名，x,eR且x≠x,时， -x2+(7-2a)x+l,x<1 有任)-)>0，则实数口的取值范周为( ) 为2 reg ,13 C.(2,∞) D.(ow) (9)如图所示为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间内进出 路口A,B,C的机动车辆如图所示，图中名·名，名分别表示该时段单位时间内通 过路段AB,BC,CA的机动伞辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段 上驶入与驶出的车辆数相等)，则() A.为>2>为 B.为>为>x3 C.为>为> D.为>为>为 20B ,30 (10)定义A-B=xx∈A,x任B},设A、B、C是某集合的三个子集，且满足 (A-B)U(B-A)∈C,则As(C-B)U(B-C)是AnB∩C=0的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题共5小题，每小题6分，共30分。 (11)已知函数f(x)对任意实数a,b都满足f(a+b)=f(a)+f(b),且f(2)=3, 则f(3)= x+2,≤-1 (12)在函数y={x,-1<x<2中，若(x)=1,则x,的值是 2x,22 (13)若实数a≠b,且a,b满足d-√2a-1=0,b2-√2b-1=0,则 b+ a b (14)不等式lx-2+川x-川5的解集为一· (15)已知集合A=(a,42,a)是由n(n>3)个正整数组成的集合，如果任意去掉 其中一个元素a,(位=1,2，，)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为 空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”，给出 下列四个结论： ①(1,2,3,4)不是“可分集合”， ②{1,3,5,7,9,11,13)是“可分集合”： ③四个元素的集合A={a,a2,4,44)可能是“可分集合”： ④i个元素的集合A={(a,a2,a,44,a}不是“可分集合”. 其中正确结论的序号是 三、解答题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题15分) 已知集合A={-2≤<3}，B={3a<x<+a,C={-3<x<-1月. (I)若(CC)UB=R,求实数a的取值范围： (I)若A∩B=B,求实数a的取值范围， 3 (17)（本小趣15分) 解关于x的不等式ax2-x+1-a≤0. (18)(本小题15分) 已知函数了=+呈(x>). (I)求(2)，∫(3)的值： (Ⅱ)判断函数∫(x)的单调性并证明： (m)若f(x2+2x+)≥5对任意的x∈R恒成立，求1的取值范围. (19)(本小题15分) 若有限集A满足： ①0∈A且1∈A: ②对Vx∈A,均有0≤x51: ③对次y∈A,若x*y,则2x-y,2y一x,牛上中至少有一个属于A,称集合A具 2 有性质P,(记card(A)为集合A中的元素个数) ①分别断集合=号和-写号 是否具有性质P(直接写 出结论)： (Ⅱ)判断是否存在具有性质P的集合A满足card()=4?并说明理由： (Ⅲ)若集合A具有性质P,求card(A)的所有可能值. 4